2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆 期末综合复习题（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》期末综合复习题（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A．CM＝DM B． C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝BM
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
3．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（　　）
A．DE＝EB B．DE＝EB C．DE＝DO D．DE＝OB
4．过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（　　）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
5．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
6．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．﹣2﹣ B．﹣2+ C．+ D．﹣
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（　　）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
8．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H．若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB的长为（　　）
A．15 B． C．13 D．
9．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为（　　）
A．4或﹣4 B．4﹣或4+ C．﹣4+或4+ D．4﹣或4+
10．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2023次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A．2023π B．3023.5π C．3026π D．3036π
11．如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝　 　°．
12．如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为　 　cm．
13．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　 　．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE＝　 　．
15．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为 　 　．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
17．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根．
（1）求证：PA BD＝PB AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．
18．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE．
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的长，
参考答案
1．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，＝，＝，
∴∠ACD＝∠ADC．
故选：D．
2．解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故选：C．
3．解：连接EO．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠OEB＝∠D+∠DOE，∠AOB＝3∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D＝3∠D，
∴∠DOE＝∠D，
∴ED＝EO＝OB，
故选：D．
4．解：如图，设△ABC的外心E（4，t），则CE＝5﹣t，EM＝t﹣2，
∵EC＝AE，
∴5﹣t＝，
解得t＝，可得结论．
故选：A．
5．解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴＝＝＝，
设PA＝x，则＝，
解得：x＝4，
故PA＝4．
故选：A．
6．解：连接DC1，
∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，
∴∠AC1B1＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴A，D，C1在一条直线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝，∠OCB1＝45°，
∴CB1＝OB1
∵AB1＝1，
∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1＝﹣1，
∴S△OB1C＝ OB1 CB1＝（﹣1）2，
∵S△AB1C1＝AB1 B1C1＝×1×1＝，
∴图中阴影部分的面积＝﹣（﹣1）2﹣＝﹣2+．
故选：B．
7．解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴＝，即＝，
解得DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝5﹣＝2.8．
故选：B．
8．解：如图，作直径AE，连接CE，
∴∠ACE＝90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ACE＝∠AHB，
∵∠E＝∠B，
∴△ACE∽△AHB，
∴＝，
∴AB＝，
∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，
∴AB＝＝．
则AB的长为 ．
故选：B．
9．解：在y＝﹣x+1中，
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则x＝，
∴A（0，1），B（，0），
∴AB＝2；
如图，设⊙M与AB相切与C，
连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，
∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，
∴△BMC∽△BAO，
∴＝，即＝，
∴BM＝4，
∴OM＝4﹣，或OM＝4+．
∴m＝﹣4，m＝4+．
故选：C．
10．解：转动一次A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π＝6π，
2023÷4＝505余3
顶点A转动2023次经过的路线长为：6π×506＝3036π．
故选：D．
11．解：过B点作BF∥l1，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝108°，
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，
∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，
∴∠1﹣∠2＝72°．
故答案为：72．
12．解；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝20，∠ADO＝90°，
在RT△AOD中，∵OA2＝OD2+AD2，
∴R2＝202+（R﹣10）2，
∴R＝25．
故答案为25．
13．解：如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，
∴∠AEC＝180°﹣（∠ACD+∠CAD）＝135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AEC＝135°，
故答案为135°．
14．解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，
由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝7﹣x，FC＝FM＝7﹣2x，EF＝14﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，
∴42+x2＝（14﹣3x）2，
解得x＝3或（舍弃），
∴AE＝3，
故答案为3．
15．解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
即AP＝；
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S ABCD＝×6×8×2＝10PG，
∴PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5，
故答案为：＜AP＜或AP＝5．
16．（1）证明：∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC，
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）证明：∵PD∥BC，
∴∠P＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠P＝∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠ACD，
∴△PBD∽△DCA；
（3）解：∵△ABC为直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2＝62+82＝100，
∴BC＝10，
∵OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，
∴DC＝DB＝5，
∵△PBD∽△DCA，
∴＝，
则PB＝＝＝．
17．解：（1）证明：∵DP平分∠APB，
∴∠APE＝∠BPD，
∵AP与⊙O相切，
∴∠BAP＝∠BAC+∠EAP＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BAC+∠B＝90°，
∴∠EAP＝∠B，
∴△PAE∽△PBD，
∴，
∴PA BD＝PB AE；
（2）在线段BC上存在一点M，使得四边形ADME是菱形，
证明：过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，连接EF，
∵DP平分∠APB，
AD⊥AP，DF⊥PB，
∴AD＝DF，
∵∠EAP＝∠B，
∴∠APC＝∠BAC，
易证：DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC，
由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6＝0，
解得：AE＝2，BD＝3，
∴由（1）可知：，
∴cos∠APC＝＝，
∴cos∠BDF＝cos∠APC＝，
∴，
∴DF＝2，
∴DF＝AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵AD＝AE，
∴四边形ADFE是菱形，
此时点F即为M点，
∵cos∠BAC＝cos∠APC＝，
∴sin∠BAC＝，
∴，
∴DG＝，
∴在线段BC上存在一点M，使得四边形ADME是菱形，
其面积为：DG AE＝2×＝．
18．解：（1）由题意可知：∠CAB＝∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∵∠GAF＝∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB＝CH，
∴∠CBH＝∠CHB，
∵OB＝OC，
∴∠CBH＝∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB＝8，
∴BC2＝HB OC＝4HB，
∴HB＝，
∴OH＝OB﹣HB＝4﹣
∵CB＝CH，
∴OH+HC＝4+BC，
当∠BOC＝90°，
此时BC＝4
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜4，
令BC＝x
∴OH+HC＝﹣（x﹣2）2+5
当x＝2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
19．（1）证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（2）解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC＝∠DAF，
∴∠CDA＝∠CFD，
∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴＝，即AD2＝AB AF＝xy，
则AD＝；
（3）解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝＝，
设圆的半径为r，可得＝，
解得：r＝5，
∴AE＝10，AB＝18，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF＝＝，
∴AF＝AE sin∠AEF＝10×＝，
∵AF∥OD，
∴＝＝＝，即DG＝AD，
∴AD＝＝＝，
则DG＝×＝．