2021-2022学年苏科版九年级数学下册第5章二次函数单元测试题（Word版含简答）

第5章　二次函数
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.下列函数表达式中,属于y关于x的二次函数的是 (　　)
A.y=ax2+bx+c B.y=x(x-1) C.y= D.y=(x-1)2-x2
2.二次函数y=(x-4)2+5的图像的顶点坐标是 (　　)
A.(4,5) B.(-4,5) C.(4,-5) D.(-4,-5)
3.将抛物线y=(x+1)2-1平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是 (　　)
A.先向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度
4.如图1,池中心竖直水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,则水管的长为 (　　)
A.2.1 m B.2.2 m C.2.3 m D.2.25 m 图1
5.已知二次函数y=2x2-8x+c的图像过点A(-2,y1),B(-1,y2),C(8,y3),则y1,y2,y3的大小关系是(　　)
A.y3>y1>y2 B.y1>y2>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1
6.在平面直角坐标系中,如图2是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b>2a;③方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④b2-4ac>0.其中正确的命题有 (　　)
图2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共36分)
7.已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,那么△ABC的面积等于　　　　.
8.如果二次函数y=mx2+2x+m-1的图像经过点P(1,2),那么m的值为　　　　.
9.已知二次函数y=ax2-2x+1的图像与x轴只有一个公共点,则a的值是　　　　　.
10.若抛物线y=ax2+c与y=2x2的形状相同,开口方向相反,且其顶点坐标是(0,-2),则该抛物线的函数表达式是　　　　　　　　.
11.已知点A,B在二次函数y=ax2+bx+c的图像上(点A在点B的右侧),且关于图像的对称轴直线x=2对称,若点A的坐标为(m,1),则点B的坐标为　　　　.(用含有m的代数式表示)
12.已知二次函数y=x2-(m-1)x+1,当x≥1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是　　　　.
13.图3是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像,由图像可知不等式ax2+bx+c<0的解集是　　　　　　　　.
图3
14.如图4,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-3x+1的对称轴交x轴于点A,B是位于x轴上方的对称轴上一点,BC∥x轴交对称轴右侧的抛物线于点C.若四边形OACB是平行四边形,则点C的坐标为　　　　.
图4
15.如图5,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,BC=4 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AB运动;同时,点Q从点B出发,以2 cm/s的速度沿BC运动.当点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运动,则△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数表达式是　　　　　　　,自变量的取值范围是　　　　,运动　　　　s时,△PBQ的面积最大,最大面积为　　　　cm2.
图5
三、解答题(共40分)
16. 已知抛物线y=a(x-1)2+h经过点(0,-3)和(3,0).
(1)求a,h的值;
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新的抛物线,直接写出新的抛物线相应的函数表达式.
17.(12分)已知二次函数y=-x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图像与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)如图6,二次函数的图像过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P,求点P的坐标.
图6
18.(14分)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从点A向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图7,以水平方向为x轴,点O为原点建立直角坐标系,点A在y轴上,x轴上的点C,D为水柱的落水点,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-(x-5)2+6.
(1)求雕塑OA的高;
(2)求落水点C,D之间的距离;
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,OE=10 m,EF=1.8 m,EF⊥OD于点E.问:顶部F是否会碰到水柱,请通过计算说明.
图7
19 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究,发现桃子成熟后一棵树上每个桃子的质量大致相同.以每棵树上桃子的数量x(个)为横坐标、桃子的平均质量y(克/个)为纵坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点,发现这些点大致分布在直线AB附近(如图所示).
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)市场调研发现:这个品种每个桃子的平均价格w(元)与平均质量y(克/个)满足函数表达式w=y+2.在(1)的情形下,求一棵树上桃子的数量为多少时,该树上的桃子销售额最大
20.(14分)如图8,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图像上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b,c的值.
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标.
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线与BC交于点M,与抛物线交于点N,则抛物线上是否存在点Q,使△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小 如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
图8
答案
1.B　2.A 3.C　4.D　5.A　6.C　7.3　
8.　9.1　10.y=-2x2-2
11.(4-m,1)　12.m≤3　13.x<-1或x>5　又∵抛物线开口向下,∴不等式ax2+bx+c<0的解集是x<-1或x>5.故答案为x<-1或x>5.
14.(3,1)　
15.S=-t2+3t　016.解:(1)将点(0,-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h,得
解得
(2)由(1),知该抛物线的表达式为y=(x-1)2-4,将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新的抛物线相应的表达式为y=(x-2)2-2.
17.解:(1)∵二次函数的图像与x轴有两个交点,
∴b2-4ac=22+4m>0,∴m>-1.
(2)∵二次函数的图像过点A(3,0),
∴0=-9+6+m,∴m=3,
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.
令x=0,则y=3,
∴B(0,3).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b,
则解得
∴直线AB的函数表达式为y=-x+3.
∵抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1,
把x=1代入y=-x+3,得y=2,
∴点P的坐标为(1,2).
18.解:(1)当x=0时,y=-×(0-5)2+6=,
∴点A的坐标为0,,
∴雕塑OA的高为 m.
(2)当y=0时,-(x-5)2+6=0,解得x1=-1(舍去),x2=11,∴点D的坐标为(11,0),∴OD=11 m.∵从点A向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同,
∴OC=OD=11 m,∴CD=OC+OD=22 m.
答:落水点C,D之间的距离为22 m.
(3)不会.通过计算说明如下:
当x=10时,y=-×(10-5)2+6=,
∴点10,在抛物线y=-(x-5)2+6上.
又∵≈1.83>1.8,∴顶部F不会碰到水柱.
19.解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b.
将A,B代入可得
解得
∴直线AB的函数表达式为y=-x+500.
(2)将y=-x+500代入w=y+2中,可得w=+2,
化简,得w=-x+7.
设总销售额为z元,则z=wx=x
=-x2+7x
=-
=-+×2102
=-+735.
∵a=-<0,
∴z有最大值,当x=210时,z取到最大值,最大值为735.
故一棵树上桃子的数量为210个时,该树上的桃子销售额最大.
20.解:(1)∵CD∥x轴,CD=2,点C,D均在抛物线上,
∴抛物线的对称轴为直线l:x=1.
∴-=1,解得b=-2.
∵OB=OC,C(0,c),
∴点B的坐标为(-c,0).
将B(-c,0)代入y=x2-2x+c,得0=c2+2c+c,解得c1=-3,c2=0(舍去),
∴c=-3.
(2)由(1)可知抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3,点B的坐标为(3,0).
设点F的坐标为(0,m).
∵对称轴为直线l:x=1,
∴E(1,-4),点F关于直线l的对称点F'的坐标为(2,m).
∵直线BE经过点B(3,0),E(1,-4),
∴利用待定系数法可得直线BE的函数表达式为y=2x-6.
∵点F'在BE上,
∴m=2×2-6=-2,即点F的坐标为(0,-2).
(3)存在满足题意的点Q.
∵抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3,
令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0).
设点P的坐标为(n,0),
则PA=n+1,PB=3-n,PN=-n2+2n+3,易得PM=3-n.
过点Q作QR⊥PN,垂足为R.
∵S△APM=S△PQN,
∴(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)·QR,
∴QR=1.
①当点Q在直线PN的左侧时,点Q的坐标为(n-1,n2-4n).
又∵点N的坐标为(n,n2-2n-3),
∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n-3)2=4n-2+1,
∴当n=时,NQ取得最小值1,
此时点Q的坐标为,-.
②当点Q在直线PN的右侧时,点Q的坐标为(n+1,n2-4),
同理,NQ2=1+(2n-1)2=4n-2+1,
∴当n=时,NQ取得最小值1.
此时点Q的坐标为,-.
综上所述,满足条件的点Q的坐标为,-或,-.