2021-2022学年苏科版九年级数学下册7.2正弦、余弦 课后综合练（Word版含答案）

7.2正弦、余弦---课后综合练---2021-2022学年九年级数学下册（苏科版）
一、选择题
1、已知在中，，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、在中，，，，则等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
3、在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
4、在中，，、、的对边分别是、、，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
5、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，
则图中∠ABC的余弦值是（　　）
A．2 B． C． D．
6、如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）
A． B． C． D．
7、如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝，AB＝4，
则AD的长为 ( )
A．3 B． C. D．
8、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD=9，DC=5，cos B=，E为边AC的中点，则 cos∠ADE的值为（ ）
A． B． C． D．
9、如图，在中，，于，若，，则的长为　　
A． B．10 C． D．12
10、如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝　　　　　　．
12、若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .
13、如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝，则梯子AB的长度为 米．
14、如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．
15、如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,
则的正弦值是__________．
16、如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D=，则=　　．
17、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；
②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　 　．
18、如图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．
三、解答题
19、如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．
20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦的值．
21、如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =，
求sin A，cos A，tan A的值．
22、如图，在中，，，，平分交边于点．
求（1）边的长；
（2）的值．
23、如图，在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：
(1)tanC的值；
(2)sinA的值．
24、如图所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，
sin∠BOA＝．
(1)求点B的坐标；
(2)求cos∠BAO的值．
25、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD.
(2)若sinC＝，BC＝34，求AD的长．
26、如图，在中，，，垂足为点，，．
（1）求的值；
（2）点在上，且，过作，垂足为点，求的长．
7.2正弦、余弦---课后综合练---2021-2022学年九年级数学下册（苏科版）（解析）
一、选择题
1、已知在中，，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由勾股定理求出，然后根据锐角三角函数定义判断即可．
【详解】
解：在中，，
，
，，，
故选:A．
2、在中，，，，则等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】直接根据余弦定义求解即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∴AC==2．
故选B．
3、在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正切的定义和勾股定理可得AB的长，根据正弦的定义可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴在中，设BC＝x，AC＝3x，
由勾股定理得：
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．
4、在中，，、、的对边分别是、、，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．
（2）余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作．
（3）正切：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作．分别进行分析即可．
【解析】在直角中，，则
，则，故选项错误、选项错误；
，则，故选项错误；
，则，故选项正确；
故选：．
5、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，
则图中∠ABC的余弦值是（　　）
A．2 B． C． D．
解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠ABC==．
故选D．
6、如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）
A． B． C． D．
解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD==5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD==．
故选：D．
7、如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝，AB＝4，
则AD的长为 ( )
A．3 B． C. D．
解：∠ADE和∠EDC互余，∴cos a＝sin∠EDC＝，sin∠EDC＝
∴EC=.
由勾股定理，得DE＝．在Rt△AED中，cos a＝,∴AD＝．故选B．
8、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD=9，DC=5，cos B=，E为边AC的中点，则 cos∠ADE的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形勾股定理及余弦函数可得，再由勾股定理可得，根据直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半可得，依据等边对等角可得，由此计算角的余弦即可．
【详解】解：∵于D，，，
∴，，
∵，∴，
∵E为AC中点，∴，∴，
∴，
故选：D．
9、如图，在中，，于，若，，则的长为　　
A． B．10 C． D．12
【答案】B
【分析】
先证得再解直角三角形ACD得、代入计算可得．
【详解】
解：，，，
，，
，，，
在中，，，
，则，
由得，
故选：B．
10、如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，
【详解】
∵在中，，∴,
∵于点，∴，
∴，，
∴∽，∴，即，，
∵，∴设，，
∴，∴，
故选：B．
二、填空题
11、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝　　　　　　．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．
12、若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .
解：∵sin2 a＋cos2 a＝l，∴a＝48°．
13、如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝，则梯子AB的长度为 米．
解：在Rt△BCA中，AC＝3米，cos∠BAC＝，所以AB＝4米，即梯子的长度为4米．
14、如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，
∴，
故答案为：．
15、如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,
则的正弦值是__________．
【答案】
【详解】分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==．
故答案为．
16、如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D=，则=　　．
【分析】由tan∠D=可设AB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x，得出CD＝x，继而可得答案．
【解析】在Rt△ABD中，∵tan∠D=，
∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴，
故答案为：．
17、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；
②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　 　．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解析】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正确； sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC， ∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
18、如图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．
【答案】
【详解】【分析】延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【详解】延长DM交CB的延长线于点H，
四边形ABCD是菱形，，，，
，，≌，，
，，设，
，，，
，
，或舍弃，
，
故答案为．
三、解答题
19、如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．
解：AC=
sin A=＝，cos A=＝，tan A==.
20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦的值．
解：∵∠C＝90°，tanA＝，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB＝x，
∴sinB＝＝＝， cosB＝＝＝
21、如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =，
求sin A，cos A，tan A的值．
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB＝16，∴CD=4，
∴AC=．∴sin A==，cos A ＝，tan A=.
22、如图，在中，，，，平分交边于点．
求（1）边的长；
（2）的值．
【分析】（1）在中，由推出，即可解决问题；
（2）过点作于点．由角平分线的性质定理可知，设，在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题；
【解析】（1）在中，,
又, ．
（2）过点作于点．
平分，，,，
设，
在中，，．，
,，，
在中，可得．
23、如图，在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：
(1)tanC的值；
(2)sinA的值．
解：(1)过A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC＝BC·AD＝84，∴×14×AD＝84，∴AD＝12，
又∵AB＝15，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝9，
∴CD＝14－9＝5.
在Rt△ADC中，AC＝＝13，
∴tanC＝＝
(2)过B作BE⊥AC于点E，
∵S△ABC＝AC·BE＝84，∴BE＝，
∴sin∠BAC＝＝＝
24、如图所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，
sin∠BOA＝．
(1)求点B的坐标；
(2)求cos∠BAO的值．
解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．
在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，∴BH=3，
∴OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)．
(2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．
在Rt△AHB中，∵BH=3，∴AB＝，
∴cos∠BAO== ．
25、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD.
(2)若sinC＝，BC＝34，求AD的长．
(1)证明：∵tanB＝cos∠DAC，
∴＝，∴AC＝BD.
(2)设AC＝BD＝x(x>0)，
则CD＝BC－BD＝34－x.
∵sinC＝＝，∴cosC＝，∴＝，
即＝，
解得x＝，即AC＝.
∴AD＝AC·sinC＝×＝.
26、如图，在中，，，垂足为点，，．
（1）求的值；
（2）点在上，且，过作，垂足为点，求的长．
【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出，然后在中，利用勾股定理求出，再根据计算即可；
（2）由，，可得，求出、，再利用勾股定理解决问题．
【解析】（1），，，，
，
；
（2），，，，
，，
，
在中，．