2021-2022学年苏科版九年级数学下册期末复习训练： 第7章锐角三角函数（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》期末复习训练2（附答案）
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（　　）
A．5sinA B．5cosA C． D．
2．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（　　）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
3．tan35° cotα＝1，则α等于（　　）
A．65° B．35° C．75° D．55°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么∠A的度数为（　　）
A．45° B．60° C．30° D．75°
6．下面四个数中，最大的是（　　）
A． B．sin88° C．tan46° D．
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形上，AB与CD相交于点O，则tan∠AOD等于（　　）
A． B．2 C．1 D．
8．如图，一棵珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（　　）（参考数据：1.4，≈1.7）
A．7米 B．14米 C．20米 D．40米
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB＝2米，梯子与地面夹角α的正弦值sinα＝0.8．梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
10．如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶一上D点处测得条幅顶端A的仰角为36.9°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为63.5°，已知台阶DE的坡度为1：2，DC＝2米，则条幅AB的长度约为（　　）
（参考数据：sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75，sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00）
A．7米 B．8米 C．9米 D．10米
11．如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°北方向上，那么汽车由B处到达离楼H距离最近的位置C时，需要继续行驶的时间为（　　）
A．60分钟 B．30分钟 C．15分钟 D．45分钟
12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
13．某建筑物的走廊墙壁上搭了一个长4m的梯子，梯子底端正好与地面成45°角，影响了人们的正常行走，为了拓宽行路通道，将梯子挪动位置，使其与地面的倾斜角恰为60°，则行路通道被拓宽了　 　m（结果保留根号）
14．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，tan∠ABC＝2，以AC为腰的等腰△ADC中，AC＝AD，且tan∠ADC＝，连接BD．则BD的长为 　 　．
15．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了200米，若斜坡与水平面的夹角为α，则他下降的高度为　 　米．（用含α的式子表示）
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为　 　．
17．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在水平地面L的影长BC为5米，落在斜坡上的部分影长CD为4米．测得斜CD的坡度i＝1：．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC＝80°，则旗杆AB的高度　 　．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，＝1.732）
18．周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛P处观看李四在湖中划船（如图），小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着小船向正南方向划行一段时间到B处．在B处李四观测张三所在的P处在北偏西45°方向上，这时张三与李四相距　 　米．（保留根号）
19．如图△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，则BC的长为　 　．
20．如图所示，P为∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sinα+cosα＝　 　．
21．直角坐标系内，点A与点B（sin60°，）关于y轴对称，如果函数的图象经过点A，那么k＝　 　．
22．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点K，若EC＝10，tan∠AED＝，则AK＝　 　．
23．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，点D是BC边的中点，点E是边AC上一点，过点D作ED的垂线交边AC于点F，若AC＝7CF，且DE恰好平分△ABC的周长，则△ABC的面积为　 　．
24．如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．
（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；
（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．
25．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）
26．阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sinA、cosA表示sin2A．
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于D，
则CE＝AB＝，∠CED＝2∠A，CD＝ACsinA，AC＝ABcosA＝cosA
在Rt△CED中，sin2A＝sin∠CED＝＝2ACsinA＝2cosAsinA
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sinA，sin2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A．
27．楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
参考答案
1．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，
∴sinA＝＝，
∴AB＝，
故选：C．
2．解：∵cosA＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，
∴当0°＜∠A＜45°时，sinA＜cosA，即sinA﹣cosA＜0．
故选：B．
3．解：由tan35° cotα＝1，得α＝35°．
故选：B．
4．解：如图所示：∵∠C＝90°，cosB＝，
∴设BC＝3x，则AB＝5x，
故AC＝4x，
则tanA＝＝．
故选：C．
5．解：∵∠C＝90°，cosA＝，
∴∠A＝60°．
故选：B．
6．解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；
B、sin88°≈0.999；
C、tan46°≈1.036；
D、≈≈0.568．
故tan46°最大，
故选：C．
7．解：如图，连接BE，与CD交于点F，
∵四边形BCEH是正方形，
∴HF＝CF＝CH，BF＝EF＝BE，CH＝BE，BE⊥CH，
∴BF＝CF，
∵AC∥BH，
∴△ACO∽△BHO，
∴HO：CO＝BH：AC＝1：3，
∵CF＝HF，
∴HO：HF＝1：2，
∴HO＝OF＝，
在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2
∵∠AOD＝∠BOF，
∴tan∠AOD＝2．
故选：B．
8．解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH＝45°，∠BHC＝90°，
∴∠HCB＝∠HBC＝45°，
∴HC＝HB，设HC＝BH＝xm，
∵∠A＝60°，
∴AH＝x，
∴x+x＝20，
∴x＝10（3﹣），
∴AB＝2AH＝2××10（3﹣）≈14（m）
故选：B．
9．解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2米，
∴sinα＝，
∴0.8＝，
∴AC＝2.5米，BC＝＝1.5米，
在Rt△ECD中，∵∠EDC＝90°，ED＝2.4米，EC＝AC＝2.5米，
∴CD＝＝0.7，
∴BD＝CD+BC＝0.7+1.5＝2.2米，
故选：C．
10．解：作DF⊥AB于点F，如右图所示，
由题意可得，DF＝CB，
∵台阶DE的坡度为1：2，DC＝2米，
∴CE＝2CD＝4米，
∵∠AFD＝90°，∠ADF＝36.9°，DC＝2米，tan∠ADF＝，
∴tan36.9°＝，
即DF＝，
又∵∠ABE＝90°，∠AEB＝63.5°，CE＝4米，CB＝DF，tan∠AEB＝，
∴BE＝，
即DF﹣4＝，
∴，
解得，AB≈8米，
故选：B．
11．解：作HC⊥AB交AB的延长线于C，
由题意得，∠HAB＝60°，∠ABH＝120°，
∴∠AHB＝30°，
∴BA＝BH，
∵∠ABH＝120°，
∴∠CBH＝60°，又HC⊥AB，
∴∠BHC＝30°，
∴BC＝BH，
∴BC＝AB，
∵从A到B行驶了1个小时，
∴该车继续行驶30分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置，
故选：B．
12．解：∵等腰三角形的周长是底边长的5倍，设底边为a，则腰长为2a．
作AD⊥BC于D点，CE⊥AB于E点．
∴AB＝AC＝2a，BD＝a，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
∵S△ABC＝BC AD＝AB CE，
∴CE＝．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：A．
13．解：∵AB＝CD＝4，∠B＝45°，∠CDO＝60°，
∴OB＝AB cos45°＝2（米）；
OD＝CD cos60°＝AB sin30°＝2（米）．
则BD＝OB﹣OD＝2﹣2（米）．
所以拓宽了行路通道2﹣2（米）．
故答案为：2﹣2
14．解：作AE⊥BC于E，AH⊥CD于H，作∠PAB＝∠DCB，∠PBA＝∠DBC，PG⊥BD，
∵AB＝2，tan∠ABC＝2，
∴tan∠ABC＝＝2，
∴AE＝2BE，
∵AB2＝AE2+BE2，即（2）2＝5BE2，
∴BE＝2，
∴AE＝4，EC＝BC﹣BE＝3﹣2＝1，
∴AC＝＝，
∵AC＝AD，
∴AD＝，DH＝HC＝DC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠ADC＝＝，
∴DH＝2AH，
∵AD2＝AH2+DH2，即17＝5AH2，
∴AH＝，
∴DC＝4AH＝，
作∠PAB＝∠DCB，∠PBA＝∠DBC，PG⊥BD，
∴△PAB∽△DBC；
∴
∴，
∴PA＝，
∵tan∠ABC＝2，tan∠ADC＝，
∴∠ABC+∠ADC＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝270°，，
∴∠PAD＝360°﹣270°＝90°，
∴PD＝＝，
∵∠PAB＝∠DCB，
∴∠PAD＝∠ABC，
∴，
∴△PBD∽△ABC，
∴；
∴，
∴BD＝
15．解：如图，设下滑的距离为AB＝200米，下降的高度为线段AC．
在Rt△ABC中，AC＝AB sinα＝200 sinα（米），
故答案为200 sinα．
16．解：过点E作EG⊥AC于点G，
又∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，
∴EG＝ED，
在Rt△AED和Rt△AEG中，
∴Rt△AED≌Rt△AEG（HL），
AG＝AD．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠DCA+∠BAC＝90°，
∴∠DCA＝∠B，
∵AC＝6，sinB＝，
∴sin∠DCA＝sinB＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴DC＝＝＝，
∴AG＝AD＝，CG＝AC﹣AG＝，
∴在Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2，
∴（DC﹣ED）2＝（DC﹣EG）2＝EG2+CG2
∴，
∴EG＝，
∴DE＝．
故答案为：．
解法二：如图，过点E作EG⊥AC于G．设EC＝x．
则EG＝DE＝x，
∴CD＝x+x＝，
∴x＝3，
∴DE＝．
17．解：延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥CE于点F．
在△DCF中，∵CD＝4m，DF：CF＝1：，
∴tan∠DCF＝，
∴∠DCF＝30°，∠CDF＝60°．
∴DF＝2（m），CF＝2（m），
在Rt△DEF中，因为∠DEF＝50°，
所以EF＝≈1.67（m）
∴BE＝EF+FC+CB＝1.67+2+5≈10.13（m），
∴AB＝BE tan50°≈12.2（m），
故答案为12.2m．
18．解：作PD⊥AB于点D，
由已知得PA＝200米，∠APD＝30°，∠B＝45°，
在Rt△PAD中，
由cos30°＝，得PD＝PAcos30°＝200×＝100米，
在Rt△PBD中，
由sin45°＝，得PB＝＝＝100（米）．
故答案为：100．
19．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝5，BD＝＝＝11，
∴BC＝BD+CD＝11+5＝16，
故答案为：16．
20．解：∵P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（3，4），
∴PB＝4，OB＝3，OP＝＝＝5．
故sinα＝＝，cosα＝＝，
∴sinα+cosα＝，
故答案为：．
21．解：∵sin60°＝，
∴点B（，）．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：
点A为（﹣，），
∵函数的图象经过点A，
∴k＝×＝．
22．解：过点K作KM⊥EC，过D作DN∥AC，设KM＝m，∠BED＝∠α
∵ED＝EC＝10，
∴∠ECD＝∠EDC＝∠B+∠α，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠ECA＝∠AED，
∵tanα＝，
∴CM＝2m，KC＝m，
∵DN∥AC，D是BC的中点，
∴ND＝AC，∠EAC＝∠END，EC＝ED，
∴△EAC≌△DNE（AAS），
∴AE＝ND，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴ND＝AB＝AN＝BN，
∴4AK＝AC，
∵AC＝AK+CK，
∴AK＝CK＝，
∴K是ED的中点，
∴EK＝5，
在Rt△EKM中，EM＝10﹣2m，KM＝m，
∴52＝m2+（10﹣2m）2，
∴m＝3或m＝5（舍）
∴AK＝；
故答案为；
23．解：如图，取AC的中点M，连接DM，作AH⊥BC于H．设DM＝a，AE＝b．
∵BD＝DC，AM＝MC，
∴AB＝2DM＝2a，
∵AB+AE+BD＝EC+DC，
∴EC＝2a+b，AC＝2a+2b，
∴AM＝MC＝a+b，
∴EM＝a，
∴EM＝DM，
∴∠MED＝∠MDE，
∵∠MED+∠MFD＝90°，∠MDE+∠MDF＝90°，
∴∠MFD＝∠MDF，
∴MD＝MF＝a，
∴CF＝AE＝b，
∵AC＝7CF，
∴2a+2b＝7b，
∴2a＝5b，
∵AB＝5b，AC＝7b，
在Rt△ABH中，∵∠B＝60°，
∴BH＝AB＝b，AH＝b，
在Rt△ACH中，CH＝＝b，
∴BC＝BH+HC＝8b，
∴8b＝8，
∴b＝1，
∴S△ABC＝×8×＝10，
故答案为10．
24．解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB sin70°＝20×0.94＝18.8，
∴AH＝20.8．
答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；
（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得
，
解得，x1＝60，x2＝﹣40，
经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，
答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．
25．解：由题意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝60m，
设AD＝xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝，
∴CD＝AD＝x，
∴BD＝BC+CD＝x+60，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝，
∴x＝（x+60），
∴x＝30（+1）米，
答：山高AD为30（+1）米．
26．解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝1，∠C＝90°，
∴AC＝＝2，
∴sinA＝＝，cosA＝，
∴sin2A＝2cosA sinA＝
（2）如图2中，cos2A＝cos∠CED＝＝＝2AC cosA﹣1＝2（cosA）2﹣1．
27．解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝＝＝tan∠ECF，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝CE＝9米，CF＝9米，
∴BH＝EF＝9米，HE＝BF＝BC+CF＝（30+9）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（30+9）米，
∴AB＝AH+HB＝（39+9）米．
答：楼房AB的高为（39+9）米．