福建省南平市延平区高级中学2022届高三上学期12月月考数学试题（Word版含答案）

南平市延平区高级中学2022届高三上学期12月月考
数学试卷
满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的复数为（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，若，则此数列前30项和等于（ ）
A．810 B．840 C．870 D．900
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的零点所在的区间为（ ）
A．（-1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，2）
5．若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
6．函数f(x)=(3x-x3)sinx的部分图象大致为（ ）
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．A=30°，B=45°，c=5 B．a=4，b=5，C=60°
C．a=8，，B=45° D．a=6，b=8，A=30°
8．函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题
9．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数的周期为 B．
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称
11．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为BA1的中点，下列判断正确的是（ ）
A．AB平面A1CD B．直线EC1与直线AD是异面直线
C．在直线A1C1上存在点F，使EF⊥平面A1CD D．直线BA1与平面A1CD所成角是
12．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ）
A． B． C． D．
3、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知＝5，则tan α＝_____________.
14．在中，，，，为的三等分点，则____________.
15．已知函数是奇函数.若，求的取值范围_________
16．在四面体PABC中，平面平面ABC，，，则该四面体的外接球的体积为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，___________.
（1）求角A； （2）若，，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如图所示.
（1）求的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有%的把握认为休假天数与月薪有关.
月休假不超过6天 月休假超过6天 合计
月薪超过5000 90
月薪不超过5000 140
合计 300
参考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且，，成等差数列，等差数列的首项为1．
（1）求和的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求．
20．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．
(1)求证：AB∥平面DEG；
(2)求二面角C DF E的余弦值．
21．全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 86 92 87 89 86
乙 90 86 89 88 87
（1）从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；
（2）从5次训练中随机选取2次，用表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求的分布列和数学期望；
（3）根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.
（注：样本数据的方差，其中）
22．已知函数在点处的切线平行于x轴．
（1）求实数a，b的值；
（2）讨论函数的零点个数．
参考答案
1．D【详解】由题知，，则，所以，
故选：D．
2．B【详解】
设此数列前30项和为，则，
故选：B.
3．B【详解】求解二次不等式可得：，
∵ 由可推出，由不能推出，
∴ 是的必要不充分条件.
故选：B.
4．C
【详解】
由题设，，，，，
∴零点所在的区间为（，1）.
故选：C
5．C
6．A
7．D【详解】对于选项A中：由A=30°，B=45°，c=5，所以，再利用正弦定理可求，显然只有一解；
对于选项B中：由余弦定理可得，所以只有一解；
对于选项C中：因为，且，所以只有一解；
对于选项D中：因为，且，所以角有两解.
故选：D.
8．C
【详解】由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是.
故选：C
9．ABD
【详解】
由题知，
所以，
对于A选项，由于在上单调递减，
所以当时，可以得到，故A正确，
对于B选项，因为，不等式两边同乘负数得，
故B正确，
对于C选项，因为，所以，
故C错误，
对于D选项，由于在上单调递增，
所以当时，可以得到，故D正确，
故选：ABD.
10．BC
【详解】
A：，，显然，故的周期为错误；
B：，正确；
C：在上，，易知在区间上递增，正确；
D：，，显然，故关于点中心对称错误；
故选：BC
11．ACD
【详解】
对于选项A，结合正方体的性质，可知，故易得AB平面A1CD，故A正确；
对于选项B， 结合正方体的性质，易知直线与直线都在平面中，故B错误；
对于选项C，取的中点，连接、、、 ，易知，
结合正方体的性质，易知平面，故平面，
即在点处时，平面，故C正确；
对于选项D，取的中点，结合正方体的性质，易知平面，
因此即为直线与平面所成角，
因为 ，，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．B
【详解】
由题意可知，则对任意的，，则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
13．2
14．
【详解】
设，，
同理，，
由得：，
∴
．
故答案为：．
15．
16．
【详解】
解析：如图，设AB的中点为D，连接PD，DC，因为，，所以，，
又平面平面ABC，所以平面ABC，平面PAB.
设该四面体外接球的球心为O，，的外接圆圆心分别为，，
易知，分别在直线DC，PD上，连接，，则平面ABC，所以，则四边形为矩形.
设，的外接圆半径分别为，，外接球的半径为R，
在中，由正弦定理得，则.
在中，，易得，所以，
所以，得，则，连接PO，
在中，，
所以该四面体的外接球的体积.
故答案为：．
17．
（1）
（2）
（1）方案一：选条件①.
根据正弦定理及得，
整理得，
即，
易知，
所以，
又，所以，
又，（注意角的范围）故.
方案二：选条件②.
在中，，所以，
结合二倍角公式，可得，
所以，
得.
又，所以.
方案三：选条件③.
在中，，所以，
所以，
结合正弦定理可得，，得.
又，所以.
（2）
根据余弦定理可得，
，
又，，，
所以，得，
所以.
18．
（1），这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数为6
（2）有%的把握认为休假天数与月薪有关，理由见解析
（1）
因为，所以
这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数为
（2）
1000名中月休假不超过6天的总人数为人，
超过6天的总人数为500人，
按分层抽样可得这300人中不超过6天的人数为150人，超过6天的人数为150人
所以
月休假不超过6天 月休假超过6天 合计
月薪超过5000 90 70 160
月薪不超过5000 60 80 140
合计 150 150 300
所以有%的把握认为休假天数与月薪有关.
19．
（1），
（2）
（1）
因为，，成等差数列，所以：，整理得：，
即，故，解得，
所以，．
（2）
证明：（2）由（1）得：，
故①，
②，
①②得：，故．
20．【解】　(1)证明：因为AD∥EF，EF∥BC，
所以AD∥BC，又BC＝2AD，G是BC的中点，
所以AD//BG且AD=BG，所以四边形ADGB是平行四边形，所以AB∥DG.
因为AB 平面DEG，DG 平面DEG，
所以AB∥平面DEG.
(2)因为EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
所以EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，
所以EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则E(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)．
由已知得＝(2，0，0)是平面EFDA的一个法向量．
设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)，
则因为＝(0，－1，2)，＝(2，1，0)，所以令z＝1，得y＝2，x＝－1，所以可取n＝(－1，2，1)．
设二面角C DF E的大小为θ，则cos θ＝cos〈n，〉＝＝－.
易知二面角C DF E为钝二面角，
所以二面角C DF E的余弦值为－.
21．
（1）；
（2）分布列见解析，数学期望为；
（3）乙在选拔中更具竞争力，理由见解析.
（1）
在5次模拟训练中，甲的成绩高于乙的成绩有2次，乙的成绩高于甲的成绩有3次，
从5次训练中随机选取1次的试验有5个基本事件，它们等可能，甲的成绩高于乙的成绩的事件A有2个基本事件，
所以甲的成绩高于乙的成绩的概率.
（2）
的所有可能值是：0，1，2，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
数学期望为.
（3）
甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为，
甲成绩的方差，
乙成绩的方差，
虽然，但，因此得乙的成绩更稳定，
所以乙在选拔中更具竞争力.
22．
（1）
（2）函数在上有两个零点.
（1）
因为，所以，
由题意可知，解得，
（2）
由（1）知，所以，
由于，所以当时，，所以在上单调递增，因为时，，而，因此时，，因此函数在上无零点；
则，当时，，则在上单调递减，且，因为，则，由零点存在性知在上存在唯一零点；
当时 ，令，则，所以在上单调递增，且，，由零点存在性定理知存在唯一零点，使得，因此在时单调递减，在时单调递增，且，，，由零点存在性定理知存在唯一零点在上，因此在上存在唯一零点；
当时，，则在上单调递增，且，所以在上无零点；
综上所述：函数在上有两个零点.