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第14章 全等三角形单元单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋 孝义市期中）下列四组图形中，与如图图形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、与已知图形不能重合，故此选项不合题意；
B、与已知图形能完全重合，故此选项符合题意；
C、与已知图形不重合，故此选项不合题意；
D、与已知图形不重合，故此选项不合题意．
故选：B．
2．（4分）（2021秋 恩平市期中）如图，已知△ABC≌△CDE，下列结论中不正确的是（ ）
A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠B＝∠D D．∠ACB＝∠ECD
解：∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D
∴第四个选项∠ACB＝∠ECD是错的．
故选：D．
3．（4分）（2021秋 上思县期中）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．钝角三角形 C．长方形 D．四边形
解：只有三角形具有稳定性，正方形、长方形以及四边形都不具有稳定性．观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
4．（4分）（2021秋 思南县期中）有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；
③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；
④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（4分）（2021秋 富县期中）如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为（ ）
A．35° B．30° C．60° D．65°
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
6．（4分）（2021秋 红桥区期中）如图，6个边长相等正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数（ ）
A．45° B．90° C．135° D．225°
解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．
7．（4分）（2021秋 新兴县期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，要说明△ABC≌△DEF，需添加的条件不能是（ ）
A．AB∥DE B．AC∥DF C．AC⊥DE D．AC＝DF
解：A．由AB∥DE知∠B＝∠DEF，结合AB＝DE，∠A＝∠D可依据“ASA”判定△ABC≌△DEF，此选项不符合题意；
B．由AC∥DF知∠ACB＝∠F，结合AB＝DE，∠A＝∠D可依据“AAS”判定△ABC≌△DEF，此选项不符合题意；
C．由AC⊥DE无法证明△ABC≌△DEF，此选项符合题意；
D．由AC＝DF，结合AB＝DE，∠A＝∠D可依据“SAS”判定△ABC≌△DEF，此选项不符合题意；
故选：C．
8．（4分）（2021秋 如皋市期中）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故选：C．
9．（4分）（2021秋 微山县期中）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
解：∵H是高MQ和NR的交点，
∴∠P+∠PMQ＝90°，∠PMQ＝∠RHM＝90°，∠QHN+∠HNQ＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠P＝∠QHN，
在△PMQ与△HNQ中，
，
∴△PMQ≌△HNQ（AAS），
∴PQ＝HQ，MQ＝QN，
∵MH＝3，PQ＝2，
∴MQ＝NQ＝MH+HQ＝MH+PQ＝3+2＝5，
∴PN＝PQ+QN＝2+5＝7，
故选：B．
10．（4分）（2021春 温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS
解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2021秋 龙口市期中）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝110m，则水池宽AB的长度是 110 m．
解：∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝∠CAB＝90°，
在△ACD与△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（ASA），
∴AB＝AD＝110m，
故答案为：110．
12．（5分）（2021秋 青羊区校级期中）如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6 ．
解：如图，作LM⊥FE交FE的延长线于点M，交JI的延长线于点N，
∵四边形A、B、C都是正方形，且正方形A、C的面积分别为9、4，
∴∠EKI＝∠EDR＝∠IHG＝90°，DE2＝9，HI2＝4，
∴DE＝3，HI＝2，
∵∠EDK＝∠KHI＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DKE＝90°﹣∠KHI＝∠HIK，
在△EDK和△KHI中，
，
∴△EDK≌△KHI（AAS），
∴DK＝HI＝2，DE＝HK＝3，
∴S△EDK＝S△KHI＝×3×2＝3；
∵∠DEF＝∠HIJ＝90°，
∴∠DEM＝180°﹣∠DEF＝90°，∠HIN＝180°﹣∠HIJ＝90°，
∵∠KEL＝∠KIL＝90°，
∴∠MEL＝∠DEK＝90°﹣∠KEM，∠NIL＝∠HIK＝90°﹣∠KIN，
∵EF∥l，IJ∥l，
∴EF∥IJ，
∴∠EML＝∠EMN＝∠N＝90°，
在△EML和△EDK中，
，
∴△EML≌△EDK（AAS），
∴EM＝ED＝EF，
∴S△EFL＝S△EML＝S△EDK＝3；
在△LNI和△KHI中，
，
∴△LNI≌△KHI（AAS），
∵IN＝IE＝IJ，
∴S△LJI＝S△LNI＝S△KHI＝3，
∴S△EFL+S△LJI＝3+3＝6，
∴阴影部分的总面积为6．
13．（5分）（2021秋 魏都区校级期中）在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是 0.5cm＜AD＜3.5cm ．
解：如图，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：4﹣3＜AE＜4+3，
∴0.5cm＜AD＜3.5cm，
故答案为：0.5cm＜AD＜3.5cm．
14．（5分）（2021秋 微山县期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 1或1.2 cm/s．
解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，
即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；
当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，
即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，
综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．
故答案为：1或1.2．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2021 商河县校级模拟）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）
∴∠ACB＝∠DBC．
∴∠OCB＝∠OBC．
∴OB＝OC（等角对等边）．
16．（8分）（2021秋 温州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC（填空）．
证明：在三角形△ABD和△ACD中，
∵，
∴ △ADB ≌ △ADC （ SSS ）．
∴∠ADB＝ ∠ADC （全等三角形的对应角相等）．
∴∠ADB＝∠BDC＝90°（平角的意义）．
∴ AD⊥BC （垂直的意义）．
证明：在三角形△ABD和△ACD中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS）．
∴∠ADB＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）．
∴∠ADB＝∠BDC＝90°（平角的意义）．
∴AD⊥BC（垂直的意义）．
故答案为：△ADB，△ADC，SSS，∠ADC，AD⊥BC．
17．（8分）（2021秋 博兴县期中）已知：如图，点E在线段BC上，且△ABC≌△AED．
求证：（1）∠B＝∠AEB；
（2）AE平分∠BED．
证明：（1）∵△ABC≌△AED，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，
又∠B＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB，
∴AE平分∠BED．
18．（8分）（2021秋 高安市期中）如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．
解：小聪的做法可行．理由如下：
∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴∠OCF＝∠ODE＝90°，
在Rt△COP和Rt△DOP中，
，
∴Rt△COP≌Rt△DOP（HL），
∴∠OCP＝∠DOP，
∴OP平分∠AOB．
19．（10分）（2021秋 覃塘区期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC．
（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；
（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BE＝AB＝2，BD＝BC＝3，
∵点E在BD上，
∴DE＝BD﹣BE＝3﹣2＝1；
（2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE，理由如下：
∵点A，B，C在同一直线上，且△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴将△ABD绕点B顺时针方向旋转90°得到△EBC，
∴AD绕点B顺时针方向旋转90°得到EC，
∴AD⊥CE．
20．（10分）（2021秋 河西区期中）在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，5）和点C（0，3）．
（Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB＝ 5 ；
（Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（﹣5，0），
求证：△AOB≌△COD．
（Ⅰ）解：∵点B（0，5），
∴OB＝5，
故答案为：5；
（II）证明：∵点A（3，0），点B（0，5）和点C（0，3），点D的坐标为（﹣5，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
21．（12分）（2021秋 邳州市期中）如图在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC、BD交于点M，连接OM．
（1）求∠AMB的度数；
（2）MO是∠AMD的平分线吗？请说明理由．
解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°；
（2）MO是∠AMD的平分线．
理由：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD．
22．（12分）（2021秋 富县期中）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m．
23．（14分）（2021秋 浑源县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）当B、C在DE的同侧时（如图1），且AD＝CE，探索AB与AC的位置关系，并证明你的结论；
（2）当B、C在分别在DE的两侧时（如图2）其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
解：（1）AB⊥AC．
证明：∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
在△BDA和△AEC中，
，
∴Rt△BDA Rt△AEC（HL），
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥AC；
（2）当B、C在分别在DE的两侧时，其他条件不变，仍有AB⊥AC．
证明：∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
在△BDA和△AEC中，
，
∴Rt△BDA Rt△AEC（HL），
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE＝90°，
即AB⊥AC．
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第14章 全等三角形单元单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋 孝义市期中）下列四组图形中，与如图图形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）（2021秋 恩平市期中）如图，已知△ABC≌△CDE，下列结论中不正确的是（ ）
A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠B＝∠D D．∠ACB＝∠ECD
3．（4分）（2021秋 上思县期中）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．钝角三角形 C．长方形 D．四边形
4．（4分）（2021秋 思南县期中）有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（4分）（2021秋 富县期中）如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为（ ）
A．35° B．30° C．60° D．65°
6．（4分）（2021秋 红桥区期中）如图，6个边长相等正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数（ ）
A．45° B．90° C．135° D．225°
7．（4分）（2021秋 新兴县期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，要说明△ABC≌△DEF，需添加的条件不能是（ ）
A．AB∥DE B．AC∥DF C．AC⊥DE D．AC＝DF
8．（4分）（2021秋 如皋市期中）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
9．（4分）（2021秋 微山县期中）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．11
10．（4分）（2021春 温江区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2021秋 龙口市期中）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝110m，则水池宽AB的长度是 m．
12．（5分）（2021秋 青羊区校级期中）如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 ．
13．（5分）（2021秋 魏都区校级期中）在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
14．（5分）（2021秋 微山县期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2021 商河县校级模拟）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．
16．（8分）（2021秋 温州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC（填空）．
证明：在三角形△ABD和△ACD中，
∵，
∴ ≌ （ ）．
∴∠ADB＝ （全等三角形的对应角相等）．
∴∠ADB＝∠BDC＝90°（平角的意义）．
∴ （垂直的意义）．
17．（8分）（2021秋 博兴县期中）已知：如图，点E在线段BC上，且△ABC≌△AED．
求证：（1）∠B＝∠AEB；
（2）AE平分∠BED．
18．（8分）（2021秋 高安市期中）如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．
19．（10分）（2021秋 覃塘区期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC．
（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；
（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．
20．（10分）（2021秋 河西区期中）在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，5）和点C（0，3）．
（Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB＝ ；
（Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（﹣5，0），
求证：△AOB≌△COD．
21．（12分）（2021秋 邳州市期中）如图在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC、BD交于点M，连接OM．
（1）求∠AMB的度数；
（2）MO是∠AMD的平分线吗？请说明理由．
22．（12分）（2021秋 富县期中）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
23．（14分）（2021秋 浑源县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）当B、C在DE的同侧时（如图1），且AD＝CE，探索AB与AC的位置关系，并证明你的结论；
（2）当B、C在分别在DE的两侧时（如图2）其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
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