江苏省南京市六校2021-2022学年高一12月联合调研考试数学试题（Word版含答案）

南京市六校2021-2022学年高一12月联合调研考试
数学试卷
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．函数f(x)＝＋的定义域是（ ▲ ）
A．[－1,＋∞) B．(－1,1)∪(1,＋∞) C．(1,＋∞) D．[－1,1)∪(1,＋∞)
2．将函数y＝ex图象上所有的点向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数为f(x)，则f(x)＝( ▲ )
A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1
3．下列函数中,是奇函数的是（ ▲ ）
A．y＝－x+4 B. y＝x－1 C．y＝ D．y＝|x|
4. 已知命题p：|x－1|＜1，命题q：－1＜x＜2，则命题p是命题q成立的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设a＝，b＝log43，c＝，则 （ ▲ ）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c
6．规定max{a，b}表示取a、b中的较大者，例如max{0.1，－2}＝0.1，max{2，2}＝2．则函数f(x)＝max{x＋1，4－2x}的最小值为（ ▲ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝×(弦×矢+矢2 )，弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( ▲ )
A．2＋4 B．＋ C．2＋8 D．4＋8
8．已知函数f(x)＝log3，若f(a)＋f(a－1)＞0，则实数a的取值范围是（ ▲ ）
A．(－∞，) B．(－1，) C．(－2，2) D．(－1，2)
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9.图中矩形表示集合U，A、B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为 （ ▲ ）
A．( UA)∩B B． B(A∩B)
C． U[A∩( UB)] D． (A∪B)A
10.下列函数中，最小值为2的有（ ▲ ）
A．y＝x＋ B．y＝ex＋e－x C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝3x＋2
11．设a＝log36，b＝log2，则下列结论正确的有（ ▲ ）
A．－ =1 B．＋ =1 C．a＋b＜0 D．－＜0
12．已知函数f(x)＝，若存在 0＜a＜b＜c，使f(a)＝f(b)＝f(c)．则下列结论正确的是（ ▲ ）
A．f(x)的值域是R B．ab=1
C．f(x)=t有唯一解的充要条件是t＞1 D．abc的取值范围为(2，)
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知 α{－1，，－2}，若幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝ ▲ ．
14．“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周角分为6 000等份，每一等份是一个密位，则120密位＝ ▲ 弧度．
15．函数f(x)＝log(x2－2x)的增区间是 ▲ ．
16．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对x1，x2[0，＋∞)，其中x1≠x2，都有 (x1－x2)·[x1f(x1)－x2f(x2)]＞0，且f(2)＝3，则不等式f(x)＞的解集为 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xoy中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上.
若α(0，)，且α的终边与单位圆的交点的横坐标为 eq \f(,10)，求tanα的值；
若tanα＝2，求的值.
18．（本小题满分12分）
已知全集U＝R，集合A＝{x|＜0}，B＝{x|(x－a)(x－a－2)＜0}．
若a＝1，求A∩( UB)；
（2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）
（1）化简求值：()－ eq \o(,\d\fo()\s\up8())×(－)0＋8 eq \o(,\d\fo()\s\up8())×＋(×)6；
（2）解关于x的不等式：2(log2x)2－7log2x＋3≤0．
20．（本小题满分12分）
在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
已知正实数x、y满足2x＋y＝1，求＋的最小值．
甲给出的解法：由1＝2x＋y≥2，得≤ eq \f(, 4)，
所以＋≥2 eq \r(·)＝eq \f(,)≥4，所以＋的最小值为4．
而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；
结合上述问题（1）的结构形式，试求函数y＝＋(0＜x＜)的最小值．
21．（本小题满分12分）
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无穷；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数运算是两类重要的运算．
对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．一个自然数数位的个数，叫做位数．例如：26＝64，所以26的位数是2；210＝1024(103，104)，所以210的位数是4．
（1）试判断220和2100的位数，并说明理由；
（2）若3n(nN*)的位数是100，试求出n的所有可能取值．
（本题参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，aR)．
（1）求证：函数h(x)＝x＋在[1,＋∞)上是增函数；
（2）当a＝－1时，若对任意的x∈[1，2]，都有f(2x)≥mf(x)成立，求实数m的取值范围；
（3）当f(x)为偶函数时，若关于x的方程f(2x)＝mf(x)有实数解，求实数m的取值范围．
南京市六校2021-2022学年高一12月联合调研考试
数学试卷参考答案与评分标准
一．单项选择题
1．D　　2．B　　3．C　　4．A 5．C　　6．B　　7．A　　8．B
二．多项选择题
9．ABD 10．BC 11．AC 12．ABD
三．填空题：
13． 14． 15．(－∞，0) 16． (－2，0)∪(2，＋∞)
四．解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）由三角函数的定义知cosα＝ eq \f(, 10) …………………………………………1分
因为α是锐角，所以sinα＝＝ eq \r(1－( eq \f(, 10))2)＝ eq \f(7, 10) ……………3分
所以tanα＝＝ eq \f(7, 10)÷ eq \f(, 10)＝7 …………………………………………5分
（2）方法一：因为tanα＝2
所以＝ ………………………………………………8分
＝＝3 ………………………………………………10分
方法二：因为tanα＝2，即sinα＝2cosα…………………………………7分
所以＝＝3 ……………………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）当a＝1，A＝(2，5)，B＝(1，3) ………………………………………2分
所以 UB＝(－∞，1]∪[3，＋∞) ………………………………………4分
所以A∩( UB)＝[3，5) ……………………………………………6分
（2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以B A……………………………8分
又A＝(2，5)，B＝(a，a＋2) ……………………………………………9分
所以有，解得2≤a≤3
所以a的取值范围是[2，3] ……………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）原式＝(2－3)－ eq \o(,\d\fo()\s\up8())×1＋(23) eq \o(,\d\fo()\s\up8())×2 eq \o(,\d\fo()\s\up8())＋(2 eq \o(,\d\fo()\s\up8())×3 eq \o(,\d\fo()\s\up8()))6
＝2＋2 eq \o(,\d\fo()\s\up8(＋))＋22×33＝2＋2＋108＝112 ……………………………………6分
（2）原方程可化为(2log2x－1)(log2x－3)≤0 ……………………………………8分
≤log2x≤3，解得≤x≤8
所以原不等式的解集是[，8] ………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x＝y和x＝2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：…………………2分
因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝1
所以 ＋＝(2x＋y)(＋)
＝＋＋≥＋2 eq \r(·)＝ ………………………………4分
当且仅当＝，即x＝y＝时取“＝” ………………………………5分
所以 ＋的最小值为 ………………………………………………6分
（2）因为0＜x＜，所以0＜2－3x＜2
所以y＝＋
＝[3x＋(2－3x)][＋] ………………………………8分
＝(4＋＋)
≥(4＋2 eq \r(·))
＝2＋ ……………………………………………………10分
当且仅当＝，即x＝1－eq \f(,3)(0，)时取“＝”……………………11分
所以 y＝＋(0＜x＜)的最小值为2＋ ……………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）因为220＝1 024×1 024＝1 048 576(106，107)，
所以220的位数是7 ………………………………………3分
设10k＜2100＜10k＋1(kN*)， ………………………………………4分
因为y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数
所以取常用对数得k＜100·lg2＜k＋1，即29.1＜k＜30.1
又kN*，所以k＝30， …………………………………………………6分
所以220的位数是31 …………………………………………………7分
（2）依题意得1099＜3n＜10100
取常用对数99＜n·lg3＜100 ………………………………………………8分
因为lg3＞0，所以＜n＜，即207.5＜n＜209.6 …………………10分
又nN*，所以n＝208或209
故n的所有可能取值为208和209 ……………………………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）证明：任取x1，x2[1,＋∞)，且x1＜x2
则h(x1)－h(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝ …………………1分
因为1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0
所以h(x1)－h(x2)＜0，即h(x1)＜h(x2)
所以h(x)＝x＋在[1,＋∞)上是增函数 ……………………………3分
（2）当a＝－1时，f(x)＝2x－在[1，2]上单调递增，
所以当x[1，2]，f(x)＝2x－[，] …………………………………4分
所以对任意的x[1，2]，都有f(2x)≥mf(x)成立转化为
22x－≥m(2x－)，即m≤2x＋对x[1，2]恒成立 ………………………5分
令t＝2x[2，4]，则m≤t＋恒成立，所以m≤h(t)min
由（1）知h(t)＝t＋在[2，4]上单调递增，所以h(t)min＝h(2)＝
所以m的取值范围是(－∞，] …………………………………7分
（3）当f(x)为偶函数时，对xR，都有f(－x)－f(x)＝0，
即(2－x＋)－(2x＋)＝0(2x－)(－1)＝0恒成立
所以－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝2x＋ ………………………………8分
所以方程f(2x)＝mf(x)，即22x＋＝m(2x＋) （*）有实数解
令t＝2x＋≥2 eq \r(2x·)＝2（当x＝0时取“=”），
则22x＋＝(2x＋)2－2＝t2－2 ………………………………10分
所以方程（*）t2－2＝mt，即m＝t－在t[2,＋∞)上有实数解
而m＝t－在t[2,＋∞)上单调递增，所以m≥1 …………………………12分
U
A
B