6.2.2向量的减法运算
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)
一、教学目标
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算规则，并理解其几何意义.
2.类比向量加法的三角不等式，探究向量减法的三角不等式，并学会简单的应用.
二、教学重难点
1.向量的减法运算法则及其几何意义.
2.对向量减法定义的理解，向量的三角不等式.
三、教学过程
1.创设问题，类比数的减法运算定义向量的减法运算
问题1：（1）在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”. 类比数的减法，如何定义向量的减法法则？
（2）类比实数的相反数是，对于向量，你能定义“相反向量”吗？它有哪些性质？
（3）你认为向量的减法该怎样定义？
【预设的答案】（1）先定义相反向量；（2）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，性质如下：①；②零向量的相反向量仍是零向量；③；④如果互为相反向量，那么，，；（3）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
【设计意图】引导学生类比数的减法，故要定义向量的减法就得先定义相反向量；实数的相反数是，定义相反向量并得出其性质，为帮助学生探讨向量的减法法则进行准备；进而联想数的减法的定义，积极思考、尝试定义向量的减法.
2. 动手实践，理解向量减法的几何意义
问题2：已知向量，向量的几何意义是什么？
活动：学生自己画图、探索、小组交流，教师组织学生代表展示，讲解.
【活动预设】
如图1，，，，连接，由向量减法的定义知
在四边形中，平行与且等于，所以是平行四边形，所以
教师讲授：（向量减法的作图步骤）如图2，已知向量，在平面内任取一点（强调共起点），作，，则，即可以表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量（需格外强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义）.
【设计意图】让学生明确向量减法的几何意义.
追问：（1）在图中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？
(2) 如果改变图中向量的方向，使∥，怎样作出呢？
【预设的答案】（1）向量；（2）当向量共线时，详见向量的三角不等式.
3. 动手实践，探究向量的三角不等式
问题3：（1）已知向量共线，你能作出向量吗？
（2）试探索不同情况下||，||，||之间的关系.
活动：学生自己画图探索后，教师板书讲解并总结向量的三角不等式.
【活动预设】
当向量至少有一个为零向量时，且；
如图3，非零向量同向时，在平面内任取一点，作，，则. 此时；
如图4，非零向量反向时，在平面内任取一点，作，，则. 此时；
如图5，非零向量不共线时，在平面内任取一点，作，，则. 此时，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得.
综上所述，，其中成立的充要条件是与反向或与中至少有一个为零向量，成立的充要条件是与同向或与中至少有一个为零向量.
【设计意图】
在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；类比上一小节学习向量的加法运算时所学的向量的三角不等式，探究有关向量减法的三角不等式.
教师讲授：总结上节课和本节课所学的向量的三角不等式及其等号成立条件.
练习：若，，则的取值范围是__________．
【预设的答案】.
【设计意图】向量的三角不等式的简单应用，利用其求向量的取值范围.
4. 初步应用，巩固向量的减法运算
例1（教材P12例3）如图5，已知向量，求作向量.
【预设的答案】如图6.
【设计意图】理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法.
练一练 如图7，已知向量不共线，求作向量.
【预设的答案】如图8.
例2（教材P13练习T2）填空：
【预设的答案】；；；；.
【设计意图】考察学生对向量减法运算的掌握.
练一练 化简：（1）；（2）.
【预设的答案】（1）；（2）.
题型总结：化简向量的一般思路：
（1）转化为向量的加法：首尾相接；（2）直接计算向量的减法：两向量共起点（起点的字母必须相同）.
例3（教材P12例4）如图9，在平行四边形中，，，用表示向量.
【预设的答案】.
【设计意图】让学生借助向量的加、减运算，用已知向量表示其他向量.
练一练 如图10，在四边形中，设，，，则向量可用表示为________.
【预设的答案】.
5. 归纳小结
思考：如何定义向量的减法运算？向量减法的几何意义是什么？
【设计意图】梳理本节课对于向量的减法运算法则及其几何意义的学习.
四、课外作业
4(共11张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
思考 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”. 类比数的减法，如何定义向量的减法法则？
相反向量
定义 与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.
性质
；
零向量的相反向量仍是零向量；
；
如果互为相反向量，那么，，.
定义 求两个向量的差的运算叫做向量的减法.
向量的减法
表示 .
思考 已知向量，向量的几何意义是什么？
几何意义 已知向量，在平面内任取一点，作，，则，即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
b
a
b
a
a-b
A
O
B
b
a
-b
B
O
D
C
A
a-b
a+(-b)
-b
a
向量的减法
思考 (1) 在图中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？
(2) 如果改变图中向量的方向，使∥，怎样作出呢？
几何意义 已知向量，在平面内任取一点，作，，则，即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
b
a
b
a
a-b
A
O
B
b-a
探究向量的三角不等式
A
O
B
O
A
B
思考 已知向量共线，你能作出向量吗？试探索||，||，||之间的关系．
A
O
B
成立的充要条件是与反向或与中至少有一个为零向量；
成立的充要条件是与同向或与中至少有一个为零向量.
≤
≥ ，当且仅当与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
≤ ，当且仅当与反向时取等号，或至少有一个为零向量.
≤ ，当且仅当与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
≥ ，当且仅当与反向时取等号，或至少有一个为零向量.
向量的三角不等式
练习 若 ， ，则 的取值范围是（ ）．
A．[3，8] B．(3，8) C．[3，13] D．(3，13)
C
经典例题
b
a
d
c
b
a
d
c
ab
cd
O
例1（教材P12 例3）如图，已知向量 ，求作向量，.
练一练 如图，已知向量 不共线，求作向量.
向量减法的几何意义
向量的减法运算
例2（教材P13 练习T2）填空：
经典例题
练一练
化简：(1);
(2).
注意 化简向量的一般思路：
(1)转化为向量的加法：首尾相接；
(2)直接计算向量的减法：两向量共起点（起点的字母必须相同）.
解：(1)原式;
(2)原式
.
例3（教材P12例4）如图，在平行四边形中，，，用表示向量.
注意向量的方向
向量
向量
经典例题
用已知向量表示未知向量
练一练 如右图, 在四边形中，设，则向量可用,, 表示为 .
思考1 如何定义向量的减法运算？
归纳小结
定义 求两个向量的差的运算叫做向量的减法.
表示 .
几何意义 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
b
a
b
a
a-b
A
O
B
思考2 向量减法的几何意义是什么？
思考3 向量的三角不等式是什么？
≤
