江苏省常州市八校2021-2022学年高三12月联合调研数学试卷（Word版含答案）

常州市2021-2022学年第一学期八校高三年级联合调研
数学试卷
2021年12月
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．若集合且，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知，是虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线：，则“”是“直线是的一条渐近线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的部分图象为（ ）
A． B.
C． D.
5. 已知非零向量,满足，，则向量与向量的夹角为（ ）A． B． C． D．
6．有把外形一样的钥匙，其中把能开锁,把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，若，则的范围（ 　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的有（ ）
A.若，则
B.若复数满足，则
C.若平面向量、满足，则
D.在中，若，则为锐角三角形
10．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式
11．数列满足，，其前项和为，下列选项中正确的是（ ）
A．数列是公差为的等差数列 B．除以的余数只能为或
C．满足的的最大值是 D.
12．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为
B．若的中点为，则
C．若的最小值为，则椭圆的离心率
D．若，则椭圆的离心率的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆柱上 下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为，则该圆柱的表面积为_______.
14. 已知的展开式中的系数等于，则等于________．
15. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________．
16.在中，设，，分别为角，，对应的边，记的面积为，且，则的最大值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
已知中,是边的中点．.
（1）求的长；
（2）的平分线交于点，求的长.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知等差数列中，公差，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
20．（本小题满分12分）
如图，椭圆的离心率为，直线：与椭圆只有一个公共点.
（1） 求椭圆的方程．
（2） 不经过原点的直线与平行且与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值．
21.（本小题满分12分）
数独是源自世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行 每一列 每一个粗线宫（）内的数字均含，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
（1）赛前小明在某数独上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：
（天） 1 2 3 4 5 6 7
（秒） 990 990 450 320 300 240 210
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？
小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前局中小明胜局，小红胜局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.
参考数据（其中）
1845 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
22.（本小题满分12分）
已知．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，对任意都有成立，求实数的最大值．
常州市2021-2022学年第一学期八校高三年级联合调研
数学答案
2021.12
1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C 9.ACD 10.BD 11.ABD 12.BC
13. 14.2 15. 16.
17.解：(1)设
在，…………………………………………2分
即
即，得……………………………………4分
所以……………………………………………………………………………5分
（2）中，
\
…………………………………………………7分
即
…………………………………………………………………………10分
18.解：（1）如图，取PD中点F，连接EF，FC﹒
∵ E是AP中点，∴ EF//AD且EF=AD
由题知BC//AD且BC=AD，∴ BC//EF，且BC=EF
∴ BCFE是平行四边形，∴ BE∥CF……………………………………………………………………..2分
又CF平面PCD，BE平面PCD，∴ BE∥ 平面PCD……………………………………………4分
（2）取AD中点为O，连接OP，OB，
∵ 是以为斜边的等腰直角三角形，∴ OP⊥ AD，
又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，OP平面PAD
∴ OP⊥平面ABCD，∵ OB平面ABCD，∴ OP⊥ OB，
由BC∥ AD，CD⊥ AD，AD＝2BC知OB⊥ OD，
∴ OP、OB、OD两两垂直……………………………………………………………………………………….6分
故以O为原点，OB、OD、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
设|BC|＝1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，
则，
设平面BED的法向量为，
则，取……………………………………………………….……8分
平面PBD的法向量为
，取…………………………………………………………………..10分
设二面角的大小为θ，则cosθ＝………………..12分
19.解：（1）由题意可得，
即……………………………………………………………………………….………….2分
又因为，所以
所以……………………………………………………………………………………………………………….4分
（2）
，，…………………………………….7分
存在，使得成立.
存在，使得成立.
即存在，使得成立……………………………………………………………………….9分
（当且仅当时取等号）.
，即实数的取值范围是………………………………………………………………..12分
20. 解：（1）由e＝＝，得c＝a，
由a2－b2＝c2，得b＝a，
所以椭圆的方程为＋＝1，即x2＋4y2＝a2，
与l：x＋2y－4＝0联立得8y2－16y＋16－a2＝0，
令Δ＝162－32(16－a2)＝0，得a2＝8…………………………………………………………………………2分.
所以椭圆的方程为＋＝1. …………………………………………………………………………..…………4分
(2) 由(1)得8y2－16y＋8＝0，所以M(2,1) …………………………………………………………… 5分
故可设l′：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，
Δ＝4m2－4(2m2－4)>0，得－2则x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，…………………………………………………………………………8分
所以k1＋k2＝＋
＝＋
＝＋＋＋
＝1＋
＝1＋
＝1＋＝0，
所以k1＋k2为定值0．……………………………………………………………………………………………12分
21. 解:（1）由题意，，………1分
令，设关于的线性回归方程为，则
……………………………………………3分
则………………………………………………………………4分
∴，又，
∴关于的回归方程为
故时，.
∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒………………………………6分
（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负.
当时，小明胜，∴………………………………………7分
当时，小明胜，∴………………………9分
当时，小明胜，∴……………………11分
∴小明最终赢得比赛的概率为…………………………………12分
22. 解：（1）∵的定义域为，且．
当时，显然，∴在定义域上单调递增………………………………1分
当时，令，得，则有：
+ 0 -
极大值
即在上单调递增，在上单调递减…………………………4分
综上所述，当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减………………5分
（2）当时，，
又，对有成立，
∴在上恒成立，
令，只需．………………………6分
∵，
∵，∴，令，则，
∴在上单调递增，又∵，
∴存在唯一的，使得…………………………………9分
即，
两边取自然对数得，
x
- 0 +
极小值
则
，
∴，即a的最大值为．………………………………………………………12分