2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修一5.2.1三角函数的概念课件（27张ppt）

(共27张PPT)
5.2.1 三角函数的概念
复习回顾
锐角三角函数：
c
b
a
a
x
y
o
r
P(a,b)
M
a
设α是一个锐角，P(a，b)是其终边上任意一点，记r= ，那么：
在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗
不会，与P点在终边上的位置无关
当点P(a,b)取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角函数
x
A(1,0)
y
O
P(a,b)
a
M
　　在直角坐标系中,以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆。
　　类比锐角三角函数，我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦，余弦，正切)。
推广:
任意角的三角函数定义：
x
y
O
P(x,y)
a
A(1,0)
如图，设α是一个任意角(α∈R)，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
(1)y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
(2)x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；
(3) 叫做α的正切函数，记作tanα，即
　 当角　 时，a的终边在y轴上，点 P的横坐标x等于0，所以 无意义，除此之外，对于确定的角以上三个值都是唯一确定的.
我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
【总结】三角函数可以看成是以实数α(α为弧度)为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
例1、求 的正弦、余弦和正切值。
解：在坐标系中作出 ，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，所以
求 的正弦、余弦和正切值。
P180练习2：
例2、如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，求证：
如图，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上任意一点，点P与原点的距离为 ，则
例3、已知角α的终边经过点P0(-3，-4)，求角α的正弦、余弦和正切值。
x
y
O
α
P0(-3,-4)
P180练习3：已知角θ的终边经过点P(-12，5)，求角θ的三角函数值。
任意角的三角函数定义：
x
y
O
P(x,y)
a
A(1,0)
如图，设a是一个任意角，它的终边与单位圆（在直角坐标系中，称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆）交于点P(x,y)，那么：
（1）y叫做a的正弦，记作sina，即sina=y；
（2）x叫做a的余弦，记作cosa，
即cosa=x；
（3） 叫做a的正切，记作tana，即
知识点回顾
设角a终边上任意一点P的坐标为（x，y）,它
与原点的距离为r，则
3
1、α的终边经过P(-b，4)，且 ，则b的值为_______
随堂练习
BD
4、已知点P在半径为2的圆上按顺时方向做匀速运动，角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置.
解：如图，以坐标原点为圆心O，OP所在直线为x轴正方向，建立平面直角坐标系
设2s时点P所在的位置记为Q(x，y).
因为点P在半径为2的圆上按顺时方向做匀速运动，角速度为1rad/s，所以圆心角∠POQ=-2rad.
依题意可得
解得x=2cos2，y=-2sin2
所以2s时，点P在该坐标系中的位置为Q(2cos2，-2sin2)
根据任意角的三角定义，写出三角函数在弧度制下的定义域
三角函数的定义域
函数 定义域
y=sinα
y=cosα
y=tanα
三角函数值的符号问题
y
x
o
( )
( )
( )
( )
y
x
o
( )
( )
( )
( )
y
x
o
( )
( )
( )
( )
填写正弦，余弦，正切，余切值在各象限的符号：
规律：
一全正、二正弦、三正切、四余弦
＋
＋
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
－
－
若角a的终边过点(-3，-2)，则( 　)　　
A．sina tana＞0 B．cosa tana＞0
C．sina cosa＞0 D．sina＞0
C
课堂练习
解:(先证充分性)
因为①式sinθ<0成立,
所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，
也可能位于y轴非正半轴上;
因为②式tanθ>0成立,
所以θ角的终边可能位于第一或第三象限;
因为①式②式都成立, 所以θ角的终边只能位于第三象限;
于是, θ为第三象限角
例1、求证：角θ为第三象限角的充要条件为
所以必要性成立，即充要性成立.
(再证明必要性)
因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， tanθ＞0，
由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等。
　公式一：
sin(α＋ k·2π)＝sinα　
cos(α＋ k·2π)＝cosα
tan(α＋ k·2π)＝tanα
(k∈Z)
2、α＋k·2π， k∈Z表示任意与α终边相同的角。
3、此公式表明求任意角的三角函数值的问题，可以转化为求0～2π(0°～360°)间角的三角函数值的问题。
1、运用公式时， k∈Z不能省略！
说明：
4、说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系:即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；
反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对应.
例4、确定下列三角函数值的符号：
练习：P182页第3题
例5、求下列三角函数值：
练习：P182页第5题(2)(3)(4)
D
B
课后练习
1、若sinαtanα>0，则α的终边在( )
A.第一象限 B.第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第四象限
2、下列各三角函数值中，取负值的是( )
A.sin(-660°) B.tan160° C.cos(-740°) D.sin(-420°)cos570°
C