密★启用前
2021年12月高二月考测试卷
班级
名
(本试卷共4页,22题,全卷满分:150分,考试用时:120分钟)
注意事项
题前,先将
姓名、准考证号写
卷和答题卡
将准考
条形码粘
题卡上的指定位置
择题的作答:每小题
2B铅笔把答题卡上相应题
案标号涂黑.写在试题卷
纸和答题卡上的非答题区域均
3.非选择题的作
签字笔直接答在答题卡上对应的
试题卷
纸和答题卡上的非答
域均无效
将本试题卷和答题卷一并
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的
列函数是偶函数
(0,+∞)上是增函数的是
A. f
在等差数列
4.若直线
则实数m的取
点A到焦点F的距离为3,则点A到焦点F2的距离为
的渐近线方程是
在正方体
O为线段BD的中点.设点P在线段
直线OP与平面A1BD所成的角为a
的最大值是
0)的左、右焦点分别为
线与双曲线在第二象限的交点为A,若(F+F)FA=0,则此双曲线的离心率为
数学试题卷第1页共4页
选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
说法不
(x)的最小正周期为π
(x)的图象关于点(--,0)对
C.f(x)在区间(
(k∈Z)单调递增
(x)图象上各点的横坐标变为原来的两倍后
平移ˉ长度单位后,可得到
图象
命题表述正确的是
有4个点到直线
的距离都等于1,则r>2
曲线
有
切线
知圆
点P为直线
点P向圆C引两条切线
A,B为切点,四边形PAC
的最小值为
2l年伟大的中国共产党成
过28年的浴血奋战,于
成立了
国人民站起来了.到2021年,习总
庆祝中国共产党成立100
会上庄严宣告:我们实现了第
年奋斗目标
着全面建成社会主义现代化
强国的第二个奋斗目标迈进
现有一个等差数列{an},其公差d与各项均为正整数,a1=192l,a
202
列说法正确的是
A.d的最小值为4
满足关系式2
满足条件的
仅有4组
px(p>0)的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A,B两
第一象
交抛物线C的准线
则以下结论正确的是
线l的倾斜角为
为直径的
物线C的准线相七
填空题:本题共4小题,每小题
共20分
(2,4)关
称
标为
4.已知矩形
为垂足.将矩形
角
大小为
dc
O为坐标原点),直线
与圆O相交
的最大值为
0(≥1)
数
数学试题卷第2页共4页高二数学参考答案
1.【答案】A
【解析】 A = [ 1,3], B = (1,+ ), A B = (1,3] ,故知 A 正确.
2.【答案】D
【解析】 A中f (x)在（0,1）上无定义；B 中 f (x) 在 (0,+ )递减；C中f (x)为奇函数.
3．【答案】C
a2 + a【解析】由a 122 ,a7 ,a12成等差数列得， a7 = = 3，故选C
2
4．【答案】A
1
【解析】由两直线平行，有m = ,m = 1，m = 1时，合题意，故选 A
m
5．【答案】B
【解析】由椭圆的定义知， | AF2 |= 2a | AF1 |= 8 3 = 5 ,故选 B
6．【答案】C
y2 x2 a
【解析】双曲线 =1的渐近线为 y = x ，故选C .
a2 b2 b
7．【答案】B
【解析】以 D 为原点，分别以DA, DC, DD x, y, z1为 轴，建立坐标系。设 AD = 2 ,则平面
A1DB 的法向量为 AC1 = ( 2,2,2),O(1,1,0), P(2,2, )(0 2) ,
1 1 2
sin =| cos AC1,OP |= = =则 3 2+ 2 6 6 3 ，
3+ 3+
2 4
当且仅当 =2 时取等号。故选 B
8．【答案】D
【解析】由 (F1F2 + F A) F A = 0知，△AF1F2 为等腰三角形， | AF1 |=| F1F2 |= 2c ，由双1 2
1
曲线的定义知， | AF2 |= 2a + 2c ,设 AF1F2 = , tan = 3 7,cos = ,
8
1 cos 3 a + c a + c 3
sin = = ，做F1M ⊥ AF2 , M 为垂足，则sin = , =
2 2 4 2 2c 2c 4
a 1 c
= ,e = = 2 ，故选D .
c 2 a
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9．【答案】ABD
π
【解析】 A. f (x)的最小正周期为 ， A 错；
2
π k π k
B：由2x + = π(k Z ) ，得 x = + π(k Z ) ,B 错；
6 2 12 4
π π π k π k π
C :由 kπ 2x + kπ+ ，得单调递增为 ( π , π + )(k Z ) ，C 正确；
2 6 2 2 3 2 6
π
D : f (x)图象的图像上各点的横坐标变为原来的两倍后，得到 y = tan(x + )的图象，再向
6
π π
左平移 个单位长度后得到 y = tan(x + + ) tan x ，故D 错误。
6 6 6
10．【答案】BD
【解析】 A.直线过定点 (2, 4）, A 错；
B.圆心O 到直线 l 的距离为 1，故圆 x2 + y2 = r2 上有且仅有 4 个点到直线 l 的距离为 1，则
r 2 , 故 B 正确；
C.圆C1,C 的圆心为 ( 1, 1), (2,1),2 半径 r1 = 2, r2 =1 , | C1C2 |= 13 r + r ,两圆相离,1 2
故有 4 条公切线,C 错；
D.当CP 垂直直线3x + 4y =10时，四边形PACB面积最小.
1
此时， |CP |= 2,| AP |= 3, SPACB = 2S△CAP = 2 3 1= 3 ,故D 正确.
2
11.【答案】BC
28 100
【解析】由题意得d = = ,所以m = 8,n = 26时，d = 4，同理可求得 d = 2，d = 1 ,
m 1 n 1
故 A 错误；
化简可得25m 7n =18，故 B 正确；
28 100 7 25 m = 7t +1
由 = = , t N * ,所以m+n的最小值为34，C 正确;
m 1 n 1 m 1 n 1 n = 25t +1
满足条件的 t =1, 2, 4，因此满足条件的m, n 有且仅有 3 组，D 错。
12.【答案】ABD
1
【解析】过 A, B 作准线的垂线，垂足为 A1, B1 .由抛物线定义知 | AA1 |=| AF |= | AD | ,所以
2
π π p
在RT△A1AD中，知 A1AD = ,故直线 l 的倾斜角 为 ， |AF |= = 2p = 4,
3 3 1 cos
第 2 页 共 9 页
p 4
p = 2,| BF |= = ，因此 A, B 正确，C 错误；
1+ cos 3
D :过 AB 中点 E 作准线的垂线EE1(E1 为垂足），
| AA1 | + | BB1 | | AF | +|BF| | AB |由梯形的中位线可知 | EE1 |= = = ,
2 2 2
所以以 AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故D 正确.
13.【答案】 ( 3, 1)
y0 4
=1 x 2 x0 = 30
【解析】设对称点P (x0 , y0 ) 故点P(2, 4) 关于直线
x0 + 2 y0 + 4 y0 = 1+ =1
2 2
x + y =1的对称点的坐标为 ( 3, 1)
14.【答案】5
【解析】因为 A C = A E + EF + FC ,所以
2 2 2
（A C ）2 =（A E + EF + FC ）2 =A E +EF + FC +2A E FC +2A E EF + 2FC EF
=42 +32 +42 +2|A E | | FC | cos A E, FC = 41+2 4 4 cos120 =25，
所以 |A C | = 5,即A C = 5 .
15.【答案】 2
【解析】直线 l : y = kx + 3 过点 (0, 3)，故弦 AB 的取值范围为[2, 4) ，又
1
OA AB =| AB | | OA | cos AB,OA = | AB |2 2
2
所以OA AB 的最大值为 2
16.【答案】10n + 5 5 2n
【解析】由an+2 = 6an+1 8an 10,有an+2 4an+1 10 = 2(an+1 4an 10)，且
a2 4a1 10 = 5，所以{an+1 4an 10}是首项为 5，公比为 2 的等比数列，故
bn =10 5 2
n 1,{b }的前n项和为10n + 5 5 2n n
第 3 页 共 9 页
．【答案】（ ） (x 2)2
2 2 10
17 1 + y2 =10（2）（x 6) + y =
9
1
【解析】（1）由题可知， AB 的中点为（1, 2）， k , AB =
2
所以 AB 的中垂线方程为2x + y 4 = 0，它与 x轴的交点为圆心C(2,0),
又半径 r =| AC |= 10 ,
所以圆C 的方程为： (x 2)2 + y2 =10 ……5 分
（2）设点P(x0 , y0 ),Q(x, y) ，由PQ = 2QM 得 (x x0 , y y0 ) = 2(8 x, y)
x x0 =16 2x x0 = 3x 16
2 2 , ，又点 P 在圆C 上，故 (x0 2) + y0 =10
y yo = 2y yo = 3y
2 2 2 2 10
所以 (3x 18) + (3y) =10, 化简得点Q 的轨迹方程为（x 6) + y = ……10 分
9
18．【答案】（1）an = 2n 1；
3n+1 2 3（2）Tn = + n 【第（2）问如果是书写的其它形式，可酌情给分】
2 2
a1 + 6d =13
【解析】（1）设公差为 d ,由已知得 8 (8 1) ,
8a1 + d = 64
2
解得a1 =1 , d = 2 ,
∴ an = 2n 1. ………………………5 分
n n
（2）∵bn = an + 3 = 2n 1+3
∴Tn =1+3+5+ + (2n 1)+ (31 +32 + + 3n )
3n+1 3 3n+1 3
= n2 + = + n2 . …………………12 分
2 2 2
第 4 页 共 9 页
19.【答案】（1）最小正周期 π
1 3 3 1 7 3
（2）选① S△ABC = acsin B = ，② S△ABC = acsin B = .
2 2 2 8
1 3
【解析】（1） f (x) = cos2 x sin x sin x cos x 2 2
3 1
= sin xcos x sin2 x + cos2 x
2 2
3 1 cos 2x 1+ cos 2x
= sin 2x +
4 4 2
3 3 1
= sin 2x + cos 2x +
4 4 4
3 π 1
= sin 2x + + ………………… ……………………3 分
2 3 4
所以 f (x) 的最小正周期为 π……………………4 分
B 3 1
（2） f = sin B + + =1
2 2 3 4
3
sin B + = B (0, )
3 2
4
B + ,
3 3 3
B = ……………………6 分
3
选择条件①BD 为 ABC 的平分线，
π
因为BD 为 ABC 的平分线，所以 ABD = DBC = ，
6
又因为 S△ABC = S△ABD + S△BDC ，
1 π 1 π 1 π
所以 acsin = 2a sin + 2csin ，即 3ac = 2(a + c)， ……9 分
2 3 2 6 2 6
又根据余弦定理得：b2 = a2 + c2
2
2ac cos B ，即9 = (a + c) 3ac ，
3 2 2
则有9 = (ac) 3ac，即 (ac) 4ac 12 = 0 ，解之得ac = 6或 ac = 2 (舍)，…11 分
4
第 5 页 共 9 页
1 3 3
所以 S = acsin B = . ………12 分 △ABC
2 2
3
选择②D 为 AC 的中点，则 AD = DC = ， BDA = π BDC ，
2
cos BDA = cos BDC
2 2
3 3
+ 2
2 c2 + 22 a
2
则有 2 2
2 25
= ，可得a + c
2 = ，……9 分
3 3 2
2 2 2 2
2 2
7
又根据余弦定理得：a2 + c2 ac = 9，解得ac = ，………………………11 分
2
1 7 3
则 S△ABC = acsin B = .………………………………12 分
2 8
1 1
20.【答案】（Ⅰ） (Ⅱ）见解析（Ⅲ）
2 4
【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥平面 ABCD，所以PD ⊥ AD, PD ⊥ DC ，又 AD ⊥ CD ，
所以以D 为原点， DA, DC, DP分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系：
则 B(2,2,0) ， E(0,4 2z, z) ， D(0,0,0) ，P(0,0, 2)，C(0,4,0）
1
BE = ( 2,2 2z, z ) ，又平面 PAD 的一个法向量为m = (0,1,0) ，
2
因为BE∥平面PDA，所以m BE = 2 2z = 0, z =1, E 为PC 中点，
取 PD中点,连接 AG,GE ，则BE∥AG ,所以 GAD 为 BE 与 AD 所成的角，
1
在RT△GAD, tan GAD = ,
2
1
所以BE 与 AD 所成的角的正切值为 . ………………………………4 分
2
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（Ⅱ）在梯形 ABCD中 AD ⊥ CD ， AB / /CD AB = AD = 2,CD = 4，
所以DB = BC = 2 2, DB ⊥ BC ,
又因为PD ⊥平面 ABCD，所以PD ⊥ BC ,
且 PD DB = D ,所以BC ⊥平面PDB, DF 平面PDB ,
所以DF ⊥ BC ,又因为DF ⊥ PB
所以DF ⊥平面PBC, BE 平面PBC ,所以DF ⊥ BE …………………………8 分
（Ⅲ）因为 PF = PB ，所以DF = DP + PF = (2 , 2 , 2 2 ) ，
设平面DEF 的一个法向量为n1 = (x1, y1, z1)，
n DF = 2 x1 + 2 y1 + (2 2 )z1 = 0
则 ，
n DE = 2y1 + z1 = 0
2 3 2 3
取 z1 = 2，则 y1 =1， x1 = ，则n1 = ( ,1, 2) ， …………10 分
设平面BDE 的一个法向量为n2 = (x2 , y ，2 , z2 ) DE = (0,2,1), DB = (2,2,0)
n2 DE = 2y2 + z2 = 0
则 ，取 y2 =1，则 x2 = 1, z2 = 2则n2 = ( 1,1, 2)
n2 DB = 2x2 + 2y2 = 0
3 2 1
因为平面DEF ⊥平面BDE ，所以n1 n2 = +5 = 0, =
4
1
所以当 = 时.平面DEF ⊥平面BDE ……………………12 分
4
n 1 n 3 n 3
21.【答案】（1）an = 3 （2）Tn = ( ) 3 + （3）不存在.
2 4 4
【注意：第（2）问如果化简成其它形式，可酌情给分，阅卷时需特别注意】
【解析】（1）当n 1时，an+1 an = (2Sn + 2) (2Sn 1 + 2) = 2an ，所以an+1 = 3an ；
又 a2 = 2S1 +1= 3 = 3a
*
1，所以对n N ,有an+1 = 3an ，
n 1
故数列{an}为等比数列，通项公式为a = 3 ………………………………3 n 分
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（2）由（1）知bn = n 1，Tn = a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn
0 1 2
= 0 3 +1 3 + 2 3 + + (n 1) 3n 1 ①
2 3 n
3Tn = 0 3+1 3 + 2 3 + (n 1) 3 ②
2T = 0+ 3+ 32 + + 3n 1① ②得: n (n 1) 3
n
3 3n
= (n 1) 3n
1 3
3 n 3
= ( n+ ) 3
2 2
n 3 3
Tn = ( ) 3
n + …………………………………………7 分
2 4 4
（3）在数列{dn}不存在3项dm ,dk ,d p （其中m,k , p成等差数列）成等比数列.理由如下：
a a 3n 3n-1 2 3n 1
由已知得d = n+1 n = = ……………………………9 分 n
n+1 n+1 n+1
2
假设在数列{d }中存在dm ,dn k ,d p（其中m,k , p成等差数列）成等比数列，则dk = dmd p ，
2 3k 1 2 2 3
m 1 2 3p 1
即 ( ) = ，
k +1 m+1 p +1
4 32k 2 4 3m+ p 2
化简得 = ， ……………………10 分
(k +1)2 (m+1)( p +1)
又因为m,k , p成等差数列，所以m + p = 2k
2
，故上式可以化简为 (k +1) = (m +1)( p +1)，
则 k = m = p ，与已知矛盾. …………………11 分
故在数列{dn}不存在3项dm ,dk ,d p （其中m,k , p成等差数列）成等比数列.…12 分
22.解：（1）设椭圆的半焦距为c .
c 1
=a 2
a = 2,2 2
由题可知 a = b + c
2
1 b = 3
2c b = 3
2
x2 y2
所以椭圆C 的方程为 + =1 …………………4 分
4 3
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（2）由（1）知 A( 2,0)，设直线 AP 的方程为 y = k(x + 2),k o AP 的中点 N (x0 , y0 ) ，
P(x1, y1) .将直线 AP 的方程代入椭圆的方程，整理得
(4k 2 +3)x2 +16k 2x +16k 2 12 = 0, 0，
16k 2
所以 x + ( 2) = ……………6 分 1
4k 2 +3
8k 2 6k
所以 x ， 0 = , y0 = k(x0 + 2) =
4k 2 +3 4k 2 +3
8k 2 6k 3
即点 N ( , )，直线ON 的方程为 y = x ，
4k 2 +3 4k 2 +3 4k
3
令 x = 4, 得D(4, )
k
又直线OH∥AP ，所以OH 的方程为 y = kx ，令 x = 4 ，得H (4, 4k) ……8 分
3
（i）HF2 OD = ( 3, 4) (4, ) = 0 …9 分
k
3
（ii）（方法一）由（i）知HF2 ⊥OD ,又有 DF2 OH = (4,4k) (3, ) = 0 ,所以DF2 ⊥OH .
k
延长HF , DF ,分别交OD,OH2 2 于M ,Q ，则 OHF2 + QF2H = 90 ,
ODF + DF M = 90 ,又 DF2M = HF2Q ,所以 OHF2 = ODF2 2 2 ……12 分
3+ 4k 2
（方法二）.如计算可得cos DO, DF2 = cos HO, HF2 =
1+ k 2 9+16k 2
ODF2 = OHF2 ……………………12 分
（方法三）可以用两角和与差的正切公式进行运算。
【注意：第（2）问如果是其它方法做对，可酌情给分。】
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