切线长定理
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课件47张PPT。24.2.3 切线长定理（1）温故知新请说出切线的判定定理和性质定理？
判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
（1）“未知点，作垂直，证半径”
（2）“已知点，连半径，证垂直”
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
“见切点，连半径，得垂直”问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？P ·P·P·问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的
切线？数学探究如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。1.OB是⊙O的一条半径吗？2.PB是⊙O的切线吗？3.PA、PB有何关系？4.∠APO和∠BPO有何关系？数学探究问题：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。数学探究O·切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 求证：O· 分析：
常用的辅助线：
见切点，连半径，得垂直。连结OA，OB。切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。归纳发现：一、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。PBOA二、填空25（ ）例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长． 小试牛刀已知，如图，P为圆O外一点，PA，PB为圆O的切线，A和B为切点
（1）若PA=3，则PB=____；
（2）若∠ APB=50°，则∠AOB=____ °
（3）若∠ AOB=120 ° ，PO=6，则圆O的半径为_____31303方法小结：连结切点与圆心，切线上的另一点与圆心，
得到一直角三角形，是常见的辅助线作法。如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，则Δ PDE的周长为（ ）AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEAP如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N，
求证：AB+CD=AD+BC。 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56知识拓展已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD（2）数学探究思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？
为什么？你还能得出什么结论？E
已知：如图PA、PB是⊙ O的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙ O于D、E，交AB于C。（1）图中互相垂直的关系有( )对，分别是(（2）图中的直角三角形有( ) 个，分别是( )等腰三角形有( )个，分别是( )（3）图中全等三角形( )对，分别是( )（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长为( ) cm.362360）已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.随堂训练(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。(1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。∠C＝50?，
①求∠APB的度数
②求证：AC∥OP。 思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说明理由。数学探究已知：如图，PA、PB、CD是圆O的三条切线，A、B、E为切点，
（1）若PA=8，求ΔPCD的周长
（2）若∠ APB=50 °,求∠COD的度数。知识拓展已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,
求：△PEF的周长和∠EOF的大小。以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化？为什么？（3）数学探究如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心是三角形三
条角平分线的交点，它到
三角形三边的距离相等。数学探究3.三角形的内心的性质：1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °,点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。随堂训练变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。∠ BOC= 90°+ ∠ A如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= 116cm9cmBDACFE274例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。x13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣x例题选讲已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.
求⊙O的半径r.
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系13
求直角三角形内切圆的半径试一试：如图△ABC中，∠C＝90?，AC＝6，BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别是D、E、F，求⊙O的半径。 边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为_____如图，△ABC中,∠C =90o ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求:⊙O的半径r.
O小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的道理.（4）求一般三角形内切圆的半径已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）OACBrrr知识拓展若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
则S△ABC= lr14
小练习1.边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为____2.已知:如图,△ABC的面积S=4,周长等于10.求内切圆⊙O的半径r.（5）回顾反思1.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。回顾反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质知识拓展拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.abc斜边中点斜边的一半三角形内部知识拓展3.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.14.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.22cm如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6，
求边AD、BC的长。F
判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
（1）“未知点，作垂直，证半径”
（2）“已知点，连半径，证垂直”
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
“见切点，连半径，得垂直”问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？P ·P·P·问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的
切线？数学探究如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。1.OB是⊙O的一条半径吗？2.PB是⊙O的切线吗？3.PA、PB有何关系？4.∠APO和∠BPO有何关系？数学探究问题：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。数学探究O·切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 求证：O· 分析：
常用的辅助线：
见切点，连半径，得垂直。连结OA，OB。切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。归纳发现：一、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。PBOA二、填空25（ ）例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长． 小试牛刀已知，如图，P为圆O外一点，PA，PB为圆O的切线，A和B为切点
（1）若PA=3，则PB=____；
（2）若∠ APB=50°，则∠AOB=____ °
（3）若∠ AOB=120 ° ，PO=6，则圆O的半径为_____31303方法小结：连结切点与圆心，切线上的另一点与圆心，
得到一直角三角形，是常见的辅助线作法。如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，则Δ PDE的周长为（ ）AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEAP如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N，
求证：AB+CD=AD+BC。 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( )
（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56知识拓展已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD（2）数学探究思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？
为什么？你还能得出什么结论？E
已知：如图PA、PB是⊙ O的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙ O于D、E，交AB于C。（1）图中互相垂直的关系有( )对，分别是(（2）图中的直角三角形有( ) 个，分别是( )等腰三角形有( )个，分别是( )（3）图中全等三角形( )对，分别是( )（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长为( ) cm.362360）已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.随堂训练(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。(1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。∠C＝50?，
①求∠APB的度数
②求证：AC∥OP。 思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说明理由。数学探究已知：如图，PA、PB、CD是圆O的三条切线，A、B、E为切点，
（1）若PA=8，求ΔPCD的周长
（2）若∠ APB=50 °,求∠COD的度数。知识拓展已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,
求：△PEF的周长和∠EOF的大小。以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化？为什么？（3）数学探究如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?ID1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心是三角形三
条角平分线的交点，它到
三角形三边的距离相等。数学探究3.三角形的内心的性质：1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °,点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。随堂训练变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。∠ BOC= 90°+ ∠ A如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= 116cm9cmBDACFE274例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。x13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣x例题选讲已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.
求⊙O的半径r.
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系13
求直角三角形内切圆的半径试一试：如图△ABC中，∠C＝90?，AC＝6，BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分别是D、E、F，求⊙O的半径。 边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为_____如图，△ABC中,∠C =90o ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求:⊙O的半径r.
O小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的道理.（4）求一般三角形内切圆的半径已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.
求内切圆⊙O的半径r.
△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）OACBrrr知识拓展若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
则S△ABC= lr14
小练习1.边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为____2.已知:如图,△ABC的面积S=4,周长等于10.求内切圆⊙O的半径r.（5）回顾反思1.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。回顾反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质知识拓展拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.abc斜边中点斜边的一半三角形内部知识拓展3.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.14.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.22cm如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6，
求边AD、BC的长。F
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