第四章 数列
4.3.2等比数列的通项公式(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，则，所以，又，
所以，故选：A.
2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1
C. D.
【答案】C
【解析】由{an}为等比数列，得a3a5＝，
又a3a5＝4(a4－1)，所以＝4(a4－1)，解得a4＝2.
设等比数列{an}的公比为q，
则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝.
故选：C.
3．在等比数列中，，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】∵在等比数列中，，是方程的根，
∴，
∴，
，
∴，
∴ 故选：C．
4．已知等比数列的各项均为实数，公比为q，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】显然.
A：因为，所以，因此本选项结论正确；
B：由，而，显然
，因此本选项结论正确；
C：由，
，因此本选项结论正确；
D：由，，
因此本选项结论不正确， 故选：D
5．设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】有连续四项在中且，
则有连续四项在中
是等比数列，等比数列中有负数项则，且负数项为相隔两项
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值，，，，
相邻两项相除，，，
则可得，，，，是中连续的四项
或此种情况应舍
， 故选：A．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn＝2an，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为( )
A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列
C．a1b30＝105 D.＝
【答案】BD
【解析】由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，a1＝5，由题意可得30a1＋＝390，解得d＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝，又bn＝2an，∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B选项正确；∵5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，∴b10≠8b5，A选项错误；a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×221>105，C选项错误；a4＝a1＋3d＝5＋3×＝，a5＝a1＋4d＝5＋4×＝，
∴＝＝＝，D选项正确．故选：BD
7．等比数列中，，公比，则下列结论正确的是（ ）
A．数列中的所有偶数项可以组成一个公比为的等比数列
B．设数列的前项和为，对，，恒成立
C．数列是递增数列
D．数列是首项和公差都小于0的等差数列
【答案】ABC
【解析】由可知A对；
由，公比，可知，当，时，恒成立，故B对；
由，公比，可知数列是递增数列，故C对；
与1无法比较大小，数列是首项无法和0比较，故D错．
故选：ABC
8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AD
【解析】因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为，
由于，，则且，得，，
由 ，得，，
若，则，而，则，则，，此时 不成立，所以，所以，所以A正确；
由，，得，又因为，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确，
因为，所以，所以B不正确，
因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确，
故选：AD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为
由，得，解得(负值舍)
则
故答案为：
10．若等比数列的各项均为正数，且，则_________．
【答案】
【解析】数列为等比数列，且，
，
，
．
故答案为：50．:
11．设，关于x的方程的四个实根构成以q为公比的等比数列，若，则ab的取值范围为________.
【答案】
【解析】设方程的4个实数根依次为，，，，
由等比数列性质，不妨设，为的两个实数根，则，为方程的两个根，
由韦达定理得，和，则
，
设，又，利用对勾函数知在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，当时，；当时，， 即；
则，且
所以当时，取到最小值是4，当时，ab取到最大值是，故的取值范围是：． 故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知等差数列满足，前项和．
（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得：，所以；
（2）等比数列的公比为，
由题意可得：，解得或，
所以或，
所以数列的通项公式为：或.
13．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
【答案】（1）b1＝＝1，b2＝＝2，b3＝＝4 ；（2）{bn}是首项为1、公比为2的等比数列
【解析】(1)由题意得an＋1＝an.令n＝1，得a2＝4a1＝4.令n＝2，得a3＝3a2＝12.所以b1＝＝1，b2＝＝2，b3＝＝4
{bn}是首项为1、公比为2的等比数列．由nan＋1＝2(n＋1)an，得＝2·，即bn＋1＝2bn，所以＝2，从而数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列
14．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝pan－2n，其中常数p＞2.
(1)求证：数列{an＋1}为等比数列；
(2)若a2＝3，求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)因为2Sn＝pan－2n，所以2Sn＋1＝pan＋1－2(n＋1)，从而2an＋1＝pan＋1－pan－2，于是an＋1＝an＋，an＋1＋1＝(an＋1)．因为2a1＝pa1－2，所以a1＋1＝>0.所以＝≠0，从而数列为等比数列
(2)由(1)知an＋1＝，所以an＝－1.又a2＝3，所以－1＝3，解得p＝4或p＝(舍去)，从而＝2，于是an＝2n－1 第四章 数列
4.3.2等比数列的通项公式(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于（ ）
A．2 B．1 C. D.
3．在等比数列中，，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．已知等比数列的各项均为实数，公比为q，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
5．设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn＝2an，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为（ ）
A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列
C．a1b30＝105 D.＝
7．等比数列中，，公比，则下列结论正确的是（ ）
A．数列中的所有偶数项可以组成一个公比为的等比数列
B．设数列的前项和为，对，，恒成立
C．数列是递增数列
D．数列是首项和公差都小于0的等差数列
8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.
10．若等比数列的各项均为正数，且，则_________．
11．设，关于x的方程的四个实根构成以q为公比的等比数列，若，则ab的取值范围为________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知等差数列满足，前项和．
（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
13．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
14．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝pan－2n，其中常数p＞2.
(1)求证：数列{an＋1}为等比数列；
(2)若a2＝3，求数列{an}的通项公式．
