第四章 数列
4.3.1等比数列的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若，，成等比数列，是，的等比中项，是，的等比中项，则（ ）
A． B． C．，，同号 D．与同号
【答案】C
【解析】当时，满足题目条件，所以A，B错误；
若，则由，可得，再由，可得.
同理，当，可推出，，C正确；
当，，时，满足题目条件，但是与不同号，D错误.
故选：C.
2．设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A. 成等比数列 B. 成等比数列
C. 成等比数列 D. 成等比数列
【答案】D
【解析】，，，故A项说法错误，
B.，故B项说法错误，
C.，故C项说法错误，
D.，故D项说法正确．
故选:D．
3．已知等比数列的公比为则“0<<1"是“<0”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性：，即，
若，则，
推不出0<<1，充分性不成立，
必要性：当0<<1时，则，
若，则，推不出，即，
所以既不充分也不必要条件. 故选：D
4.设{an}是公比为负数的等比数列，若a1＝2，a3－4＝a2，则a3的值为( )
A．－8 B．8
C．－2 D．2
【答案】B
【解析】由a1a3＝a，得a1(a2＋4)＝a，解得a2＝－2或a2＝4(舍去)，所以a3＝2，故选：B．
5.设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是与的等比中项，
，
即，则，
则
，
当且仅当，即时，取等号，即的最小值为，
故选：B．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．有下列4个说法正确的是（ ）
A.等比数列中的某一项可以为0；
B.等比数列的公比的取值范围是；
C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
D.22，42，62，82，…成等比数列．
【答案】ABD
【解析】根据等比数列的定义，是根据比值来定义的，故等比数列的每一项和公比，都不能为零，故A、B是错误的.一个非零的常数列，公比为，故C正确;由于，故不成等比数列，所以D错误. 故选：ABD.
7．数列是等比数列，有下列四个命题：正确命题的是
A. 是等比数列； B. 是等比数列；
C. 是等比数列； D. 等比数列
【答案】BD
【解析】根据题意，数列是等比数列，设其公比为，则．
对于，对于数列，当等比数列的公比为负数时，
中存在某些负数，则数列没有意义，A错误；
对于，对于数列，有，为等比数列，B正确；
对于，中，当时，，不是等比数列，C错误；
对于，对于数列，有，为等比数列，D正确．
故选：BD．
8．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中
数列有连续四项在集合，，18，36，中
又数列是公比为的等比数列，
在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.
或.
故选：BD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．若某等比数列的前3项依次为x,2x＋2,3x＋3，则x＝________.
【答案】
【解析】x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－4或x＝－1(舍去)， 故答案为：
10．已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是_________．
【答案】
【解析】因为数列，，，成等差数列，
所以，
因为，，成等比数列，
所以，
所以，
故答案为：
11．已知在等比数列中，，，则公比q的值是_________．
【答案】1或
【解析】,
，解得或，故答案为：1或
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．数列中，，，设．
求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析；
【解析】将两边都加，得，而，
即有，又，则，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn＋1)＝n，求证：数列{an}是等比数列．
【答案】证明见解析；
【解析】由已知得Sn＝10n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝9；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝9×10n－1.
又a1＝9也满足an＝9×10n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝9×10n－1.
当n≥2时，＝＝10，所以数列{an}是等比数列
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)a1＝3；a2＝9；a3＝21；(2)λ＝3
【解析】(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3；
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9；
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
下面证明{an＋3}为等比数列：
∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2，
∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．
∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．第四章 数列
4.3.1等比数列的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若，，成等比数列，是，的等比中项，是，的等比中项，则（ ）
A． B． C．，，同号 D．与同号
2．设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A. 成等比数列 B. 成等比数列
C. 成等比数列 D. 成等比数列
3．已知等比数列的公比为则“0<<1"是“<0”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设{an}是公比为负数的等比数列，若a1＝2，a3－4＝a2，则a3的值为( )
A．－8 B．8
C．－2 D．2
5.设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．有下列4个说法正确的是（ ）
A.等比数列中的某一项可以为0；
B.等比数列的公比的取值范围是；
C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；
D.22，42，62，82，…成等比数列．
7．数列是等比数列，有下列四个命题：正确命题的是
A. 是等比数列； B. 是等比数列；
C. 是等比数列； D. 等比数列
8．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．若某等比数列的前3项依次为x,2x＋2,3x＋3，则x＝________.
10．已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是_________．
11．已知在等比数列中，，，则公比q的值是_________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．数列中，，，设．
求证：数列是等比数列；
已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn＋1)＝n，求证：数列{an}是等比数列．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．
