第四章 数列
4.3.1等比数列的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在等比数列中，，，则与的等比中项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以与的等比中项为.
故选：D
2．数列，，，， （ ）
A. 既不是等差数列又不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列
C. 是等差数列不是等比数列 D. 是等比数列又是等差数列
【答案】C
【解析】数列，，，，，
从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数，符合等差数列的定义，
所以，数列，，，，，是等差数列，
根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有值为的项，
所以，数列，，，，，不是等比数列．
故选：C．
3．已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（ ）
A．1或 B．1或 C．1或 D．1或
【答案】D
【解析】由题意得，
从而有或
因此的值为1或－.
故选：D.
4．设，则数列是（ ）
A. 等比数列 B. 等差数列 C. 递增数列 D. 递减数列
【答案】A
【解析】由已知数列，
，
数列不是等差数列，
很明显也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除，
又当时，为常数，故数列是等比数列．
故选：A．
5．某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x的计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款（ ）
A．a(1＋x)5 B．a(1＋x)6
C．a(1＋x)4 D．a(1＋x5)
【答案】A
【解析】一年后，可取回款a(1＋x)，
二年后，可取回款a(1＋x)2，
三年后，可取回款a(1＋x)3，
四年后，可取回款a(1＋x)4，
五年后，可取回款a(1＋x)5，故选：A.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列数列是等比数列的有（ ）
A. 2, 1, 2, 1, 2
B. －5, －5, －5, －5
C. －1, ， －， ， －
D. 3, 1, ， ， ， 0
【答案】BCD
【解析】选项B、C、D的公比分别为1，，，故选：BCD
7．若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】A中，是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；
B中，当数列的公比为时，，而等比数列各项均不为0，故B错误；
C中，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确；
D中，是以为首项，为公比的等比数列，故D正确．
故选：ACD．
8．已知数列满足，，且，则下列四个选项中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C． D．的最大值为2
【答案】ACD
【解析】因为，
所以
所以数列是等差数列，
又，，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，，因为不是常数，所以数列是不是等比数列，
，
所以当时，取最大值，最大值为．故选：ACD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知，则等比数列，，的公比为_________．
【答案】
【解析】设数列的公比为，
，，的公比相当于，，的公比，
相当于，，的公比，
令，即相当于，，的公比，
∴，解得，
则，，
∴公比． 故答案为：
10．等比数列满足如下条件：①；②数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】满足上述所有条件的一个数列的通项公式.
故答案为：(答案不唯一)
在《九章算术》中，“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．
【答案】
【解析】设衰分比例为q，则甲、乙、丙各得，28,28q.由题意得＋28＋28q＝98，解得q＝2或.又0＜q＜1，所以q＝，故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知公差不为零的某等差数列的第2,3,6项成等比数列，求这个等比数列的公比．
【答案】3
【解析】由题意得a＝a2a6，即(a2＋d)2＝a2(a2＋4d)，d2＝2a2d.因为d≠0，所以d＝2a2，从而这个等比数列的公比q＝＝＝3
13．现有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数．
【答案】，3,6,9
【解析】设后三个数依次为a－d，a，a＋d(a≠0)，则第一个数为.由题意得解得所以这四个数依次为，3,6,9
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【答案】答案见解析
【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．第四章 数列
4.3.1等比数列的概念(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在等比数列中，，，则与的等比中项为（ ）
A． B． C． D．
2．数列，，，， （ ）
A. 既不是等差数列又不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列
C. 是等差数列不是等比数列 D. 是等比数列又是等差数列
3．已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（ ）
A．1或 B．1或 C．1或 D．1或
4．设，则数列是（ ）
A. 等比数列 B. 等差数列 C. 递增数列 D. 递减数列
5．某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x的计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款（ ）
A．a(1＋x)5 B．a(1＋x)6
C．a(1＋x)4 D．a(1＋x5)
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列数列是等比数列的有（ ）
A. 2, 1, 2, 1, 2
B. －5, －5, －5, －5
C. －1, ， －， ， －
D. 3, 1, ， ， ， 0
7．若是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列满足，，且，则下列四个选项中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C． D．的最大值为2
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知，则等比数列，，的公比为_________．
10．等比数列满足如下条件：①；②数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.
在《九章算术》中，“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知公差不为零的某等差数列的第2,3,6项成等比数列，求这个等比数列的公比．
13．现有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
