第四章 数列
4.3.3等比数列的前n项和(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
2．已知等比数列的前n项和为，若，则值为（ ）
A． B．- C．或- D．
3．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（ ）天，蒲草和菀草高度相同.（已知，，结果精确到0.1）（ ）
A. 3.5 B. 3.6 C. 3.7 D. 3.8
4．已知数列的前项和，且满足，则（ ）
A．192 B．189 C．96 D．93
5．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．，，成等比数列 D．
7．已知等比数列的前n项和为，则下列命题不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．记为等比数列的前项和．若，，则 ．
10．设等比数列的前项和是，若,则________.
11．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有，则a的值为___________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列的首项，，
（1）证明：数列是等比数列：
（2）设，求数列的前n项和．
13．已知数列的前项和为，且，且.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
14．已知，点在函数的图象上，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求及数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和，并证明：．第四章 数列
4.3.3等比数列的前n项和(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【解析】
等比数列中，，前三项之和，
若，，，符合题意；
若，则，
解得，即公比的值为1或，故选:C.
2．已知等比数列的前n项和为，若，则值为（ ）
A． B．- C．或- D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，故．由于，故
故选:A.
3．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（ ）天，蒲草和菀草高度相同.（已知，，结果精确到0.1）（ ）
A. 3.5 B. 3.6 C. 3.7 D. 3.8
【答案】B
【解析】设蒲草每天长高数形成数列，则由题可得是首项为6，公比为的等比数列，
设菀草每天长高数形成数列，则由题可得是首项为1，公比为2的等比数列，
若第n天，蒲草和菀草高度相同，则，
可得，解得或，
（舍去）或.
故选：B
4．已知数列的前项和，且满足，则（ ）
A．192 B．189 C．96 D．93
【答案】B
【解析】， 时，，解得 ．
时，，
时，，可得：，又
∴数列是等比数列，首项为3，公比为2．
，故选：B
5．设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列和的前项和分别为，则
（），
若，则，则，显然没有出现，所以，
所以，
由两边的对应项相等可得，
解得，所以.故选：A
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．，，成等比数列 D．
【答案】AB
【解析】由，可得，即，故A选项正确；
故，，故D选项错误；
，，，故B选项正确；
又，，，故不成立，故C选项错误，故选：AB.
7．已知等比数列的前n项和为，则下列命题不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ACD
【解析】当时，，故，，
当时，，分以下几种情况，
当时，，此时；
当时，，此时，
当时，，此时；
当时，，此时；
故当时，与可正可负，故排除A、C.
当时， ，故， ；
当时，，由于与同号，故，
所以符号随正负变化，故D不正确，B正确；故选：ACD
8．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】，，，，公比为整数．
解得．，．
，数列是公比为2的等比数列．．
．数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．故选：ABC．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．记为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
由，得，即，
解得，
则，
故答案为：．
10．设等比数列的前项和是，若,则________.
【答案】
【解析】由等比数列前项和的性质，可得成等比数列，
所以.
由得，代入上式可得，
所以，即. 故答案为：
11．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有，则a的值为___________.
【答案】1010
【解析】由题设知：且，
图2相对图1：线段长度之和的增量为，
图3相对图2：线段长度之和的增量为，
图4相对图3：线段长度之和的增量为，
图n相对图：线段长度之和的增量为，
∴，要使对任意的正整数n成立，
∴，即，又a为正整数，
∴.
故答案为：1010.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列的首项，，
（1）证明：数列是等比数列：
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），，
，又，，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）知，，
所以
．
13．已知数列的前项和为，且，且.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以，两式相减得，
又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）据（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，化简得.
14．已知，点在函数的图象上，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求及数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和，并证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2），；（3），证明见解析.
【解析】（1）由已知，得，∴．①
∵，∴，
①式两边取对数，得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列.
（2）由（1），知，
∴，②
∴
，
由②式得数列的通项公式.
（3）∵，
∴，∴.
又，∴.
∴.
∵，，则，
∴，又，
∴.
