第四章 数列
4.2.2等差数列的通项公式(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ）
A．24 B．23
C．17 D．16
2．在等差数列中，，，则的值是（ ）
A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
3．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何 ”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱 ”则第2人比第4人多得钱数为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
4．若数列为等差数列，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列命题正确的是（ ）
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列的公差，则是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
7．已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．0
8．在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则为常数也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则an=________．
10．已知数列中，，，若为等差数列，则________．
11．若数列满足：，，则__________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列满足，且，．
（1）求，的值；
（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．
13．在①对任意满足；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列的前n项和为__________，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；若数列不是等差数列，说明理由．
14．已知数列满足，且（且）．
（1）求，的值；
（2）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由．第四章 数列
4.2.2等差数列的通项公式(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ）
A．24 B．23
C．17 D．16
【答案】A
【解析】根据题意，，则，故选:A．
2．在等差数列中，，，则的值是（ ）
A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
【答案】B
【解析】∵是等差数列，∴，，，，
∴．故选：B．
3．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何 ”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱 ”则第2人比第4人多得钱数为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
【答案】D
【解析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，
则有，，
故解得则，故选：D.
4．若数列为等差数列，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
，故选：C.
5．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，
所以，，，当时，，
所以中最小的一项是．故选：B．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列命题正确的是（ ）
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列的公差，则是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
【答案】BCD
【解析】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；
C选项：时，是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；
D选项：数列是等差数列公差为，所以也是等差数列； 故选:BCD
7．已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．0
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，
则，解得.
所以，，，
故选：ACD。
8．在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则为常数也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【答案】BCD
【解析】对于A，若是等差数列，如，
则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；
对于B，数列中，是常数，
是等方差数列，故B正确；
对于C，数列中的项列举出来是，，，，，，，
数列中的项列举出来是，，，，，
，将这k个式子累加得，，，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，，则设，是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确．故选：BCD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则an=________．
【答案】6n-5
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以an=6n-5
故答案为：an=6n-5
10．已知数列中，，，若为等差数列，则________．
【答案】0
【解析】因为，，，故
所以，故．故答案为：0
11．若数列满足：，，则__________．
【答案】．
【解析】．两式相减，得．
．故是首项为，公差为的等差数列的第项，
故．故答案为：．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列满足，且，．
（1）求，的值；
（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．
【答案】（1）；；（2）证明见解析，．
【解析】（1）由已知，，且，
得，则，又，所以，
由，得，所以．
（2）由已知，得，即，
所以数列是首项，公差的等差数列，
则，所以．
13．在①对任意满足；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列的前n项和为__________，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；若数列不是等差数列，说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】若选择条件①：因为对任意，，满足，
所以，即，
因为无法确定的值，所以不一定等于，
所以数列不一定是等差数列．
若选择条件②：由，则，即，，
因为，所以，所以数列是等差数列，公差为，
因此数列的通项公式为．
若选择条件③：因为，所以，
两式相减得，，，即，
又，即，所以，，
又，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以．
14．已知数列满足，且（且）．
（1）求，的值；
（2）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由．
【答案】（1），；（2）存在；；
【解析】（1）由，
令，，得，令，，得；
（2），，，
若是等差数列，则有，即，解得，
下证当时，是等差数列，当时，
，
所以是公差为1的等差数列，而，所以；
