5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（含答案）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
一、单选题
1．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
3．下列四个命题中，正确的命题是（ ）．
A．是第一、三象限内的严格减函数
B．是第一、三象限内的严格增函数
C．是上的严格减函数
D．是上的严格增函数
4．函数的一个对称中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域是（ ）.
A． B． C． D．
6．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ）
A． B． C． D．-2
7．函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．(多选)函数是R上的偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得到函数，则具有的性质是（ ）
A．最小正周期为，图象关于点对称 B．最大值是，图象关于直线对称
C．在上单调递减，为偶函数 D．在上单调递减，为奇函数
三、填空题
12．的值域为________．
13．函数的单调递减区间为______．
14．设，则函数的最小值为______．
15．已知对任意都有，则等于________．
四、解答题
16．求函数的最大值和最小值，并指出取到最值时x的值.
17．已知函数最小正周期为，图象过点.
（1）求函数解析式
（2）求函数的单调递增区间.
18．已知函数的最大值为0，最小值为，若实数，求a，b的值．
19．已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，为函数的一个零点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间.
20．已知，求：
（1）的最小正周期及对称轴方程；
（2）求的解集．
21．已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
根据正弦型函数性质及最小正周期的求解方法，即可求解.
【详解】
由函数，根据正弦型函数的性质，可得函数的最小正周期为.
故选：C.
2．B
【分析】
，根据余弦函数的周期性和奇偶性即可得解.
【详解】
解：由，
可得，，
所以函数为偶函数，
即是最小正周期为的偶函数.
故选：B.
3．D
【分析】
根据正弦函数和余弦函数的单调性，逐项验证选项即可得出答案.
【详解】
因为第一和第三象限对应不同的角的范围，所以选项AB的说法错误；
根据余弦函数的单调性，函数在区间上单调递增，在区间 单调递减.
所以选项C错误；
根据正弦函数的单调性，函数在区间上单调递增，选项D正确.
故选：D.
4．D
【分析】
解方程即得解.
【详解】
解：令，
令，
所以函数的一个对称中心的坐标是.
故选：D
5．B
【分析】
判断在上的单调性，确定的最大值和最小值，从而确定值域；
【详解】
在上单调递增，在上单调递减
在上单调递增，在上单调递减
当时取最大值
且当时取最大值
函数的值域是
故选：B
6．D
【分析】
利用余弦函数的性质可求得cosx范围，进而确定函数的值域，求得M和m，则M+m的值可得.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以M+m=-2.
故选：D
7．B
【分析】
由图可知，,计算即可.
【详解】
由图可知，,则,
故选：B
8．A
【分析】
根据正弦函数的性质得上函数单调递减，即可求单调减区间.
【详解】
由题设，有，
∴上函数单调递减，即，而.
故选：A
9．AC
【分析】
直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
【详解】
解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：AC
10．ACD
【分析】
利用函数奇偶性的性质可得，进而可得答案.
【详解】
因为函数为上的偶函数，
函数的图象关于轴对称，
可得，
则，；
所以时，
的值分别是，
故选：ACD．
11．BC
【分析】
根据题意，求得的解析式，根据余弦型函数的性质，逐一分析各个选项，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，
所以，
对于A：的最小正周期，
当时，，所以图象不关于点对称，故A错误；
对于B：的最大值为1，
当时，，所以图象关于直线对称，故B正确；
对于C：令，解得，
当k=0时，一个单调减区间为，
因为，所以在上单调递减，且为偶函数，故C正确，D错误.
故选：BC
12．
【分析】
先由结合正弦函数的性质求出的范围，从而可求出的范围
【详解】
因为，所以，即，
所以，
所以函数的值域为，
故答案为：
13．，
【分析】
结合函数的定义域以及单调性求得函数的单调递减区间.
【详解】
依题意，
根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递减区间为，.
故答案为：，
14．##
【分析】
把作为一个整体，利用二次函数的性质得最小值．
【详解】
．
∵，∴．∴当时，．
故答案为：
15．
【分析】
由给定等式可得图象的一条对称轴，再借助正弦型函数的性质即可得解.
【详解】
因对任意都有，则直线是图象的一条对称轴，
所以.
故答案为：
16．，.
【分析】
由正弦函数的图象和性质直接求解
【详解】
解：当，即时，函数取得最大值2，
当，即时，函数取得最小值
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用周期公式可得,将点代入即得解析式;（2）由计算即可求得单调递增区间.
【详解】
（1）由已知得，解得.
将点代入解析式，，可知，
由可知，于是.
（2）令
解得，
于是函数的单调递增区间为.
【点睛】
本题考查正弦函数的图像和性质,基础题.
18．，
【分析】
用换元法，令，函数转化为关于的二次函数，然后根据二次函数性质分类讨论求解．
【详解】
解：令，则，．根据对称轴直线与区间的位置关系进行分类讨论．
①当，即时，，解得．
②当，即，，解得（舍去）或（舍去）．
综上所述，，．
19．
（1）
（2），
【分析】
（1）由题意可知，，求得.又为函数的一个零点，可得，及已知求得，即可得出结果.
（2）若单调递增，解得，，根据计算即可得出结果.
（1）
由题意可知，，得.
又因为为函数的一个零点，所以，，
所以，.又因为，所以，
所以.
（2）
若单调递增，则满足，，
解得，，
当时，得，，
又因为，交集为，，
所以在上的单调递增区间为，.
20．（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）．
【分析】
（1）直接利用周期公式求解，由可求得对称轴方程，
（2）由，得，然后利用三角函数的性质求解即可
【详解】
解：（1）∵，
∴，
由，得：
所以对称轴方程为；
（2）由，得，
，
所以，
所以，得，
所以不等式的解集为
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正弦型函数的性质得出，由周期公式得出，由函数的最大值得出，结合，整理得出该函数的解析式；
（2）将函数的零点转化为方程在区间上有两个实根，由得出，结合函数在区间上的单调性，确定的范围，整理得出实数t的取值范围.
【详解】
（1）由题意知，，得周期，∴
当时，取得最大值4，即，得，
得，得，
又，当时，，
即．
（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.
，，，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，当时，，如图所示：
又方程有两个实根，∴或
得或，
即实数的取值范围是：
【点睛】
易错点睛：本题主要考查了由正弦函数的性质求函数的解析式以及由函数零点个数求参数的范围，考查运算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题，属于中档题.