5.6.2 函数y=Asin（ωx φ）的图像 同步练习——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

5.6.2函数的图象
一、单选题
1．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．已知函数（）在上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴可以是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向左平移个单位长度，则所得函数（ ）
A．是奇函数 B．其图象以为一条对称轴
C．其图象以为一个对称中心 D．在区间上为单调递减函数
6．函数 的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
7．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图像关于直线对称
C．函数的图像关于点对称 D．函数在区间上单调递增
8．设，将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数的图象.若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）
A．， B．， C． D．3
二、多选题
9．设函数，则下列结论正确的是
A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到
C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称
10．关于函数，其中正确命题是（ ）
A．的最大值为
B．是以为最小正周期的周期函数
C．将函数的图像向左平个单位后，将与已知函数的图像重合
D．在区间上单调递减
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是
B．的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到
C．是的一条对称轴
D．的一个对称中心是
12．设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的单调递减区间为
C．的对称轴为
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
三、填空题
13．已知函数的图象上每个点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为_______.
14．将函数向左平移个单位后得函数，则在上的最大值是_____.
15．若函数，，则函数的单调递增区间为________.
16．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
17．如图是函数的图像，求、、的值，并确定其函数解析式．
18．已知函数，
（1）写出函数的周期；
（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数的图像，写出函数的表达式，并判断函数的奇偶性.
19．已知函数（）的最小正周期为，且其图象关于直线对称.
（1）求和的值；
（2）若，为锐角，求的值.
20．已知函数的最小正周期为
（1）求的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
21．已知函数的图象与y轴交点的纵坐标为，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域．
22．已知函数，（其中，，的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且函数图象与直线y=3相切.对于任意，都有
（1）求的解析式；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的递减区间.
参考答案
1．A
【分析】
根据题意可得，结合三角函数图像的平移变换即可得出结果.
【详解】
，
所以将函数的图像向左平移个单位，
即可得到函数的图像.
故选：A
2．C
【分析】
根据函数的解析式，利用的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出的取值范围．
【详解】
解：∵，
∴，
又函数在上恰有一个最大值和一个最小值，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．
3．D
【分析】
根据平移变换规律求解解析式，结合三角函数的性质即可求解对称轴方程，从而可得答案．
【详解】
解：函数的图象向左平移个单位长度后，
可得，
令，
可得：．
当时，可得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的图象变换规律，对称轴的求法，属于基础题．
4．C
【分析】
写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得的表达式，比较可得．
【详解】
函数的图象向右平移个单位后得图象的解析式为，它与相同，
则，，只有C满足．
故选：C．
5．D
【分析】
利用三角函数的平移变换原则求出平移后的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】
函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
对于A，，所以函数为偶函数，故A不正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，当时，，故C不正确；
对于D，，
由，
解，
即的单调递减区间为，
又，
在区间上为单调递减函数，故D正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了三角函数的平移变换原则、余弦函数的性质，掌握三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.
6．A
【分析】
先看图得到的解析式，再利用平移得到结果即可.
【详解】
看图可知周期满足，故，，
又时取得最小值-1，故，，即，
所以将向右平移个单位，得到.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用三角函数图象求解析式，以及图象平移问题，属于基础题.
7．D
【分析】
由三角恒等变换公式化简函数，求得平移后的函数的解析式，根据三角函数性质判断周期，对称轴，对称中心及单增区间.
【详解】
，向左平移个单位得到：
，则最小正周期，A错误；
，易知不是函数的对称轴，B错误；
，易知点不是函数的对称中心，C错误；
时，，由正弦函数在上单增，易知在上单增，D正确.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：化简函数，求得平移后的函数解析式，根据基本性质判断周期，对称性及单调区间.
8．C
【分析】
由图象变换知识得到，根据时取得最大值得到，由单调区间长度小于等于半个周期，求出的范围，从而确定的值.
【详解】
由题意知，.当时，函数取得最大值，所以，.解得，.因为在区间上递增，在上递减，所以且，解得.因此.
故选：C
【点睛】
求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
9．ACD
【分析】
由题意利用正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，对每个选项逐一判断，从而得出结论．
【详解】
解：的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；
的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，属于基础题．
10．ABD
【分析】
先把化为，直接对四个选项一一验证.
【详解】
显然A、B选项正确
C选项: 将函数的图像向左平个单位得到，图像不会与原图像重合，故C错误；
D选项:当，则，∴在区间上单调递减成立．
故选：ABD
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
11．AB
【分析】
首先化简函数，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项.
【详解】
，
A.函数的最小正周期，故A正确；
B.根据图象的平移变换规律，可知函数的图像向左平移个单位而得到，故B正确；
C.当时，，不是函数的对称轴，故C不正确；
D.当时，，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是，故D不正确.
故选：AB
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.
12．ABD
【分析】
由单调性和函数值分析周期，得出相邻的对称轴和对称中心，求得周期后得，然后由得值，最后利用余弦函数性质确定减区间，对称轴，并利用图象变换判断各选项．
【详解】
由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确．
又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故.
，解得，，B正确；
，，，C错误；
的图象向左平移个单位得，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查由三角函数性质求函数解析式，并确定函数的其他性质，考查图象平移变换．解题关键是掌握正（余）弦函数图象的“五点法”，通过五点确定周期，单调性，最值，对称性等等，从而可求得函数解析式．在求函数性质时，利用整体思想求解，把作为一个整体，掌握正弦函数（余弦函数）性质即可很方便地解题．
13．
【分析】
将函数平移后的解析式和函数比较，列方程求解．
【详解】
解：把函数的图象上每个点向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
，
则，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
14．
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出在上的最大值．
【详解】
解：将函数向左平移个单位后，
得函数的图象，
在，上，，，
故当时，函数取得最小值为1；
当时，函数取得最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
15．，
【分析】
先求的的解析式，再利用正弦函数的单调增区间求得的单调递增区间．
【详解】
解：对于函数，
当 时，函数单调递增，
解得，
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查正弦函数的单调增区间，属于基础题．
16．
【分析】
先求出，由可求出，利用单调性可得，结合即可求解.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度得到
函数,
因为，所以，
因为函数在区间上是单调递增函数，
所以，解得：，因为，所以，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由的范围求出的范围，将看成一个整体让其满足正弦函数的单调递增区间，即可得其满足的条件.
17．，，，.
【分析】
本题首先可以根据周期计算出，然后根据最大值为以及最小值为得出，最后将点代入函数中即可求出并得出函数解析式.
【详解】
因为周期，所以，，
因为最大值为，最小值为，所以，，
将点代入中 ，解得，
因为，所以，.
【点睛】
本题考查根据三角函数图像求函数解析式，可根据函数的周期、最值以及点的坐标来求解，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.
18．（1）；（2），奇函数
【分析】
（1）由已知利用三角函数的周期公式直接求解即可；
（2）利用三角函数图像的变化规律得到的解析式，利用奇偶性的定义即可判断.
【详解】
解：因为，
所以函数的周期,
（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数
，
因为，
所以函数为奇函数
【点睛】
此题考查了函数的图像变化规律，三角函数的周期性及其求法，属于基础题.
19．（1）,；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据正弦型函数性质，周期 ，所以可以求出，于是，又根据图象关于直线对称，则有，可以得到；（2）根据第（1）问，，则，根据为锐角，可以求出，根据公式=可以求出结果.
试题解析：（1）∵，∴，∵，∴，，又，∴.
（2）∵，∴.
∵为锐角，∴.
∴.
考点：1.正弦型函数的性质；2.三角恒等变换公式.
20．，
【解析】
试题分析：（1）化简函数得，由周期求即可；
（2）若不等式在上恒成立，即在上恒成立，即可.
试题解析：
（Ⅰ）
∵的最小正周期为，∴，∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
当时，有，则
∴若不等式在上恒成立，
则有，即在上恒成立，
∴，
∴.
21．
（1）；
（2）﹒
【分析】
(1)根据题意可知f(x)过(0，)和(，1)两点，据此可求ω和φ；
(2)由x∈求得ωx＋φ的范围，根据sinx的图像即可得值域﹒
（1）
由题可知；
，
∴；
（2）
x∈，∴，∴﹒
22．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用周期求，利用最大值求A，利用为最大值求，即可求出解析式；
（2）先根据图像变换求出，再求单减区间.
（1）
因为函数，（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，
所以，所以，即，解得：；
又的图象与直线y=3相切，所以A=3；
因为对于任意，都有，所以
又，解得，所以.
（2）
先把函数的图象向左平移个单位长度，得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以.
要求函数的递减区间，只需，解得：，所以函数的递减区间为.