5.5.2简单的三角恒等变换同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（含答案）

5.5.2简单的三角恒等变换
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数在上的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的最小正周期为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，有下列结论：
①；
②的图象关于直线对称；
③的图象关于点对称；
④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①③④
二、多选题
9．已知是锐角，那么下列各值中，能取得的值是（ ）
A． B． C． D．
10．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于对称
C．函数在上递增
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
12．已知函数在上的值域为，则实数的值可能取（ ）
A．1 B． C． D．2
三、填空题
13．的最大值是___________.
14．函数的最小正周期等于_____.
15．设为实数，已知，则的取值范围是_______.
16．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为____．
四、解答题
17．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域．
18．已知：（，为常数）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值．
19．已知函数.
求函数的最小正周期；
若对恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数在区间上的取值范围.
21．已知函数()且函数相邻两个对称轴之间的距离为：
（1）求的解析式及最小正周期；
（2）当时，对于恒成立，求的取值范围．
22．已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若为锐角，，求的值．
参考答案
1．C
【分析】
通过辅助角公式将式子化简，进而求出答案.
【详解】
故选：C.
2．C
【分析】
先利用辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解.
【详解】
，
所以当时，取得最大值，
故选：C.
3．C
【分析】
应用辅助角公式可得，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项即可.
【详解】
由题设，，
令，可得，，
∴在上的单调递减区间是.
故选：C.
4．A
【分析】
利用降次公式化简，进而求得的最小正周期.
【详解】
，最小正周期为.
故选：A
5．A
【分析】
先利用诱导公式化简，再用同角关系变形求值即可．
【详解】
由，可得，平方可得，所以．
所以．
故选：A.
6．B
【分析】
由条件等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式有，即可求.
【详解】
由题设知：，
∴.
故选：B.
7．B
【分析】
根据二倍角的余弦公式，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】
解：∵，∴，
∵，∴，
∴．
故选：B
8．C
【分析】
化简的解析式，根据三角函数的周期性、对称性、单调性确定正确选项.
【详解】
，
的最小正周期为，①错误.
，②正确.
，③正确.
，所以④正确.
故选：C
9．AC
【分析】
由于，，，所以由正弦函数的性质可得，，从而可得答案
【详解】
解：因为，
又是锐角，所以，，
可得，，
可得，．
可得，，，．
故选：AC．
10．BD
【分析】
利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.
【详解】
由题意，得：，图象向左平移个单位，
∴关于轴对称，
∴，即，
故当时，；当时，；
故选：BD
11．AB
【分析】
先对函数化简得，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可
【详解】
解：函数.
对于：函数的最小正周期为，故正确；
对于：当时，，故正确；
对于：由于，所以，故函数在该区间内单调递减，故错误；
对于：函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故错误；
故选：AB.
12．ABC
【分析】
先将函数解析式化简整理，得到，根据给定区间，得到，由正弦函数的对称性，得到，求出范围，即可得出结果.
【详解】
，
因为，所以，
又函数在上的值域为，，
所以由正弦函数的对称性，只需，则，
因此ABC都可能取得，D不可能取得.
故选：ABC.
13．2
【分析】
逆用两角差的正弦公式可得，即可求出．
【详解】
因为，所以函数的最大值是2．
故答案为：2．
14．
【分析】
利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期求得答案.
【详解】
因为函数
故最小正周期等于.
故答案为：
【点睛】
本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.
15．
【分析】
由，利用的范围可得答案.
【详解】
，
因为，所以，
所以，解得，
则的取值范围.
故答案为：.
16．
【分析】
设，根据三角恒等变换及正弦函数的性质求得函数的最值，再根据已知可得，从而可得出答案.
【详解】
解：设，
则
．
∵，∴，∴．
由题意知m即∴∴实数m的取值范围为.
故答案为：
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用倍角公式及辅助角公式化简成正弦函数的形式然后利用最小正周期的计算公式.
（2）根据已知可求出的取值范围，然后求出值域.
（1）
解：
所以函数的最小正周期为．
（2）
由知，则
故，
故函数的值域是．
18．（1）；（2）0
【分析】
（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值．
【详解】
解：
，
（1）的最小正周期；
（2），，
当时，即，取得最小值为，
当时，即，取得最大值为，
最大值与最小值之和为3，，，
故的值为0．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
19．；
【分析】
（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．
【详解】
解:因为
所以的最小正周期为
“对恒成立”等价于“”
因为
所以
当，即时
的最大值为.
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据二倍角公式和诱导公式，结合辅助角公式可求得解析式，从而利用周期公式求周期；（2）利用整体代换即可求单调增区间；（3）由得，从而可得的取值范围.
【详解】
（1）
所以．
（2）由，得 ，
所以函数的单调递增区间是.
（3）由得，所以，
所以．
【点睛】
本题考查三角函数的性质，考查利用整体的思想结合图象解决给定范围下的三角函数的范围，属基础题.
21．
（1）；
（2）
【分析】
（1）化简整理得，根据相邻两个对称轴之间的距离可得周期，根据周期即可得解析式；
（2）将恒成立转化为，求出的最小值即可.
（1）
由已知
函数相邻两个对称轴之间的距离为，
，则
，最小正周期为；
（2）
当时，对于恒成立等价于当时，
由得，
，
，
即.
22．
（1）
（2）最大值为1，最小值为
（3）
【分析】
（1）将的解析式化为，然后解出不等式即可；
（2）由，得，然后根据正弦函数的知识可得答案；
（3）由条件可得，然后可得的值，然后利用算出答案即可.
（1）
由
．
令，，解得
故函数的减区间为
（2）
由，有
有，
故函数在区间上的最大值为1，最小值为；
（3）
由，可得
因为，可得
又由，可得，有．
有．