5.4.3正切函数的性质和图像　同步练习——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

5.4.3正切函数的性质与图像
一、单选题
1．下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的值域是（ ）
A．（﹣1，1） B． C． D．
3．使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
6．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②为周期函数；③最小正周期为的是（ ）．
A． B． C． D．
7．满足的三角形的内角A的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数f(x)＝tan x，则下列结论不正确的是（ ）
A．2π是f(x)的一个周期
B．＝
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图象关于点对称
二、多选题
9．与函数的图象相交的直线是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域内是增函数
B．函数的增区间是
C．函数的定义域是 ｛ x| x ≠ +kπ ,k∈z｝
D．函数在上的最大值为，最小值为0
11．下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．与的大小关系是______．
13．函数，其中，且的值域是______．
14．函数的对称中心为__________.
15．若在区间上恒成立，则的取值范围是__________．
四、解答题
16．求函数的定义域.
17．设函数．
（1）求函数的定义域、周期、和单调区间；
（2）求不等式的解集．
18．求下列函数的值域：
（1），；
（2）.
19．（1）求满足的的取值范围；
（2）求不等式的解集．
20．已知函数的图象经过点，函数的部分图象如图所示.
（1）求，；
（2）若，求.
21．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
直接利用周期公式求出周期即可判断.
【详解】
对于A，最小正周期，故错误；
对于B，最小正周期，故正确；
对于C，最小正周期，故错误；
对于D，最小正周期，故错误.
故选：B
2．C
【分析】
根据函数y＝tanx在（﹣，）上的单调性即可求出值域．
【详解】
因为函数y＝tanx在（﹣，）单调递增，
且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，
则所求的函数的值域是（﹣1，），
故选：C.
3．C
【分析】
根据正切函数的图象与性质，可直接求解.
【详解】
由不等式，
根据正切函数的图象与性质，可得，
即实数x的取值范围是.
故选：C.
4．D
【分析】
解方程，可得结果.
【详解】
因为正切函数的对称中心为，
由可得，
因此，函数图象的对称中心是.
故选：D.
5．C
【分析】
由于， 在上为增函数，从而可求得函数的值域
【详解】
，且函数在上为增函数，
∴．
即．
故选：C．
6．C
【分析】
根据题意，结合三角函数图像性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；
对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；
对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.
故选：C.
7．D
【分析】
由于，再结合正切函数的图象和性质可求得答案
【详解】
因为A为三角形的内角，所以．
又，结合正切曲线得．
故选：D
8．B
【分析】
根据正切函数的性质判断．
【详解】
A．(x)＝tan x的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，所以该选项正确；
B．，＝－1，所以该选项不正确；
C．f(x)＝tan x的值域为R，所以该选项正确；
D．f(x)＝tan x的图象关于点对称，所以该选项正确．
故选：B．
9．ABC
【分析】
根据正切函数的图象与性质，即可判断选项中的直线是否与函数的图象有交点
【详解】
对于A，当时，，所以直线与函数交于点，
对于B，由正切函数的图象可知直线与函数的图象相交，
对于C，当时，，所以直线与函数交于点，
对于D，当时，无意义，所以直线 与函数的图象无交点，
故选：ABC
10．BD
【分析】
根据正切函数的定义域、最值、单调性判断．
【详解】
函数在定义域内不具有单调性，故A错误；
由，得，故B正确；
由，解得，故C错误；
因为函数在上是增函数，所以函数在时取得最大值，在时取得最小值0，故D正确．
故选：BD．
11．AC
【分析】
先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.
【详解】
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递减；
不是周期函数，在区间上单调递减；
故选：AC
12．##
【分析】
利用诱导公式将角变到同一单调区间，然后利用单调性判断大小.
【详解】
，．
因为，且在内单调递增，
所以，
所以，
即．
故答案为：.
13．
【分析】
根据题意，结合正切函数图像性质，即可求解.
【详解】
根据题意，结合正切函数图像性质，可知在上单调递增，
因此，因为，所以，故值域为.
故答案为：.
14．
【分析】
由正切函数的性质，令求，即可写出其对称中心.
【详解】
由正切函数性质，令，可得.
∴函数的对称中心为
故答案为：
15．
【分析】
先求出，可得在区间上的最大值为，从而可得答案.
【详解】
所以
所以
在区间上的最大值为，
因为在区间上恒成立，
所以的取值范围是，
故答案为：.
16．
【分析】
根据题意，列出函数有意义时的不等式，解出不等式的解集，从而得到函数的定义域.
【详解】
函数
要使函数有意义，则，
即.
，.
即原函数的定义域为.
【点睛】
本题考查求具体函数的定义域，解三角函数不等式，属于简单题.
17．（1）定义域为，周期为，增区间为，；（2），．
【分析】
（1）利用正切函数的定义域、周期性和单调性，即可求出结果；
（2）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果.
【详解】
（1）根据函数，可得，，
求得，故函数的定义域为．
周期为．
令，，得，
故函数的增区间为，．
（2）求不等式，即，∴，
求得，故不等式的解集为，．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）根据的范围，得到的范围，判断出函数的单调性，从而得到值域；（2）令，将函数转化为二次函数，通过配方得到值域.
【详解】
解：（1），
，
在上单调递增，
，
函数的值域为.
（2）令，则，
所以.
函数的值域为.
【点睛】
本题考查正切函数的单调性和值域，含正切函数的二次函数的值域，属于简单题.
19．（1）；（2）
【分析】
（1）分别求出在上与对应的,根据单调性和周期性,即可得到的范围；
（2）先设,求出中所对应的得,根据单调性与周期性求出,即为的范围,解出范围即可
【详解】
（1）在上,当时,；当时,
在上,单调递增,当时,
正切函数的最小正周期是,
满足的的取值范围是．
（2）设,
在上,当时,；
在上,单调递增,
当时, ,即，
，
所以原不等式的解集为
【点睛】
本题考查解不等式,考查正切函数的单调性的应用,考查正切函数已知值求角
20．（1）， （2）
【分析】
（1）由得图象可得其最小正周期，即可求出，再根据过点代入可求．
（2）由（1）可得、的解析式，由已知条件求出，根据同角三角函数的基本关系计算出、，再由二倍角正切公式求解．
【详解】
解：（1）由图可知，的最小正周期，
则，即
将代入，得.
又，所以.
（2）由（1）得，因为，所以，
根据
所以，
，
故.
即
【点睛】
本题考查三角函数图象的应用，同角三角函数的基本关系及二倍角正切公式，属于中档题．
21．
（1）最小值，最大值
（2）
【分析】
（1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质即可求解；
（2）将配方求出对称轴为，解不等式或即可求解.
（1）
当时，，对称轴为
因为，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值,
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）
是关于的二次函数，
它的图象的对称轴为直线．
因为在区间上是单调函数，
所以或，
即或，
又，
所以的取值范围是.