第四章 数列
4.3.3等比数列的前n项和(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．记为正项等比数列的前项和，若，则（ ）.
A． B． C． D．
2．若是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则（ ）
A． B． C．4 D．12
3．从2015年起到2018年，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2019年5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（ ）
A． B．
C． D．
4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
5．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设无穷等比数列的前项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A．为递减数列 B．为摆动数列
C．数列有最大项 D．数列有最小项
7．设首项为1的数列的前n项和为，已知，
现有下面四个结论正确的是（ ）
A.数列为等比数列；
B.数列的通项公式为；
C.数列为等比数列；
D.数列的前n项和为.
8．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．记为等比数列的前项和．设，，则公比__________，__________．
10．在数列中，其前项和，若数列是等比数列，则常数的值为_____．
11．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列满足，且．
（1）证明：是等比数列；
（2）求的前项和．
13．已知数列中，，.设
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
14．在数列中，，．
（1）求证：等比数列；（2）已知数列，满足．
①若数列的前项和，可以表示成，求 处的代数式；
②若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．第四章 数列
4.3.3等比数列的前n项和(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．记为正项等比数列的前项和，若，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为正项等比数列的前项和，，，
，解得，，
．故选：D．
2．若是等比数列的前项和，，，成等差数列，且，则（ ）
A． B． C．4 D．12
【答案】C
【解析】设数列的公比为，
当时，，则，，，此时 不成等差数列，不符合题意，舍去；
当时，∵成等差数列，∴，
即，
即，解得或（舍去）或（舍去），
∴，，∴，故选：C.
3．从2015年起到2018年，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2019年5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】2015年5月1日到银行存入a元，则一年后存款及利息是，
则到2019年5月1日存款及利息是
2016年5月1日到银行存入a元，则一年后存款及利息是，
则到2019年5月1日存款及利息是
2017年5月1日到银行存入a元，则一年后存款及利息是，
则到2019年5月1日存款及利息是
2018年5月1日到银行存入a元，则一年后存款及利息是，
则到2019年5月1日存款及利息是
到2019年5月1日将所有存款及利息全部取出：
， 故选：D
4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【解析】由于，得，同时；由于，，则无最大值；由于，，则的最大值为．故选：D．
5．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
则
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，
得，
因为数列是单调递增数列，
所以时，，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是. 故选：C。
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设无穷等比数列的前项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A．为递减数列 B．为摆动数列
C．数列有最大项 D．数列有最小项
【答案】BD
【解析】设无穷等比数列的公比为，因为，即，所以，
又，所以，即，又，所以或，
因为，
所以当时， 数列是摆动数列，故单调性不确定，故A错误，B正确；
又，所以；，
此时数列的最小项为，最大项为，
当时，数列是单调递增数列，此时数列的最小项为，无最大项.
故C错误，D正确. 故选：BD
7．设首项为1的数列的前n项和为，已知，
现有下面四个结论正确的是（ ）
A.数列为等比数列；
B.数列的通项公式为；
C.数列为等比数列；
D.数列的前n项和为.
【答案】AD
【解析】因为，所以，
又.所以数列为首项是2，公比是2的等比数列，所以，
则.当时，，
但，所以A正确，BC错误，
因为，所以的前n项和为，
所以D正确.
故选：AD
8．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BD
【解析】由于是等比数列，，所以，
当时，，符合题意；
当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.
综上所述，的取值范围是.
，所以，所以，而，且.
所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.
当时，，即.
当或时，，A选项错误.
综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．记为等比数列的前项和．设，，则公比__________，__________．
【答案】
【解析】因为，故，故
设等比数列的公比为，则即
又，故，解得，故．
故．故答案为：，．
10．在数列中，其前项和，若数列是等比数列，则常数的值为_____．
【答案】
【解析】因为数列的前项和，所以，，，
又因为，，，所以，，
根据数列是等比数列，可知，所以，解得，．
故答案为：．
11．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故. 故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知数列满足，且．
（1）证明：是等比数列；
（2）求的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题易知，且，
所以是等比数列．
（2）由（1）可知是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．所以
．
13．已知数列中，，.设
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为,所以====2，
又, 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
14．在数列中，，．
（1）求证：等比数列；（2）已知数列，满足．
①若数列的前项和，可以表示成，求 处的代数式；
②若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②．
【解析】（1）在数列中，，因时，，
于是得，即，而，
所以，数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知：，即，于是得，
①，则，
两式相减得，则，因，
所以 处的代数式为；
②由①知，于是得不等式对一切正整数恒成立，
显然数列是递增数列，
当为偶数时，，当为奇数时，，即，则，
所以实数的取值范围为.
