【专题复习】八字型相似三角形在不同几何图形中的灵活应用（含答案）

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初中数学：八字/蝴蝶型相似三角形在不同几何图形中的灵活应用
相似三角形是中考数学中的必考知识点之一，在三角形、四边形、圆甚至抛物线等相关题目中，经常可见八字相似型的三角形。特别地，由于四边形和圆结构的特殊性，最容易构造处八字/蝴蝶型相似三角形，其重要性可见一斑，因此，我们必须熟悉并灵活应用每种主要图形中的八字/蝴蝶型相似三角形。
基本原理
基本定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
判定方法：
（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
二、八字/蝴蝶型相似三角形基本图形
三、八字/蝴蝶型相似三角形在不同几何图形中的应用
3.1、普通三角形中的八字/蝴蝶型相似
例1、如图：AD平分∠BAC交BC于D，求证：
证明：作BE//AC ，延长AD至点E
∠2 =∠E 又∠1 =∠2
∴∠1 =∠E ∴AB=BE
∵△ADC ∽△EDC
∴
∴ (AB=BE)
例2、如图，四条线段的长分别为9，5，x、1（其中x为正实数），用它们拼成两个相似的直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段，则x可取值的个数为（　　）
A．1个 B．3个 C．6个 D．9个
解：过B作BE∥CD交AD的延长线于E，
根据题意得：BE＝CD，DE＝BC，∠E＝90°，
∴AB2＝（AD+DE）2+BE2＝（AD+BC）2+CD2，
∵∠ADC＝∠C＝90°，
∴AB是最长边，长为9或x，
若AB＝x，CD＝9，则x＝＝3；
若AB＝x，CD＝5，则x＝＝5；
若AB＝x，CD＝1，则x＝；
若AB＝9，CD＝x，则x＝＝3；
若AB＝9，CD＝5，则x＝﹣1＝2﹣1；
若AB＝9，CD＝1，则x＝﹣5＝4﹣5．
故选：C．
说明：此题考查了勾股定理的应用与相似三角形的知识．难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用。
3.2、与四边形有关的八字/蝴蝶型相似
例3、如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N，
则△AON∽△ACB，
∵OA＝OC，
∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，
∵ON∥BC，
∴△ONE∽△MBE，
∴＝，即＝，
解得，BE＝1．
3.3、与圆有关的八字/蝴蝶型相似
例4、如图①所示，已知AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)如图②所示，延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
题图 答图
解：(1)如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2.∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，
DC＝DE＋CE＝2＋x.
在Rt△DCF中，
由勾股定理得DC2＝CF2＋DF2，
∴(2＋x)2＝(x－2)2＋(2)2，
解得x＝，即BC＝.
(2)∵AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠B＝90°，∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，∴AD∶CG＝DE∶CE，AE∶EG＝AD∶CG.
又易知AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝，∴BG＝BC＋CG＝5，
∴AE∶EG＝4∶5，在Rt△ABG中，
由勾股定理得AG＝＝3，∴EG＝AG＝.
例5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：△BCF∽△DPF； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
解：（1）证明：∵∠1=∠D又∵∠C=∠P ∴△BCF∽△DPF；
（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，
∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．
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