新人教版九年级上册24.2.1点和圆的位置关系

课件52张PPT。 1.掌握点与圆的三种位置关系及其相对应的数量关系，并能应用其判断点与圆的位置关系.
2.掌握过不在同一条直线的三点作圆的方法，会应用其解决实际问题，了解反证法的证明步骤及适用范围. 点与圆的位置关系不仅可以用图形来表示，也可以用数量关系来表示，在探究问题时要结合图形，应用数形结合的思想来进行探究. 点与圆的位置关系
【例1】已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.
(1)以点B为圆心,3为半径作⊙B,则点A,C及AB,AC的中点D,E与⊙B的位置关系如何?
(2)若要让点A和点C有且只有一个点在⊙B内,则⊙B的半径r应满足什么条件?【思路点拨】 【自主解答】(1)由题意知,AB= =5>3，
BD= AB=2.5<3，BE=
∴点A,点E在⊙B外,点C在⊙B上,点D在⊙B内.
(2)要使点A和点C有且只有一个点在⊙B内，只可能点C在⊙B内，点A在⊙B外或⊙B上，当点C在⊙B内时,则有r>3，
点A在⊙B外或⊙B上时,则有r≤5，
∴点A和点C有且只有一个点在⊙B内时,⊙B的半径r应满足3【解析】由勾股定理可得，AC=3，与⊙A的半径相等，∴点C在⊙A上.
答案：圆上2.两个同心圆，大圆的半径为3，小圆的半径为2，点P在小圆外、大圆内，则点P到圆心的距离d的取值范围是_____.
【解析】点P在小圆的外部，所以d＞2，在大圆的内部，所以d＜3，所以2＜d＜3.
答案：2＜d＜3 判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论.解决实际问题的关键是从实际问题中抽象出数学问题，寻找解决数学问题的策略. 确定圆的条件
【例2】(2010·兰州中考)小明家的房前
有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、
C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在
花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(2)若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．【思路点拨】根据圆心到各顶点的距离相等，知圆心为三角形三边垂直平分线的交点；直角三角形的外心是斜边的中点，所以半径为斜边的一半，进而求得面积.【自主解答】(1)用尺规作出两边的垂直平分线，作出圆，⊙O即为所求作的花坛的位置.

…………………………4分
(2)∵∠BAC=90°,AB=8米,AC=6米,∴BC=10米.
∴△ABC外接圆的半径为5米，
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.………………6分 1.确定圆的方法，主要利用线段垂直平分线的性质，找到某一点使其到其他各点的距离相等，即圆心的确定，此类问题大多联系生活实际，考查尺规作图，作图时要注意规范.
2.确定已知弧所在圆的圆心，只需在此弧上任取三点，连接任意两点构成三条线段，作出其中两条的垂直平分线，交点即为圆心. 3.下列说法中正确的是( )
(A)过直线上两点与直线外一点可以确定一个圆
(B)过线段的两端点与线段外一点可以确定一个圆
(C)矩形、菱形、正方形的四个顶点都在同一个圆上
(D)三角形的外心到三角形三边的距离相等
【解析】选A.若点在线段的延长线上，则不能作圆，故B错误；菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，故C错误；三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故D错误.4.(2010·南平中考)如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，则∠BOC=_____°.
【解析】因为△ABC是⊙O的内接等边三角形，所以∠A=60°，所以∠BOC=120°.
答案：1205.直角三角形的两条边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆的半径等于_____.
【解析】若6和8是直角三角形的两条直角边，由勾股定理可知斜边的长为10，此时外接圆的半径为5；若6和8是直角三角形的直角边和斜边，则8必为斜边，此时这个直角三角形外接圆的半径为4.
答案：5或4 1.只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，确定的意义为“能作且只能作一个”；
2.三角形外接圆的问题，往往结合外心的性质及勾股定理来进行证明或计算，应用时要注意直角三角形的构造.1.(2010·宜宾中考)若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )
(A)点A在圆内 (B)点A在圆上
(C)点A在圆外 (D)不能确定
【解析】选A.因为r=4 cm，d=3 cm，所以d_____ cm才能保证工人的安全.
【解析】因为工人到安全区最少需要400÷5=80 (s)，引线的长度至少为80×1=80 cm.
答案：803.已知△ABC的三边长分别为5 cm、12 cm、13 cm，则这个三角形的外接圆的面积为___cm2.(结果用含π的代数式表示)
【解析】∵52+122=132，∴△ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为13 cm，∴S外接圆=π× 6.52 =42.25π (cm2).
答案：42.25π4.求证：圆的两条非直径的相交弦不能互相平分.【解析】已知：如图，AB、CD为⊙O的非直径的弦，AB、CD相交于点P.求证：AB和CD不能互相平分.
证明：连接OP，假设AB和CD互相平分，即PA=PB，PC=PD，根据垂径定理有：OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线AB、CD都与OP垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.一、选择题（每小题4分，共12分）
1.（2010·新疆建设兵团中考）如图，王大爷家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子可以选用( )
(A)3 m (B)5 m (C)7 m (D)9 m【解析】选A.由题意知，只要让羊在半圆的外部即可，如图，A到圆的最短距离为AP，由勾股定理得OA=10 m，所以AP=4 m，故选A.2.（2010 ·河北中考）如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是
( )
(A)点P (B)点Q (C)点R (D)点M【解析】选B.圆心是弦AB、BC垂直平分线的交点，根据网格画图可得交点为点Q.3.A、B、C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是( )
(A)可以画一个圆，使A，B，C都在圆上
(B)可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外
(C)可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外
(D)可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内【解析】选B.∵AB=3，BC=3，AC=6，
∴AB+BC=AC，
∴A、B、C三点在一条直线上.
如图所示，由题意按要求作图知,
选项B正确.二、填空题（每小题4分，共12分）
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，
BC=24，则⊙O的半径为_____．【解析】连接OA交BC于D点，连接BO，因为AB=AC，所以弧AB＝弧AC，则OA垂直平分BC（垂径定理），BD= 12，在直角三角形ABD中根据勾股定理得AD＝5，在直角三角形OBD中，设半径OB＝x，则有：x2=122+(x-5)2，解方程得：x＝16.9.
答案：16.9 【归纳整合】涉及到三角形外接圆的计算，常与垂径定理、勾股定理相结合，构造直角三角形来求解，有时需要方程的思想，应用勾股定理构建方程，是解决几何问题中求线段长度的常用方法.5.若一个直角三角形的面积为12 cm2，周长为12 cm，则
此直角三角形的外接圆的直径为_____.
【解析】设此直角三角形的直角边为a,b，斜边为c，根据面
积得ab=24，a+b+c=12 cm,又因为a2+b2=c2,即（a+b）2
-2ab=c2，所以(12 -c)2-48=c2，解得c=5 cm，所以其外
接圆的直径为5 cm.
答案：5 cm6.△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2
-（2m-5）x+12=0的两个根，外接圆O的面积为 ，则m的
值为_____.
【解析】∵πR2= ，∴R= ，∵AB=1，∴AB为⊙O直径，
∴AC2+BC2=1,即（AC+BC）2-2AC·BC=1，∴（ ）2
-2· =1,m2-18m-40=0，∴m=20或m=-2，当m=-2时，
Δ<0（舍去），∴m=20．
答案：20三、解答题（共26分）
7.（8分）（2010·济宁中考）如图，
AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂
足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，
连接BD，CD.
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上,并说明理由.【解析】（1）∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD=CD.
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
理由：由（1）知： ，∴∠BAD=∠CBD.
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.
由（1）知：BD=CD.∴DB=DE=DC.
∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 8.（8分）先阅读，再解答：
我们在判断点（-7，20）是否在直线y=2x+6上时，常用的方法：把x=-7代入y=2x+6中，由2×(-7)+6=-8≠20,判断出点（-7，20）不在直线y=2x+6上.小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A（1，2），B（3，4），
C（-1，6）三点可以确定一个圆.你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由.【解析】他的推断是正确的.
因为“两点确定一条直线”，设经过A、B两点的直线解析式为y= kx+b，
由A（1，2），B（3，4），得
∴经过A，B两点的直线的解析式为y=x+1.
把x=-1代入y=x+1中，由-1+1≠6,可知点C（-1，6）不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，所以A，B，C三点可以确定一个圆.【拓展延伸】
9.（10分）如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线,它与圆交于点D,F为BC上的点.
（1）求证：BD=DC;
（2）请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心,并说明理由.【解析】（1）由题意可知∠EAD=∠DAC，
又∵四边形ABCD内接于圆,∴∠EAD=∠BCD.
又∵∠DAC=∠DBC,∴∠BCD=∠DBC，
∴BD=DC.（2）补充下列条件中的任意一个即可:
BF=FC,DF⊥BC,DF平分∠BDC.
①当补充的条件为BF=FC时,由(1)可知,DF⊥BC,
∴DF是BC的中垂线,∴DF经过圆心.
②当补充的条件为DF⊥BC时,由(1)可知,BF=FC,
∴DF是BC的中垂线,∴DF经过圆心.
③当补充的条件为DF平分∠BDC时,
由(1)可知DF⊥BC,BF=FC,∴DF是BC的中垂线,
∴DF经过圆心.