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期末复习单元卷：一元二次函数、方程和不等式
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021高一上·湖南月考）若 ，则 的最大值是（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
2.（2021高二下·辽宁月考）已知正数a，b满足 ，则 的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
3.（2021高一上·浙江期中）已知 ，则方程 的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（2021高一上·凌源月考）关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
5.（2021高二上·桂林月考）若 ，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2021高二上·南阳期中）在下列函数中，最小值是2的为（ ）
A． B．
C． D．
7.（2021高一上·湖北月考）已知两正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
8.若 ，则M，N的大小关系是（ ）
A．M＝N B．MN
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021高一上·浙江期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
10.（2021高三上·湖南月考）有下面四个不等式，其中恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11.（2021高一上·重庆月考）下列说法正确的有（ ）
A． 的最小值为2
B．已知 ，则 的最小值为
C．若正数 、 满足 ，则 的最小值为
D．设 、 为实数，若 ，则 的最大值为 .
12.（2020高二上·中山期末）下列函数中，最小值为 的有（ ）
A． B．
C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021高一下·汕头月考）已知函数 ，对一切实数 恒成立，则 的范围为
14.（2021高一下·浙江开学考）若正实数 、 、 ，满足 ， ，则 的最小值为 .
15.（2021高一下·津南期末）已知 ，且 ，则 的最小值是 ， 此时 ．
16.（2021高一上·重庆月考）若 ， ，则 的最小值为 ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2021高二上·浙江开学考）已知 ，设集合 ， ，
（1）当 时，求集合A ．
（2）若 ，求实数a的取值范围．
18.（2021高一上·郑州期中）
（1）求不等式 的解集；
（2）若 解关于 的不等式 .
19.（2021·蚌埠模拟）已知 ， ， 为正数，且满足 ．证明：
（1） ； （2） ．
20.（2020高一上·吉林期末）已知 ，且 .
（1）求 的最大值； （2）求 的最小值.
21.已知 试比较 与 的大小.
22.（2021高二上·新郑月考）已知正实数 ， 满足 ，求证： .
答案及解析
1.【答案】 B
【解析】因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
2.【答案】 D
【解析】因为
所以
所以
所以
当且仅当 ，即 时等式成立，
3.【答案】 B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 。
4.【答案】 A
【解析】不等式 可化为 ，则 。
5.【答案】 C
【解析】A．因为 ， ，当且仅当 时，等号成立，故错误；
B．因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故错误；
C.由A知 ，所以 ，故正确；
D． ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故错误；
6.【答案】 B
【解析】当 时， ，A不符合题意；
，当 ，即 时等号成立，B符合题意；
，则 ， ， ，即 时等号成立， ，等号不成立，C不符合题意；
， ， ， ，即 时等号成立， ，等号不成立，D不符合题意.
7.【答案】 B
【解析】由题设， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
8.【答案】 B
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ,即M9.【答案】ABD
【解析】对于A： ，A符合题意；
对于B：因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，B符合题意；
对于C：因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，C不符合题意；
对于D：因为 ，即 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，D符合题意；
10.【答案】BC
【解析】A，若 ， ， ，当且仅当 时等号成立，A不符合题意；
B， ，当且仅当 ，即 时等号成立，B符合题意；
C，因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，C符合题意；
D，若a ， b异号，则 ，当且仅当 时等号成立，D不符合题意.
11.【答案】BCD
【解析】对于A选项，当 时， ，A选项错误；
对于B选项，当 时， ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，B选项正确；
对于C选项，若正数 、 满足 ，则 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，
，
所以， ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 ，D选项正确.
12.【答案】AC
【解析】对于 ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最小值 ，故 成立；
对于 ：由 可得 ，
令 ， ， 在 ， 上单调递减，
当 时取得最小值3，故 不成立；
对于 ：令 ，则 ，则 ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最小值 ， 成立；
对于 ，由于 ，所以设 ，
当 时， ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最小值 ；
当 时， ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最大值 ．
综上述 或 ，故 不成立．
13.【答案】
【解析】解：∵ 函数 ， 对一切实数 恒成立
∴①当m=0时，-1<0恒成立，故m=0符合；
②当m≠0时，需满足 ， 解得-4综上，-414.【答案】
【解析】已知实数 、 、 均为正实数，且 ， ，可得 ，
，所以， ，
，
，可得 ，令 ，则 ，
所以， .
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
15.【答案】 ；
【解析】由 ，且 ，
，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为 ，
由 ， ，解得 或 ，由 ， 舍去。
16.【答案】
【解析】因为 有意义，所以 ，
而 ， ，因此 且
（1）当 时，
因此 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
（2）当 时，则 ， ，
因此
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，
综上所述， 的最小值为 。
17.【答案】（1）当 时，有 ，解得 ，故 ．
（2）∵ ，∴ ，
不等式 可以表示成 ，
当 时， ，此时 成立，
当 时， ， 成立，
当 时， ，若此时 成立，则 ，解得 ，故 ．
综上所述， ．
18.【答案】 （1）因为 ，所以 ，即 ，
所以 或 ，故不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ，即 时，不等式 解集为 ；
当 ，即 时，不等式可化为 ，此时解集为 ；
当 ，即 时，不等式 解集为 .
综上所述，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
19.【答案】 （1）解：∵ ，
∴
∴
当且仅当 时，等号成立，
因为 ， ， 为正数，且满足 ，
∴
∴ ，即
（2）解：∵
∴
当且仅当 ， ， 时，上式等号成立．
20.【答案】 （1）解：因为 ，
(当且仅当 ，即x=20,y=5时等号成立)
所以 ，
因此 的最大值为
（2）解：因为 ，即
所以
(当且仅当 ，即 时等号成立)
所以 的最小值为
21.【答案】
， ， ， ，
，
即 .
22.【答案】 证明：
由 可得
当且仅当 ， 时取等号，所以 ，即
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期末复习学案：一元二次函数、方程和不等式
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的比较大小
文字语言 数学语言 等价条件
a－b是正数 a－b＞0 a＞b
a－b等于零 a－b＝0 a＝b
a－b是负数 a－b＜0 a＜b
3．重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h D．d≥10 m
【答案】A
【解析】v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A。
2．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
【答案】4．5t<28 000
【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000。
1．若M=3x2-x+1，N=2x2+x-1，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M=N C．M【答案】A
【解析】因为M=3x2-x+1，N=2x2+x-1，所以M-N=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以M>N.故选A．
2．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为 ;如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就要花9天多的时间，用不等式表示为 .
【答案】8(x+19)>2 200 >9
【解析】如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程为8(x+19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程就超过2200km”可以用不等式8(x+19)>2200来表示;如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为，因此，不等关系“它原来行驶8天的路程现在就要花9天多的时间”可以用不等式>9来表示.
1．等式的性质
(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；
(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b＜A．
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞C．
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋C．
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bC．
(5)加法法则：a＞b，c＞d a＋c＞b＋D．
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bD．
(7)乘方法则：a＞b＞0 an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1．下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＜b
【答案】D
【解析】A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b
1．若1≤a≤5，-1≤b≤2，则a-b的取值范围是 .
【答案】-1≤a-b≤6
【解析】∵-1≤b≤2，∴-2≤-b≤1.
又1≤a≤5，∴-1≤a-b≤6
2．已知一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天它的行程就超过2 200 km，该问题用不等式可表示为 ;如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，该问题用不等式可表示为 .
【答案】8(x+19)>2 200 >9
【解析】由题意知，汽车原来每天行驶xkm，8天它的行程超过2200km，则8(x+19)>2200.
若每天行驶的路程比原来少12km，则原来行驶8天的路程就要花9天多的时间，即>9.
1．重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
【答案】B
【解析】当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．
2．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
1．已知正数a，b满足ab=10，则a+b的最小值是( )
A．10 B．25 C．5 D．2
【答案】D
【解析】a+b≥2=2，当a=b=时，等号成立.故选D．
2．已知m>0，n>0，m+n=10，则mn的最大值是( )
A．5 B．25 C．20 D．10
【答案】B
【解析】∵m>0，n>0，m+n=10，∴=5，
∴mn≤25，当m=n=5时，等号成立.故选B．
3．已知 (x>0，y>0)，则xy的最小值是 .
【答案】6
【解析】∵≥2，∴2≤2，∴xy≥6.
当且仅当x=2，y=3时取等号.
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【解析】∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝＝＋≥＋2＝
.
故y＝＋的最小值为.
2．若x>0，则x＋的最小值是________．
【答案】2
【解析】x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．
1．已知正数x，y满足，则xy有( )
A．最小值 B．最大值16
C．最小值16 D．最大值
【答案】C
【解析】∵x>0，y>0，∴≥2=4.
∵=1，∴4≤1，∴，∴xy≥16.故选C．
2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= .
【答案】20
【解析】总运费与总存储费用之和为4x+×4万元，4x+×4=4x+≥2=160，当且仅当4x=，即x=20时取等号.
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
4．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\XTB163-1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\XTB163-1.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\XTB163-2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\XTB163-2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\XTB163-3.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\XTB163-3.tif" \* MERGEFORMATINET
得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R
y＜0 {x|x1＜x＜x2}
1．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A． B．
C． D．R
【答案】D
【解析】因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.
2．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
【答案】{x|x>5或x<－1}
【解析】由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．
1．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2，-1，则当a<0时，关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为( )
A．{x|x<-1，或x>2} B．{x|x≤-1，或x≥2}
C．{x|-1【答案】D
【解析】由题意知，-=1，=-2，∴b=-a，c=-2A．
∵a<0，∴不等式可化为x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.
2．不等式-x2+2x>-15的解集是 .
【答案】 {x|-3【解析】不等式-x2+2x>-15变形为x2-2x-15<0.因式分解为(x-5)(x+3)<0，解得-3故不等式-x2+2x>-15的解集为{x|-31．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 法一：或法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0) 法一：或法二：
＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立 ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立 ymin≥k
3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回扣实际问题．
1．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
【答案】a＞4或a＜－4
【解析】∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.
2．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
【答案】{x|10≤x≤30}
【解析】设矩形高为y，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.
1．若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意的x∈R恒成立，则m的最大值为( )
A．2 B．-2 C．-4 D．4
【答案】C
【解析】由已知可得Δ≤0.
即Δ=(-4)2+4m≤0，解得m≤-4.
所以m的最大值为-4.故选C．
2．某商品在最近30天内的价格y1(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系是y1=t+10(0【答案】{t|10≤t≤15，t∈N}
【解析】日销售金额为(t+10)(-t+35)，依题意有(t+10)(-t+35)≥500，解得10≤t≤15.
故t的取值集合为{t|10≤t≤15，t∈N}.
3．解不等式
【答案】：当或时，原不等式的解集为；
当时，故原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或
【解析】解：，
，
当时，即时，
方程有两个相等的实数根为：，
故原不等式的解集为；
当时，即，
方程有两个不等的实数根为：
故原不等式的解集为或；
当时，即或时，
原不等式的解集为；
综上所述：当或时，原不等式的解集为；
当时，故原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
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