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期末复习学案：函数的概念与性质
1．函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}
2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\zmp42.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\zmp42.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\zmp42.TIF" \* MERGEFORMATINET
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
1．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1，0) C．(－1，＋∞) D．(－1，0)
【答案】C
【解析】由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．
2．若f(x)＝，则f(3)＝________.
【答案】－
【解析】f(3)＝＝－.
1．已知函数，则f(f(0))=( )
A． B．- C．- D．
【答案】B
【解析】∵f(0)==-2，
∴f(f(0))=f(-2)==-.故选B．
2．若函数(x≠2)的定义域为P，则下列元素不属于P的是( )
A．2 B．-2 C．-1 D．-3
【答案】A
【解析】要使函数f(x)有意义，须有解得所以P=.故选A．
1．函数的表示法
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\ZMP47.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\ZMP47.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\ZMP47.TIF" \* MERGEFORMATINET
2．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
1．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
【答案】B
【解析】把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．
2．已知则f(3)的值为( )
A．2 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】f(3)=f(3+4)=f(7)=7-5=2.故选A．
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\人A2019-7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\人A2019-7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\人A2019-7.TIF" \* MERGEFORMATINET
A B C D
【答案】D
【解析】结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D．
2．函数f(x)＝则f(f(4))＝________.
【答案】0
【解析】∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.
3．已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
【答案】(1) －
(2) 当f(a)＝3时，a＝1或a＝2
【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，
知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，
而－2<－<2，
∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2，2)，－3 (－2，2)，
∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
1．增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2)
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图示 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\xtb161-42.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\xtb161-42.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\xtb161-43.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\xtb161-43.TIF" \* MERGEFORMATINET
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4，4]
B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1]
D．[－3，4]
【答案】C
【解析】由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3，1]，选C．
2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\ZMP75.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\ZMP75.TIF" \* MERGEFORMATINET
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
【答案】 (1)函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数．
(2)先画出f(x)＝的图象，如图．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\ZMP76.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\ZMP76.TIF" \* MERGEFORMATINET
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞)．
1．(多选题)已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2，+∞)内单调递增，则下列结论正确的是( )
A．f(1)≥25 B．f(-1)≤-7 C．f(1)≤25 D．f(-1)≥-7
【答案】 AB
【解析】因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x=，
所以f(x)在区间内单调递增.则≤-2，解得m≤-16.
即f(1)=4-m+5=9-m≥25，f(-1)=4+m+5=9+m≤-7.
2．已知函数y=f(x)是定义在区间(0，+∞)内的减函数，且f(2m)>f(-m+9)，则实数m的取值范围是( )
A．(-∞，3) B．(0，3) C．(3，+∞) D．(3，9)
【答案】B
【解析】因为函数y=f(x)在区间(0，+∞)内为减函数，且f(2m)>f(-m+9)，所以解得01．函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
1．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【答案】D
【解析】∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)2．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.
(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；
(2)求g(a)的最大值．
【答案】(1) g(a)＝
(2)-3
【解析】(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；
当0＜2a－1＜2，即所以g(a)＝
(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，
∴g(a)≤g＝－3；
又当∴g(a)的最大值为－3.
1．函数y=在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是( )
A．1， B．2，1 C． D．2，
【答案】A
【解析】因为函数y=在区间[2，4]上单调递减，所以其最大值、最小值分别是=1，.故选A．
2．若函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A．f，f B．f(0)，f C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
【答案】B
【解析】由f(x)的图象知，f(x)图象最高点的纵坐标为f(0)，最低点的纵坐标为f，故最大值为f(0)，最小值为f。
3．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
【答案】(1) y＝－3x＋162，x∈[30,54]
(2) 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
【解析】(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\ZMP86.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\ZMP86.TIF" \* MERGEFORMATINET
A B C D
【答案】B
【解析】B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．
2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
3．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
【答案】f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
【解析】f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
1．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．
2．若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a= ，b= .
【答案】 0
【解析】依题意，得a-1+2a=0，解得a=，此时f(x)=x2+bx+1+B．
因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即x2-bx+1+b=x2+bx+1+b，解得b=0.
3．函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式.
【答案】f(x)＝
【解析】设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
4．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．
【答案】F(x)在(－∞，0)上是减函数．
【解析】证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．
5．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
(1)求b值；
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
【答案】(1) b＝0.
(2) .
【解析】 (1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，
所以f(0)＝0，解得b＝0.
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，
因为f(m)＋f(m－1)>0，
所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，
所以m－1>－m，①
又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0
在函数f(x)定义域范围内有意义．
所以②
解①②得所以m的取值范围为.
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\ZMP128.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\ZMP128.TIF" \* MERGEFORMATINET
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
【答案】C
【解析】只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C．
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.
【答案】
【解析】由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，∴f(4)＝＝.
3．已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
【答案】m＝－3，n＝.
【解析】由题意得
解得所以m＝－3，n＝.
4. 点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)【解析】设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)1．设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1，3 B．-1，1 C．-1，3 D．-1，1，3
【答案】A
【解析】因为函数y=xα为奇函数，所以α=1，-1，3.
又其定义域为R，所以α=1，3.
2．若(a+1<(3-2a，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数y=在区间[0，+∞)内是增函数，
所以 解得-1≤a<.
3. 比较下列各组数的大小：
(1)3与3.1；
(2)4.1，3.8，(－1.9).
【解析】(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3>3.1.
(2)4.1>1＝1,0<3.8<1＝1，而(－1.9) <0，所以4.1>3.8>(－1.9).
4. 已知函数是幂函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）判断函数在上的单调性，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）函数为偶函数
（3）在上单调减函数
【解析】（1）因为函数是幂函数，
则，解得，所以．
（2）函数为偶函数．
证明如下：由（1）知，其定义域为关于原点对称，
因为对于定义域内的任意，都有，
所以函数为偶函数．
（3）在上单调减函数；
证明如下：在上任取，，不妨设，
则，
由，得，且，，
所以，即时，；
所以在上单调递减．
常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
1．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
【答案】60
【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
2. 求函数f(x)＝的零点；
【答案】－3和e2.
【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
1．从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时前k次共倒出纯酒精x L，倒第(k+1)次时前(k+1)次共倒出纯酒精f(x) L，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)=x+1 B．f(x)=x+1
C．f(x)=(x+1) D．f(x)=x
【答案】A
【解析】因为倒第k次时共倒出纯酒精xL，所以第k次后容器中含纯酒精(20-x)L，第(k+1)次倒出的纯酒精是L，故f(x)=x+x+1.
2．某商品的进货价为40元/件，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件.通过市场调查发现，该商品的单价每提高1元，该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
【答案】D
【解析】设在50元的基础上提高x元，x∈N，每月的月利润为y元，则y与x的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000，x∈N，其图象的对称轴为直线x=20，故每件商品的定价为70元时，月利润最高.
3．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
【答案】需要30 min，可降温到32 ℃.
【解析】 先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×eq \s\up25()，即＝eq \s\up25()，
解之，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×eq \s\up25()，
当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×eq \s\up25()，
即eq \s\up25()＝＝＝3，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
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期末复习单元卷：函数的概念与性质
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2020高一上·河南期末）已知幂函数 的图象在 上单调递减，则实数 的值是（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．
2.（2021高二下·苏州月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 成为高斯函数，例如： ， ，已知函数 ，则函数 的值域是（ ）
A．{1} B． C． D．
3.（2020高一上·潮阳期末）已知函数 ，若正实数a、b、c、d互不相等，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.（2020高一上·罗湖期末）为庆祝深圳特区成立40周年，2020年10月11日深圳无人机精英赛总决赛在光明区举行，全市共39支队伍参加，下图反映了某学校代表队制作的无人机载重飞行从某时刻开始15分钟内的速度 (单位:米/分)与时间x(单位:分)的关系.若定义"速度差函数"u(x)为无人机在时间段为[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象为（ ）
A． B． C． D．
5.（2020高一上·锦州期末）设 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
6.（2021高一上·怀仁期中）对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足 ，则称函数 为“倒戈函数”．设 （ ， ）是定义在 上的“倒戈函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2020高一上·西青期末）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A．f B．f
C．f D．f
8.（2021高二下·辽宁期末）若函数 在区间 上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（1,2]
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021高一下·湖南月考）已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
10.（2020高一上·漳州期末）已知函数 ，若对于区间 上的任意两个不相等的实数 ， ，都有 ，则实数 的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
11.（2021高三上·河北月考）已知函数 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12.（2021高三上·邢台月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的值域为
C．当时，函数的图像关于直线 对称
D．函数的增区间为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021高一下·泾县月考）函数 的定义域为 .
14.（2020高一上·潮阳期末）函数 在 上单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围为 ．
15.（2020高一上·西青期末）已知函数，若对任意的 、 ， ，都有 成立，则实数 的取值范围是_______.
16.（2020高一上·泰州期末）已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，当x≤1时，，则不等式的解集为________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2021高二下·长沙期末）设a是实数， ．
（1）试证明对于任意a，为增函数；
（2）试确定a值，使为奇函数．
18.（2021高一下·湖北开学考）函数是定义在 上的奇函数，且．
（1）确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式．
19.（2021高一上·迁安期中）已知函数．
（1）证明函数的奇偶性；
（2）讨论并证明在的单调性；
（3）当时，求的值域．
20.（2020高一上·渭滨期末）已知奇函数的定义域为 .
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）若实数满足，求的取值范围.
21.（2020高一上·湖州期末）已知，函数和函数.
（1）若函数图象的对称中心为点，求满足不等式的的最小整数值；
（2）当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数的取值范围.
22.（2020高一上·迁安期末）设函数，其中，且.
（1）求的定义域；
（2）当时，函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴，并证明.
答案及解析
1.【答案】A
【解析】由幂函数定义得，
解得或.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
2.【答案】C
【解析】∵，，
∴为奇函数，
化，
∵，∴，则，
∴当时，，；
当时，，；
当时，，
∴函数的值域是。
3.【答案】A
【解析】如图所示：正实数a、b、c、d互不相等，不妨设
∵
则，∴，∴
且，，∴
4.【答案】D
【解析】解：由题意可得，当，时，翼人做匀加速运动，，
“速度差函数”．
当，时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到80，
．
当，时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，，
．
当，时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，
5.【答案】D
【解析】当时，，可得，
是定义在上的偶函数，
所以等价于，
显然当时，为增函数，
所以，解得.
6.【答案】A
【解析】因为是定义在上的“倒戈函数，
存在满足，
，
，
构造函数，，
令，，
在单调递增，
在单调递减，所以取得最大值0，
或取得最小值，，
，。
7.【答案】A
【解析】根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），
则有f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，
若α，β是锐角三角形的两个内角，
则α+β，则有αβ，则有sinα＞sin（β）＝cosβ，
又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，
则f（sinα）＞f（cosβ），
8.【答案】A
【解析】令，
∵且，
∴函数的图象是开口向下的抛物线，
∵，
∴，
若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得，
若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是。
9.【答案】AC
【解析】如图：
可知，，，则，
且，所以，即.
因为，所以，.
10.【答案】AD
【解析】二次函数图象的对称轴为直线，
∵任意且，都有，
即在区间上是单调函数，∴或，
∴或，即实数的取值范围为.
11.【答案】ABC
【解析】∵是增函数，∴A符合题意；
对于B，构造函数，∴，当时，是减函数，∴，即，
B符合题意；
对于C，构造函数，∴，当时，是减函数，∴，即，C符合题意；
对于D，，
，因为，所以，
因为是增函数，所以，
D不正确.
12.【答案】AD
【解析】对于A，由，可知函数为偶函数，所以A符合题意，
对于B，不妨设，此时，由（当且仅当时取“=”），有，可得，可知函数的值域为，所以B不符合题意，
对于C，由，
，可知当时，函数的图像不关于直线对称，所以C不符合题意，
对于D，，由函数的增区间为，减区间为，可知函数的增区间为，所以D符合题意，
13.【答案】（-2，1）
【解析】函数的自变量满足：，
解得即
14.【答案】[-4,0]
【解析】根据题意,f(x)为奇函数,若f(2)=1,则f( 2)=-1，
f(x)在( ∞,+∞)单调递增,且 1 f(x 2) 1,即f(-2) f(x 2) f(2)，
则有 2 x 2 2，
解可得0 x 4，
即x的取值范围是[-4,0]；
15.【答案】
【解析】设，则，由可得，即，所以，函数为上的减函数，
由于，
由题意可知，函数在上为减函数，则，
函数在上为减函数，则，
且有，所以，解得，
因此，实数的取值范围是，
16.【答案】（或）
【解析】由对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，
则函数关于对称，
当x≤1时，，函数单调递增，
所以当时，函数单调递减，
所以不等式，
即，即，
两边平方解不等式可得，
所以不等式的解集为（或）.
17.【答案】（1）证明：设x1、x2∈R且x1＜x2，
，
又由在R上为增函数，则＞0，＞0，
由x1＜x2，可得＜0，则＜0，
故为增函数，与a的值无关，
即对于任意a，在R为增函数
（2）解：若f（x）为奇函数，且其定义域为R，必有，
即，变形可得
解可得，a＝1，
即当a＝1时，为奇函数．
18.【答案】（1）由函数是定义在上的奇函数知，
所以解得，经检验，时，是上的奇函数，满足题意
又，解得，故，．
（2）在上为增函数．证明如下：
在内任取且，则，
因为，，，，
所以
即，所以在上为增函数．
（3）∵，∴，又∵是上的奇函数，
∴，结合在上为增函数，
得，解得：，即．
19.【答案】（1）证明：由，可得，且，所以函数为奇函数.
（2）函数在上单调递减，在上单调递增.
证明：设，且，
则，
当时，，即，因此函数在上单调递减；
当时，，即，因此函数在上单调递增；
综上，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由题意得，，令，且，则且.
由（1）（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，
因，，，所以函数的值域为.
20.【答案】（1）解：由于函数为奇函数，则，
而，
所以，，，
由于函数的定义域关于原点对称，则，
所以，，.
设、，且，
则，
，则，，，
，即，所以，函数在上单调递增
（2）解：由，可得，
等价于，得.
因此，实数的取值范围是.
21.【答案】（1）解：因为函数图象的对称中心为点，所以，令得，
，解得，所以，即，于是等价于，即，又，解得，故满足不等式的的最小整数为
（2）解：当时，，
因为，所以的值域是．
依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立，则的值域是在上的值域的子集，而且，所以在上不能单调递增，且只需在上的最小值小于等于，故
或（舍去）．
即正实数的取值范围为
22.【答案】（1）解：由题知：，
①当时，即，则，定义域为.
②当时，即，则，定义域为.
综上，当时，定义域为；当时，定义域为.
（2）解：因为，所以函数的定义域为，
任取，且，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，
所以，函数在为增函数，
所以函数图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴.
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