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期末复习单元卷：指数函数与对数函数
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021·凉山州模拟）方程的解集为（ ）
A． B．{4} C． D．
2.（2021高三上·驻马店月考）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2021高二上·湖南月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.（2021高三上·广西壮族自治开学考）已知函数在上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
5.（2021高三下·连云港开学考）定义方程的实数根叫作函数的“保值点”.如果函数与函数的“保值点”分别为，，那么和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6.（2020高三上·威海期末）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
7.（2021高三上·宁波模拟）设，函数，若在区间内恰有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8.（2021高二下·昆明期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2021高二下·南海期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10.（2020高一上·阜宁期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图像关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
11.（2021·常德模拟）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12.（2020高一上·湖北期末）已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021高一上·嘉兴期中）若，且，则函数的图象过定点_______
14.若，则________
15.（2021·嘉兴模拟）已知，函数，则的零点个数是______，，则的取值范围是_________________
16.（2021高三上·嫩江月考）已知函数，，则函数的零点个数为________个．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2021高一下·湖南月考）计算：
（1）；
（2）.
18.（2020高一上·来宾期末）计算下列各式的值
（1）；
（2）．
19.（2021高三上·龙岩月考）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且．
（1）求，的解析式；
（2）若函数（）在上只有一个零点，求实数的取值范围．
20.（2021高二下·鹤岗期末）化简并求值：
（1）
（2）.
21.（2020高一上·渭滨期末）计算：
（1）
（2）已知，求
22.（2020高一上·张家口期末）已知函数.
（1）若函数在区间内存在零点，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程有实数根，求实数m的取值范围.
答案及解析
1.【答案】A
【解析】因为，所以且在上单调递增，
所以，所以，所以，
2.【答案】D
【解析】解：由，得．由，得．又，，所以．
3.【答案】A
【解析】正数满足，即，，
所以，，即，所以，
故，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2.
4.【答案】A
【解析】由可得或.
因为，则，
由可得或或，解得或或，由可得，
综上所述，函数在上的零点个数为4。
5.【答案】B
【解析】由题可得：，
所以，
，
假设，
则，
所以
，
与矛盾，
故，故，
6.【答案】D
【解析】因为；；，所以；令，则，已知函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，由复合函数同增异减，即可得函数在定义域上单调递减，所以。
7.【答案】A
【解析】由题意在上有零点．
而的对称轴为，故有，解得．注意到．
（1）当时，即时，在上有两个零点．
（事实上，在上有两个零点）
此时，，且在上有两个零点．
又，，
故在上有两个零点．
所以，当时，在区间内恰有4个零点
（2）当时，即时，在上有一个零点．
要是在区间内恰有4个零点，则必在区间上．
从而，解得．
又区间的长度大于6，得．此时，．
（注：当时，在，，上各有一个零点）
故当时，在区间内恰有4个零点．
而，
解得．
所以，当时，在区间内恰有4个零点．
（3）当时，即时，易知在内仅有2个零点，不符．
综上，．
8.【答案】A
【解析】设，因为是减函数，，所以，
因为是增函数，，所以，所以，
因为，所以，
所以。
9.【答案】ACD
【解析】对A，，所以，A符合题意；
对B，取，所以，B不符合题意；
对于C，因为，且，则，则，C符合题意；
对于D，因为，且，，D符合题意；
10.【答案】ACD
【解析】对于A，令，
因为在上是增函数，且，
所以方程的解在，所以，A符合题意；
对于B，令得或，故函数的零点为和，B不符合题意；
对于C，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，C符合题意；
对于D，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，D符合题意.
11.【答案】BC
【解析】解：函数，在上单调递增，∴，A不符合题意；
函数，在上单调递减，，函数，在上单调递增，，
，B符合题意；
函数单调递减，，C符合题意；
，D不符合题意，
12.【答案】ABD
【解析】在函数的解析式中，令可得，且，
所以，函数的图象过定点，，所以，所以A符合题意；
由重要不等式，可得，故，
当且仅当时取等号，所以B符合题意；
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，C不符合题意；
又，
当且仅当，即时取等号，所以D符合题意.
13.【答案】
【解析】令，得，，
函数的图象恒过定点。
14.【答案】
【解析】由对数的换底公式，可得，
所以，所以。
15.【答案】当时，1个零点，当时，0个零点；或
【解析】令，当时，有，因为，则无解；
当时，有，得，若，则，无解；
若，则，一个解；若时，则，无解；
当时，，所以，解得，
当时，，若，则，解得且；
若，，则成立；
所以的取值范围是或，
16.【答案】10
【解析】解：令h(x)=0得g(f(x))=1，
令g(x)=1得或
解得x=0或x=e或，
作出f(x)的函数图象如图所示:
由图象可知f(x)=0有4个解，f(x)=e有两个解，有4个解，
故h(x)共有10个零点.
17.【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
18.【答案】（1）解：
（2）解：
=1
19.【答案】（1）解：∵①，
且函数为上的偶函数，为上的奇函数，
∴，
∴②，
由①②得，，
（2）解：由得：
，
∴，即，
令，则，则方程（*）只有一个大于0的根，
①当时，，满足条件；
②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，
∴，
③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则，
∴，（舍），当时，，符合题意，
综上：或．
20.【答案】（1）
.
（2）
.
21.【答案】（1）解：原式=
（2）解：；
因为，
所以，
所以
22.【答案】（1）解：因为函数与在都是增函数，
所以函数在也是增函数，
因为函数在区间内存在零点，所以解得.
所以实数m的取值范围为.
（2）解：关于x的方程有实数根等价于关于x的方程有实数根，所以存在实数x使成立.
因为（当且仅当，时取等号），
所以，
所以实数m的取值范围是.
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期末复习学案：指数函数与对数函数
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝A．
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
1．的运算结果是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．±
【答案】A
【解析】＝＝3
1．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当m<0时，没有意义，其余各式均有意义
2．若x3＝－5，则x＝________.
【答案】－
【解析】若x3＝－5，则x＝＝－.
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝eq \f(1,a)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
5．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\xtb162-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\xtb162-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HUAWEI\\Desktop\\xtb162-3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\二一教育精品资料制作\\高一数学期末\\xtb162-3.TIF" \* MERGEFORMATINET
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0，1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
【答案】A
【解析】a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A．
2．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝x D．f(x)＝x
【答案】B
【解析】设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B．
3．下列函数中，是指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x； ②y＝2x2－1； ③y＝ax； ④y＝2·3x.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．
1．(多选题)下列运算正确的是( )
A．a3·a4=a7 B．(-a2)3=a6 C．=a D．=-π
【答案】AD
【解析】a3·a4=a3+4=a7，故A正确;
(-a2)3=-a6，故B错误;
当a≥0时，=a，当a<0时，=-a，故C错误;
=-π，故D正确.
2．若2
A．5-2a B．2a-5 C．1 D．-1
【答案】C
【解析】因为20，a-3<0，所以=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1.
3．若有意义，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2 B．a≤2 C．a>2 D．a<2
【答案】C
【解析】∵(a-2，∴若(a-2有意义，则a-2>0，即a>2.
4．若=1-2a，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵=|2a-1|=1-2a，
∴2a-1≤0，即a≤.
5．函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数，则实数m的值为( )
A．2 B．1 C．3 D．2或-1
【答案】D
【解析】由指数函数的定义，得m2-m-1=1，解得m=2或-1，故选D．
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
4．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
5．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝.
【例题】
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
【答案】B
【解析】∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B．
2．计算log84＋log82等于( )
A．log86 B．8 C．6 D．1
【答案】D
【解析】log84＋log82＝log88＝1
1．已知logx16=2，则x等于( )
A．±4 B．4 C．256 D．2
【答案】B
【解析】∵logx16=2，∴x2=16.
∵x>0且x≠1，∴x=4.
2．2log510+log50.25=( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0=1与ln 1=0 B．与log8=-
C．log39=2与=3 D．log77=1与71=7
【答案】C
【解析】log39=2应转化为32=9.
4．的值等于 .
【答案】2
【解析】=2×=2×(=2×=2.
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 (1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
1．若对数函数过点(4，2)，则其解析式为________．
【答案】f(x)＝log2x
【解析】设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．
由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]
2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
【答案】(－1，＋∞)
【解析】由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
3．求下列函数的定义域：
(1)； (2).
【解析】(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；
(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.
1．函数y=ln(1-x)的图象大致为( )
【答案】C
【解析】函数的定义域为(-∞，1)，且函数在定义域上单调递减，故选C．
2．已知a=，b=log2，c=lo，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b
【答案】D
【解析】∵0lo=1，∴c>a>B．故选D．
3．已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 .
【答案】 (0，1]
【解析】函数f(x)的图象如图所示，要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点，则04．求下列函数的定义域：
（1）f(x)＝lg(x－2)＋；
（2）f(x)＝logx＋1(16－4x)．
【解析】(1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1所以函数定义域为(－1，0)∪(0，4)．
5．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0（1）求函数f(x)的定义域；
（2）若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
【解析】 (1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因为－3因为0即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
1．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
【答案】②③
2．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x B．y＝2019
C．y＝log2 019x D．y＝2 019x
【答案】A
【解析】指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A．
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y=50 B． y=1 000x C．y=2x-1 D．y=ln x
【答案】C
【解析】指数函数增长速度最快，故选C．
2．已知函数f(x)=ax，g(x)=logax(a>0，a≠1)，若f(3)g(3)>0，则f(x)与g(x)的图象为( )
【答案】B
【解析】∵f(x)=ax，g(x)=logax(a>0，a≠1)，
若f(3)g(3)>0，
∵f(3)>0，∴g(3)>0，
∴a>1，即f(x)，g(x)都为增函数.
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
1．函数y＝2x－1的零点是( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由2x－1＝0得x＝
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
【答案】2
【解析】由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
3．（1）求函数f(x)＝的零点；
（2）已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
【解析】 (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
1．函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为( )
A．(1，2) B．(2，3) C． D．
【答案】A
【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且函数f(x)单调递增，
∵f(1)=log21-1=-1<0，f(2)=log22-=1->0，
∴在区间(1，2)内，函数f(x)存在零点，故选A．
2．函数f(x)=x3-的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【答案】B
【解析】作出y=x3与y=的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个公共点，所以函数f(x)只有一个零点.故选B．
3．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
（1）f(x)＝x2＋7x＋6； （2）f(x)＝1－log2(x＋3)；
（3）f(x)＝2x－1－3； （4）f(x)＝.
【解析】 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点C．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，1] B．[－1，0] C．[0，1] D．[1，2]
【答案】A
【解析】∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2，1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
【答案】(0，0.5) f(0.25)
【解析】∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0，0.5)，故第二次应计算f(0.25)．
1．若函数f(x)=x2-4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是( )
A．(4，+∞) B．(-∞，4) C．{4} D．[4，+∞)
【答案】C
【解析】易知方程x2-4x+m=0有根，且Δ=16-4m=0，知m=4.
2．用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时，初始区间可选为( )
A．[-1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3]
【答案】C
【解析】f(-1)=-<0，f(0)=-2<0，f(1)=-1<0，f(2)=1>0，f(3)=5>0，则f(1)f(2)<0，即初始区间可选[1，2].
3．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[-2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4] B．[-2，1] C．[-2，2.5] D．[-0.5，1]
【答案】D
【解析】第二次取区间的中点x1==1，故零点所在区间为[-2，1]或[1，4];第三次取中点x1==-0.5，或x2==2.5.所以零点所在区间为[-2，-0.5]或[-0.5，1]或[1，2.5]或[2.5，4]，故选D．
1．常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
2．建立函数模型解决问题的基本过程
1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．600只 D．700只
【答案】A
【解析】将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
【答案】D
【解析】由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．
3．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值．
【解析】(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)＝－＋
即当x＝时，y取得最大值.
1．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
A． B． C．-1 D．-1
【答案】D
【解析】设月平均增长率为x，1月份的产量为a，则有a(1+x)11=7a，则1+x=，故x=-1.
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y=f(x)的图象大致是( )
【答案】D
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知ax=a(1+0.104)y，即y=log1.104x(x≥1)，所以y=f(x)的象大致为D中图象
3. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
【解析】 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
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