新人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（第二课时）

课件58张PPT。 掌握切线的判定方法，并能运用其判断直线是圆的切线. 结合切线的定义理解：“圆心到直线的距离等于圆的半径”等价于“经过半径的外端且垂直于半径”. 切线的判定
【例1】(2010·毕节中考)如图，
已知CD是△ABC中AB边上的高，以
CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点
E、F，点G是AD的中点．
求证：GE是⊙O的切线．
【思路点拨】要证明GE是⊙O的切线，则需证明OE⊥GE,利用三角形中位线的性质或全等三角形证明∠OEG=∠ODG=90°.【自主解答】方法一：连接OE,DE．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠AED=∠CED=90°……………1分
∵G是AD的中点，∴EG= AD=DG，
∴∠1=∠2.………………………3分
∵OE=OD,∴∠3=∠4.∴∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠OEG=∠ODG=90°,……………5分
∴GE是⊙O的切线．………………6分 方法二：连接OE,OG．
∵AG=GD,CO=OD，∴OG∥AC,……1分
∴∠1=∠2,∠3=∠4．
∵OC=OE,∴∠2=∠4,∴∠1=∠3．…………………………4分
又∵OE=OD，OG=OG,∴△OEG≌△ODG．……………………5分
∴∠OEG=∠ODG=90°．∴GE是⊙O的切线．………………6分 应用切线的判定定理证明直线与圆相切时，常用的辅助线的作法为：
(1)若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明垂直，即“连半径，证垂直”；
(2)若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，即“作垂直，证等径”.1.下列说法正确的是( )
(A)与圆有公共点的直线是圆的切线
(B)到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
(C)垂直于圆的半径的直线是圆的切线
(D)过圆的半径外端的直线是圆的切线
【解析】选B.根据切线的定义，只需满足直线与圆有惟一的公共点；根据切线的判定，“经过半径外端”和“与半径垂直”二者缺一不可，故选B.2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D
作DE⊥AC交AC于点E．
求证：DE是⊙O的切线.
【证明】连接OD,则OD=OB,
∴∠B=∠BDO.
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BDO=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC.
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°,即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线. 切线的三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质
【例2】(2010·济南中考)如图，AB是⊙O的
切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC
交AC于点H．若OH=2，AB=12，BO=13．
求：(1)⊙O的半径；(2)AC的值．【思路点拨】 【自主解答】(1)∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB.在
Rt△AOB中，AO= =5,∴⊙O的半径为5.
(2)∵OH⊥AC，在Rt△AOH中，AH=
又∵OH⊥AC，∴AC=2AH= 切线性质定理的应用，一般是连接切点与圆心，构造垂直关系，利用垂直关系进行证明或计算，有时也涉及到勾股定理的应用. 3.(2010·珠海中考)如图，PA、PB是
⊙O的切线，切点分别是A、B，如果
∠P＝60°,那么∠AOB等于( )
(A)60° (B)90° (C)120° (D)150°【解析】选C.因为PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，又∠P＝60°，所以∠AOB=120°.4.(2010·温州中考)如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )
【解析】选C.因为BC与⊙O相切，所以AB⊥BC，
所以 已知切线，应用切线的性质构造垂直关系进行证明或使用90°角进行相关计算时，应注意切线的性质有如下几个：①切线和圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；⑤经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.应用时要注意性质与判定的区别. 1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，DA和过点C的切线互相垂直，垂足为点D，若∠CBA=55°，则∠CAD的度数为
( )
(A)70° (B)35° (C)45° (D)60°【解析】选B.连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠CAD，又∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠CAD=∠CAO.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，且∠CBA=55°，∴∠CAO=35°，
∴∠CAD=35°.2.(2010·眉山中考)下列命题中，真命题是( )
(A)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
(B)等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
(C)圆的切线垂直于经过切点的半径
(D)垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【解析】选C.依据切线的性质判断.3.如图，点B是⊙O上一点，AO=6 cm，
AB= cm，且⊙O的半径为4 cm，则直
线AB与⊙O的位置关系是_____.
【解析】连接OB.因为AO2=AB2+BO2，所以∠ABO=90°，所以AB与⊙O相切.
答案：相切4.(2010·徐州中考)如图，在以O为圆心
的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相
切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的
半径为3 cm，则弦AB的长为_____cm.【解析】连接OC、OA.
∵AB切小圆于C,∴OC⊥AB,
∴AC=BC.
在Rt△OAC中，
= =4(cm).
∴AB=2AC=2×4=8(cm).
答案：85.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC和⊙O相切于点B，⊙O的弦AD平行于OC.
求证：DC是⊙O的切线.【证明】如图，连接OD.
∵AD∥OC，∴∠1=∠A，∠2=∠3.
又∵∠3=∠A，∴∠1=∠2.
又∵OD=OB，OC=OC，
∴△BOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，即DC切⊙O于D，DC是⊙O的切线.一、选择题（每小题4分，共12分）
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
AC交⊙O于点D，AB=6，BC=8，则BD的长为
（ ）
(A)4 (B)4.8
(C)5.2 (D)6【解析】选B.∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，
∴ ，又∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC，∴AB·BC=AC·BD，解得BD=4.8.2.（2010·三明中考）如图，在平面
直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P
与x轴相切于点Q，与y轴交于两点
M（0，2），N（0，8），则点P的坐标
是（ ）
(A)（5，3） (B)（3，5）
(C)（5，4） (D)（4，5）【解析】选D.如图，连接PQ、PM，过点P作
PA⊥MN，垂足为A，则MA=NA=3，∵⊙P与x轴
相切，∴PQ⊥OQ，
∴PQ=OA=5，在Rt△APM中，根据勾股定理可得AP=4，∴点P的坐标为（4，5）. 3.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点
于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论中
正确的个数是（ ）
①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;
③OA= AC;④DE是⊙O的切线.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【解析】选D.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
故①正确.
连接OD.∵D为BC的中点，O为AB的中点，∴OD∥AC，∴∠C=∠ODB=∠B,
∴AB=AC，即OA= AC，故③正确.
又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线，故④正确.
又∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DAB+∠B=90°，
∠OAD=∠ODA，∴∠EDA=∠B，故②正确.二、填空题（每小题4分，共12分）
4.如图所示，AB为⊙O的直径，点P为AB
延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切
线，切点为C,连接AC,∠CPA的平分线交
AC于点M,则∠CMP的度数为_____.【解析】连接OC，∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=90°,∠CMP=∠A+∠APM
∵OA=OC,∴∠COP=2∠A,
即∠A= ∠COP.
又∵PM平分∠APC,∴∠APM= ∠APC.
∴∠CMP= ∠COP+ ∠APC
= (∠COP+∠APC)= ×90°=45°
答案：45°5.如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割
线PAB交⊙O于点A、B，已知PT=4，PA=2，
则⊙O的直径为_____.
【解析】连接OT，则OT⊥PT.在Rt△PTO中，设圆的半径为R，则OP2=OT2+PT2，即(R+2)2=R2+42，解得R=3，所以⊙O的直径为6.
答案：66.如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心、BO的一半长为半径作⊙O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度_____时，与⊙O相切.【解析】分情况讨论：
(1)如图①，设BA经旋转与⊙O切于点P，连接OP，则
OP⊥BP，
又∵OP= OB,
∴∠OBP=30°,∴∠ABP=60°.
(2)如图②，同理可求得
∠OBP′=30°,∴∠ABP′=120°.
答案：60或120三、解答题（共26分）
7.（8分）（2010·赤峰中考）如图，AB是
⊙O的直径，BC是一条弦，连接OC并延长OC
至P点，并使PC=BC，∠BOC=60°.
(1)求证：PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值.【解析】（1）在△BOC中，∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°.
又∵PC=BC，∴∠CBP=∠CPB= ∠OCB=30°,
∴∠OBP=∠OBC+∠CBP=60°+30°=90°，
∴PB⊥AB.又∵AB是直径，∴PB是⊙O的切线.（2）∵OB=1，∴AB=2.
在Rt△POB中，∠CBP=30°，∴OP=2，
由勾股定理得,PB= .
设x2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2,
由题意知,x1=2，x2= ,
∴x1+x2=2+ ，x1·x2= ,
∴b=-(2+ )，c= .8.（8分）（2010·临沂中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BDE=60°，PD= ,求PA的长.【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠2=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.
∴∠PDA=∠2.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，
即∠1+∠2=90°，∴∠1+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠2=30°,∠1=60°.
∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中，设OD=x,∴x2+( )2=(2x)2，
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）,∴PA=1. 【归纳整合】在中考中，切线的性质及判定往往结合在一起进行考查，应先判定直线与圆的位置关系，再利用位置关系解题.在应用中要切实注意性质与判定的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用，性质定理是在已知相切而要推出其他的结论时使用.【拓展延伸】
9.（10分）（1）如图（1）所示，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意的一点，过点C作CD切⊙O于点D,连接AD交OC于点E，
求证：CD=CE.
（2）若将图（1）中的半径OB所在的直线向上平行移动交OA于点F，交⊙O于点B′，其他条件不变，如图（2），那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？（3）若将图（1）中的半径OB所在的直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA延长线与CF的交点，其他条件不变，如图（3），那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？【解析】（1）连接OD，则OD⊥CD，
∴∠CDE+∠ODA=90°.
在Rt△AOE中,∠AEO+∠A=90°.
在⊙O中，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA,
∴∠AEO=∠CDE，又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE.（2）CE=CD仍然成立.连接OD，在Rt△AFE中，
∠A+∠AEF=90°.
∵∠ADO+∠CDE=90°，又∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，∴∠AEF=∠CDE.
又∵∠AEF=∠DEC，
∴∠DEC=∠CDE，∴CE=CD.（3）CE=CD仍然成立.连接OD，
∠ODA+∠ADC=90°，在Rt△EAG中，
∠CEA+∠EAG=90°.又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∴∠OAD+∠ADC=90°.
又∵∠EAG=∠OAD，∴∠CEA=∠CDA，
∴CE=CD.谢谢