新人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）

课件53张PPT。 1.掌握切线长定理并能利用其进行相关的证明与计算.
2.掌握三角形内切圆的作法，理解并能应用内心的性质进行相关的证明与计算. 主体思路是根据确定圆的条件，结合切线的性质进行假设推理，找到确定圆心与半径的方法. 切线长定理及其应用
【例1】(8分)如图，PA、PB是⊙O的切线，
切点为A、B，BC为⊙O的直径，连接AB、
AC、OP.
求证：(1)∠APB=2∠ABC；
(2)AC∥OP.【规范解答】(1)∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO=∠BPO= ∠APB,PA=PB，……………………1分
∴PO⊥AB,∴∠ABP+∠BPO=90°. ……………………3分
又∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，
∴∠ABP+∠ABC=90°.…………………………………4分
∴∠ABC=∠BPO= ∠APB,
即∠APB=2∠ABC.………………………………………5分
(2)∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，
即AC⊥AB.………………………………………………6分
由(1)知PO⊥AB,∴AC∥OP.……………………………8分 切线长定理的图形结构记忆不清,不能正确找到相对应的数量关系,从而找不到正确的解题途径. 切线长定理的基本图形结构涉及到垂直关系、全等关系、等腰三角形、等弧等，是证明线段、角相等及计算的重要依据，应用的前提是理清图形结构中存在的所有关系.1.如图所示,PA、PB是⊙O的切线,且
∠APB=40°,下列说法不正确的是( )
(A)PA=PB (B)∠APO=20° (C)∠OBP=70° (D)∠AOP=70°
【解析】选C.根据切线长定理可知,A、B正确.所以∠AOP=70°,故D也正确，∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°，故C错误.2.如图所示，PA、PB是⊙O的切线,CD切
⊙O于E，若PA=4,则△PCD的周长为_____．
【解析】因为CD是⊙O的切线,PA、PB也是
⊙O的切线,所以CE=AC,DE=BD.△PCD周长为PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=(PC+AC)+(PD+BD)=2PA.又因为PA=4,所以△PCD的周长为8.
答案：8 与切线长有关的角度或线段的计算，其关键是理解图形结构中所体现的等量关系及垂直关系，并且经常与切线的性质、勾股定理等结合使用，有时也用到面积法求解. 三角形的内切圆
【例2】已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,D、E、F为切点，∠C是直角,AC=3,BC=4.求⊙O的半径.【思路点拨】【自主解答】连接OE、OF,∴∠OFC=∠OEC=90°.
又∵∠C=90°,∴四边形OECF为矩形.
又∵OF=OE,∴矩形OECF为正方形.
设⊙O的半径为r,则CE=CF=r,
又∵BE=BD,AD=AF,AB=
∴BC-r+AC-r=BD+AD=AB,
即4-r+3-r=5,∴r=1.故⊙O的半径是1. 三角形内切圆的图形结构实质是三个切线长定
理图形结构的组合，在解决此类问题时，常利用切线长定
理，借助方程、方程组模型加以解决.三角形内切圆的半径
与三角形面积的关系：三角形的面积为S△= (a+b+c)·r,
在计算直角三角形内切圆的半径时，可通过勾股定理把S△
求出来，a，b，c三边已知,代入上式可求出内切圆的半径． 3.如图,△ABC中，∠A=45°,I是内心，则∠BIC=( )
(A)112.5° (B)112° (C)125° (D)55°
【解析】选A.因为I是内心,所以
∠IBC= ∠ABC,∠ICB= ∠ACB,
所以∠BIC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-45°)
=112.5°.4.如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，试求△ABC的内切圆的半径长.【解析】设△ABC的内切圆的半径为r.
∵AB=AC,⊙I是△ABC的内切圆.∴AD⊥BC.
∵AB=AC=10，BC=12，
∴
又∵S△ABC= (AB+BC+AC)·r,
即 ×(10+10+12)×r=48,∴r=3.
则△ABC的内切圆的半径长为3. 与三角形内心有关的角度的计算，一般是连接内心和顶点，构造角平分线，结合三角形内角和进行求解. 1.(2010·巴中中考)如图所示，一块三角
形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家
休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
(A)△ABC的三条中线的交点
(B)△ABC三边的中垂线的交点
(C)△ABC三条角平分线的交点
(D)△ABC三条高所在直线的交点【解析】选C.三角形中，到三边距离相等的点在三条角平分线的交点上.2.若⊙O的切线长和半径相等，则两条切线的夹角的度数为_____.
【解析】如图，由题意知，OA=PA，
所以△POA为等腰直角三角形，所以
∠APO=45°，同理∠BPO=45°.所以
两条切线的夹角的度数为90°.
答案：90°3.(2010·孝感中考)P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B,∠APB=50°，点C为⊙O上一点(不与A、B重合)，则∠ACB的度数为_____.【解析】如图，由∠P=50°得∠AOB=180°-50°=130°.分两种情况讨论：若C在优弧上时，如图中的点C1，则∠AC1B=65°；若C在劣弧上时，如图中的点C2，由圆内接四边形的性质可知∠AC2B=180°－65°=115°.
答案：65°或115°4.为了测量一个圆形铁环的半径，某同
学利用本节所学的知识，设计了如下的
测量方案：将铁环平放在水平桌面上，
用一个含有30°角的三角尺(∠B=30°)
和一把刻度尺，按如图所示的方法放置，测得PA=6 cm，请你根据方案及测量的结果求出铁环的半径.(结果保留两个有效数字)【解析】连接AO、PO，∵AP是⊙O的切线，
∴∠OPA=90°.又∵AP、AB是⊙O的两条切线，
∠PAB=120°，由切线长定理得：∠OAP=60°.
在Rt△OAP中，∠POA=90°－60°=30°，PA=6 cm，∴OA=2PA=12 cm.
∴OP= ≈10(cm).一、选择题（每小题4分，共12分）
1.如图,AB、BC、CD分别切⊙O于E、F、G，且AB∥CD,
BO=3 cm,CO=4 cm，则BC等于（ ）
(A)5 cm (B)6 cm
(C)7 cm (D)8 cm【解析】选A.∵AB、BC为⊙O的切线,
∴OB平分∠ABC,同理OC平分∠BCD,
又∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBC+∠OCB= =90°,
∴∠BOC=180°-90°=90°,
又∵BO=3 cm,CO=4 cm,
∴ =5（cm）.2.如图所示，EB、EC是⊙O的两条
切线，B、C是切点，A、D是⊙O上
两点,如果∠E=46°，∠DCF=32°，
则∠A的度数为（ ）
（A）78° （B）99° （C）81° （D）67°【解析】选B.∵EB、EC是⊙O的两条切线，∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC，又∠E=46°，
∠E+∠EBC+∠ECB=180°,∴∠ECB=67°，
又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°，
∴∠BCD=180°-67°-32°=81°，
又∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°-81°=99°.3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD
为AB边上的高，I为△ACD的内心，则∠AIB的
度数为（ ）
（A）120° （B）125°
（C）135° （D）150°【解析】选C.连接IC，因为I是△ACD的内心，所以IA、IC分别平分∠BAC、∠ACD，由CD⊥AD，可得∠AIC=135°，又因为AB=AC，所以△ABC为轴对称图形，且对称轴经过顶角的平分线，所以∠AIB=∠AIC=135°. 【归纳整合】与三角形内切圆（内心）有关的角度的计算，主要是利用内心是三条内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理、圆周角定理、圆内接四边形性质、切线的性质等知识进行运算，如图，常利用的结论有：
∠EGF=∠BOC=90°+ ∠A,∠EDF=90°- ∠A.二、填空题（每小题4分，共12分）
4.如图，AC⊥BC于点C，BC=a,CA=b，
AB=c，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，
则⊙O的半径为_____.
【解析】连接OE、OD，则可知四边形OECD为正方形.由切线
长定理可知，2BD=AB+AC+BC=a+b+c，所以BD= ,
所以OD=CD=BD-BC= .
答案：5.（2010·黔南州中考）如图，PA、
PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∠P=40°，则∠BAC=_____.
【解析】连接OP，则由切线长定理可知∠OPB=∠OPA=20°,∴∠AOP=∠BOP=70°
即∠AOB=140°,∴∠COB=40°,∴∠BAC=20°.
答案：20° 6.如图，在平面直角坐标系中，⊙I与
x轴、y轴分别切于点D、E，I点坐标为
（-1,-1），B点坐标为（0，-4），则
直线AB的解析式为_____.【解析】由题意知，BC=BE=3，OD=OE=1，
设AD长为x，则有(x+3)2=(x+1)2+42,解得x=2.
∴A点坐标为(-3,0),
设AB的解析式为y=kx+b得
答案：三、解答题（共26分）
7.(8分)如图，AB为⊙O的直径，DA、BC分
别切半圆O于点A、B，DC切⊙O于点P，OA=6,
S四边形ABCD=90.
求四边形ABCD各边的长.【解析】过C点作CE⊥AD，垂足为E，∵AD、BC是⊙O的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴四边形ABCE为矩形，∴CE=AB=2OA=12，设BC=a，AD=b，由切线长定理可知CD=a+b，DE=b-a，∴(a+b)2=(b-a)2+122，整理得ab=36①，根据四边形的面积得：6(a+b)=90，∴a+b=15②，由①、②得a=3,b=12，∴四边形各边的长为：AB=12,BC=3,CD=15,AD=12.8.（8分）（2010·梅州中考）（1）如图1，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.求证：PA=PB.
（2）如图2，过⊙O外一点P的两条直线分别与⊙O相交于点A、B和C、D.那么当_____时，PB=PD（不添加字母符号和辅助线，不需证明，只需填上符合题意的一个条件）.【解析】（1）连接OA、OB.
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB.
∴∠OAP=∠OBP=90°
又∵OA=OB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP.∴PA=PB.
(2)∠BPO=∠DPO
(答案不惟一，如PA=PC,AB=CD)【拓展延伸】
9.（10分）如图，已知直线y= x+
4k(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A、B，
⊙O1与x轴、y轴切于点D、E,与AB切于
点C.
（1）若k=1，求⊙O1的半径；
（2）求∠AO1B的度数；
（3）连接OC、CD，当k的值发生变化时，猜想∠OCD的大小是否会发生变化，若不变，求∠OCD的大小；若发生变化，求其变化的范围.【解析】（1）连接O1D、O1E、O1C，
∵⊙O1分别与x轴、y轴、直线AB相切,
∴四边形ODO1E为正方形.
∵⊙O1的半径r=OD=OE，
又∵BC=BE，AD=AC，
∴OA+OB+AB=OD+OE=2r.
当k=1时，A、B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，4），∴由勾股定理得AB=5，2r=OA+OB+AB=3+4+5=12，
∴r=6，∴⊙O1的半径为6.(2)由切线长定理可证△AO1C≌△AO1D，△BO1C≌△BO1E,
∴∠BO1C= ∠EO1C,∠AO1C= ∠DO1C,
∠AO1B=∠BO1C+∠AO1C
= (∠EO1C+∠DO1C)=45°.（3）∠OCD的大小不发生变化，理由如下：
∵A(3k，0)，B（0，4k）,OA=3k,OB=4k，由勾股定理得AB=5k(k＞0)，由（1）知OD+OE=OA+OB+AB=12k，∴2OD=12k,OD=6k,
又OA=3k，∴AC=AD=6k-3k=3k，
∴OA=AC=AD=3k,
∴点C在以A为圆心，OD为直径的圆上.
∴∠OCD=90°.
∴∠OCD的大小不会改变，其大小为90°.