新人教版九年级上册24.1.4圆周角

课件52张PPT。 掌握圆周角定义，会判断某角是否是圆周角；掌握圆周角定理及其推论，并利用其解决问题. 掌握圆内接四边形的性质及其应用. 连接半径，构造同弧所对的圆心角，利用同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半解决问题. 圆周角定理及其推论的应用
【例1】(2010·金华中考)如图，AB是⊙O的
直径，C是 的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE
于点F．
(1)求证：CF=BF；
(2)若CD =6， AC=8，则⊙O的半径为___，CE的长是___．【思路点拨】由直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，等弧所对的圆周角相等证明角的相等进而得到线段的相等.求半径及面积时应用勾股定理及等积法.【自主解答】(1) ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
又∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠BCE=90°-∠CBE=∠A
又∵C是弧BD的中点，∴∠CBF=∠A，∴∠BCE=∠CBF,
∴ CF=BF.
(2)由(1)知：BC=CD=6，∴AB= =10，∴⊙O的半径
为5，
∵AC·BC=AB·CE,∴CE= ,∴CE的长是 . 1.在圆中的证明或计算需要使用角的相等时，一般的方法是构造同弧或等弧所对的圆周角相等，应用的关键是灵活地对角进行转换.
2.在圆中，若有直径时，构造“直径所对的圆周角是直角”是常用的添加辅助线的方法；条件中有90°的圆周角时，一般用该圆周角所对的弦表示直径.
3.在解题时注意勾股定理、垂径定理的应用.1.(2010·南昌中考)如图，⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，则下列关系中，正确的是 ( )
(A)θ=α+β (B)θ=2α+2β
(C)α+β+θ=180° (D)α+β+θ=360°
【解析】选B.连接AO，则∠BAO=∠ABO=α，∠CAO=∠ACO=β，所以∠BOC=2∠BAC，即θ=2α+2β.2.(2010·淮安中考)如图，已知点A，B，
C在⊙O上，AC∥OB，∠BOC=40°，
则∠ABO=_____．
【解析】由同弧上的圆周角等于该弧上圆心角的一半，
所以∠BAC= ∠BOC= ×40°=20°，又AC∥OB，
所以∠ABO=20°.
答案：20°3.(2010·赤峰中考)如图，AB是⊙O的一条弦，
OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于一点D，点E在⊙O上，
∠AED=25°，则∠OBA的度数是_____．
【解析】∵OD⊥AB，∴ ，∴∠BOD=2∠AED=50°，
∴∠OBA =90°-50°=40°.
答案：40° 解题的关键是把握同弧或等弧所对的圆周角、圆心角之间的倍数关系；有直径时，利用直径所对的圆周角是直角并构造直径所对的圆周角；垂径定理构造了等弧，为角的相等提供了更多的转换途径，解题时要灵活转化. 圆内接四边形
【例2】如图所示，已知圆心角∠AOB=100°,求∠ACD的度数.【思路点拨】【自主解答】如图,在优弧 上任取点E,连接AE,BE,
则∠E= ∠AOB=50°,
∴∠ACB=130°,
∴∠ACD=180°-∠ACB=50°. 圆内接四边形对角互补，结合邻补角还可以得到“圆内接四边形的外角等于与它不相邻的内对角”.计算弧所“含”的圆周角的度数，往往构造弧所对的圆周角，利用圆内接四边形的性质结合同弧所对的圆周角、圆心角之间的关系来解决.4.圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，则其最大内角的度数为_____.
【解析】根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相
等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8，又因为四边形
的内角和为360°，所以最大内角的度数为
360°× =160°.
答案：160°5.(2010·威海中考)如图，AB为⊙O的
直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，
则∠BCD的度数是_____．
【解析】连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠AOD＝30°，∴∠ABD=15°，
∴∠DAB=90°－15°=75°，∴∠BCD=180°－75°=105°.
答案：105° 涉及到圆内接四边形的度数比的问题，一般是根据圆内接四边形的性质，求出所有内角的比值，应用比例性质或结合方程的思想来解决.解题时注意圆周角定理及其推论的灵活应用. 1.(2010·清远中考)下列各图中，∠1=∠2的是( )
【解析】选D.同弧所对的圆周角相等.2.圆内接平行四边形一定是( )
(A)矩形 (B) 正方形 (C) 菱形 (D)梯形
【解析】选A.由圆内接四边形的对角互补及平行四边形对角相等得，四边形的四个角都是直角，故选A.3.如图,AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上
的点，则∠C+∠D=_____.
【解析】连接AE、BE，则∠C=∠EBA，
∠D=∠EAB，又∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，∴∠C+∠D=90°.
答案：90°4.(2010·娄底中考)如图，在半径为R的⊙O
中，弦AB的长与半径R相等，C是优弧 上一
点，则∠ACB的度数是_____.
【解析】连接OA、OB，∵弦AB的长与半径R相等，∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，∴∠ACB=30°.
答案：30°一、选择题（每小题4分，共12分）
1.（2010 ·贵阳中考）如图，AB是⊙O的
直径，C是⊙O上的一点，若AC=8，AB=10，
OD⊥BC于点D，则BD的长为（ ）
（A）1.5 （B）3 （C）5 （D）6 【解析】选B.∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，在Rt△ABC
中，BC= ，
又∵OD⊥BC∴BD= BC=3.2.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为
60°的直角三角板ABC的一条直角边BC
放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，
点B与点O重合；将三角板ABC沿OE方向平移，直到点B与点E重合为止，设∠POF=x°，则x的取值范围是（ ）
(A)30≤x≤60 (B)30≤x≤90
(C)30≤x≤120 (D)60≤x≤120【解析】选A.由题意知，三角板从O向E移动时，∠POF逐渐增大，当点B在圆心的位置时，∠POF=30°，当点B与E重合时，由圆心角、圆周角之间的关系可得∠POF=60°，故选A.3.已知点A、B、C在半径为2 cm的⊙O上，若BC=2 cm,则
∠A的度数为（ ）
（A）60° （B）120° （C）60°或120° （D）30°【解析】选C.当点A在弦BC所对的优弧上时，如图1，连接BO并延长交⊙O于D，连接CD,OC,则BD=4 cm.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°.
在Rt△BCD中，
又∵OD=OC=2cm,∴△OCD为等边三角形.
∴∠D=60°.
根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝60°.当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图2，
由前面的方法，可得∠D=60°,
∴∠A=120°.
∴∠A的度数是60°或120°.二、填空题（每小题4分，共12分）
4.（2010 ·成都中考）如图，在△ABC中，
AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则
∠BOD的度数是____度．
【解析】∠A=180°－60°－70°=50°，
所以∠BOD=2∠A=100°.
答案：1005.（2010·南宁中考）如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB,OD平分∠BOC，交半圆于点D,AD交OC于点E，则∠AEO的度数是_____°.
【解析】∵OC⊥AB,OD平分∠BOC，
∴∠BOD=45°，∴∠EAO=22.5°，
∴∠AEO=67.5°.
答案：67.56.如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若AB=2，∠CBA=15°，则CD的长为_____．【解析】如图，连接BD、AD、OD，过O点作OE⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，且CD平分∠ACB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD= AB=1,
∠ODA=45°，∠CDA=∠CBA=15°，
∴∠ODE=45°－15°=30°，
∴OE= ,DE= ,∴CD=2DE= .
答案： 【归纳整合】构造直径所对的圆周角是解决与圆相关的问题时常用的辅助线，为勾股定理、垂径定理等知识的应用创造了条件；利用圆周角的性质解题，一般有两种转化方式：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是角的相等转化为线段（弦）的相等.三、解答题（共26分）
7.(8分)如图所示,⊙O的直径AC=2,∠BAD=75°,∠ACD=45°,则四边形ABCD的周长和面积各为多少?(结果取准确值)【解析】∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-75°=105°,
∴∠BCA=105°-45°=60°.
又∵AC为⊙O的直径,∴∠B=∠D=90°,
∴∠BAC=30°,∠CAD=45°.
在Rt△ABC中,BC= AC=1,AB=
在Rt△ACD中,CD=AD= AC= ,
∴四边形ABCD的周长为:
面积为:8.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF．【证明】（1）连接DF，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点,
∴BD=DC= AB,
∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC,
∴BF=FC，即F是BC的中点．
（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC,∴∠A=∠BDF，
∵∠BDF=∠GEF，∴∠A=∠GEF.【拓展延伸】
9.（10分）如图1所示,已知AB是⊙O的一条弦,点C为 的中
点,CD是⊙O的直径,过C点的直线l交AB所在直线于点E,交⊙O
于点F,
（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系,并写出结论.
（2）将直线l绕C点旋转(l与CD不重合),在旋转过程中,E点、
F点的位置也随之变化,请你在下面两个备用图中分别画出l
在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标上相应的字
母,选其中一个图形给予证明.【解析】(1)∠CEB=∠FDC.理由:∵C为 的中点,∴CD⊥AB,
∴∠CEB+∠ECD=90°,又∵CD是⊙O的直径,
∴∠FDC+∠ECD=90°,∴∠CEB=∠FDC.
(2)可以画出直线l经过A点及其他情形时的图形,见图2、图3、图4.对于图2、图3、图4的证明可仿(1)进行,对于图4的证明如下：
∵点C是 的中点,
∴CD⊥AB,∴∠CEB+∠ECD=90°,
又∵CD是⊙O的直径,∴∠CFD=90°,
∴∠FDC+∠ECD=90°,∴∠CEB=∠FDC.