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16.1二次根式（1）教案
课题 16.1二次根式（1） 单元 第16单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件，会求含字母的二次根式中字母的取值范围；3.会对简单二次根式进行求值．
重点 掌握二次根式有意义的条件，会求含字母的二次根式中字母的取值范围；
难点 会利用二次根式的非负性解决相关问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1.什么是一个数的平方根？如何表示呢？答案：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(也叫二次方根).即：x2＝a，那么x叫做a的平方根21教育网注意：正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.问题1：用带有根号的式子填空：(1)面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．(2)一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所 ( http: / / www.21cnjy.com )用的时间 t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系 h ＝5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则_____．答案：； ；；问题2：想一想：这些结果：； ；；有什么特点呢？答案：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根．归纳：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 思考自议考虑以下三个方面：(1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)分式的分母不等于零；(3)零指数幂和负整数指数幂的底数不能等于零． 在判断被开方数是否是非负数时，不要只看其表面的符号，要充分利用实数运算中的符号去判断，看其实质到底是什么数．
讲授新课 提炼概念结合已学知识，说一说你对二次根式的认识.答案：1.表示a的算术平方根；2. a可以是数，也可以是式 ；3.形式上含有二次根号；4.(双非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果．三、典例精讲 例1：当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？解：要使在实数范围有意义，则 x－2≥0，∴ x≥2．答：当x≥2时，在实数范围内有意义．思考1：当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？解：∵当x为任意实数时，x2总是一个非负数∴x为任意实数时，都有意义.当x≥0时，有意义.思考2：求下列二次根式中字母的取值范围： (1)二次根式与二次根式的值是两个不同的概念．(2)二次根式的值也是一种代数式的值，求值方法与其他代数式的求值方法相同． 二次根式与实际生活联系紧密，很多实际问题的解需要用二次根式来表示，实际操作时往往要借助勾股定理、面积公式求解．
课堂检测 四、巩固训练 1.下列式子：①；②；③；④(a≠－3)；⑤；⑥(x＜0)；⑦，其中是二次根式的有________(填序号)．①③⑥【点悟】在判断被开方数是否是非负数时，不要只看其表面的符号，要充分利用实数运算中的符号去判断，看其实质到底是什么数．2.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）；(2)；(3)；(4)；(5).解：(1)由－x≥0，得x≤0，∴当x≤0时，在实数范围内有意义；(2)由3－2x≥0，得x≤，∴当x≤时，在实数范围内有意义；(3)∵(x－3)2≥0，∴当x为任何实数时，在实数范围内都有意义；(4)由≥0，即3x－6＞0，得x＞2，∴当x＞2时，在实数范围内有意义；(5)由x＋4≥0且x－3≠0，得x≥－4且x≠3，∴当x≥－4且x≠3时，在实数范围内有意义．【点悟】解此类问题一般应考虑以下三个方面：(1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)分式的分母不等于零；(3)零指数幂和负整数指数幂的底数不能等于零．3.若二次根式 的值为3，求x的值.解： 由题意得:两边同时平方得:4.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.（1）把这个公式变形成用 h表示t的公式（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）
课堂小结 1．二次根式的概念二次根式：像 (a≥0)这样表示________________的代数式叫做二次根式．注意：(1)＋1这类代数式只能称为含二次根式的代数式，不能称之为二次根式；(2)对于x2＋2x＋这类代数式，应把，这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式；(3)二次根式与平方根的关系：①形式上都是开二次方(二次方根)；②被开方数是一个数或代数式．2．二次根式有意义的条件 条件：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数____________________．（大于或等于零） 方法：根据二次根式的定义列不等式(或不等式组)求解． 易漏点：把二次根式中a的取值范围写成a＞0，而漏掉a＝0. 拓展：求字母的取值范围是指求字母满足题目要求的条件，一般可分为两种类型思考：一类是求字母所在的式子有意义时字母满足的条件；另一类是求使字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件．
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16.1二次根式（1）学案
课题 16.1二次根式（1） 单元 第16单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件，会求含字母的二次根式中字母的取值范围；3.会对简单二次根式进行求值．
重点 掌握二次根式有意义的条件，会求含字母的二次根式中字母的取值范围；
难点 会利用二次根式的非负性解决相关问题.
教学过程
导入新课 【引入思考】1、什么叫做平方根？2、平方根的性质有哪些？1.理解二次根式的概念2.找出二次根式有意义的条件3.二次根式的双重非负性是什么？用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：⑴ 面积为3的正方形的边长为__________________，面积为S的正方形的边长为__________________，⑵ 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m；⑶ 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位： m)满足关系h＝5t2。如果用含有h的式子表示t，则t＝__________ 。你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
新知讲解 提炼概念 归纳：二次根式的定义像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称______．因此，一般地，我们把形如（a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为_______．典例精讲 例1、当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 思考1：当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？思考2：求下列二次根式中字母的取值范围：
课堂练习 巩固训练1.下列式子：①；②；③；④(a≠－3)；⑤；⑥(x＜0)；⑦，其中是二次根式的有________(填序号)．2.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）；(2)；(3)；(4)；(5).3.若二次根式 的值为3，求x的值.4.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.（1）把这个公式变形成用 h表示t的公式（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒） 答案引入思考1.什么是一个数的平方根？如何表示呢？答案：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(也叫二次方根).即：x2＝a，那么x叫做a的平方根21教育网 问题1答案：； ；；问题2答案：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根．提炼概念归纳：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．典例精讲 例1解：要使在实数范围有意义，则 x－2≥0，∴ x≥2．答：当x≥2时，在实数范围内有意义．思考1解：∵当x为任意实数时，x2总是一个非负数∴x为任意实数时，都有意义.当x≥0时，有意义.思考2巩固训练1.①③⑥2.解：(1)由－x≥0，得x≤0，∴当x≤0时，在实数范围内有意义；(2)由3－2x≥0，得x≤，∴当x≤时，在实数范围内有意义；(3)∵(x－3)2≥0，∴当x为任何实数时，在实数范围内都有意义；(4)由≥0，即3x－6＞0，得x＞2，∴当x＞2时，在实数范围内有意义；(5)由x＋4≥0且x－3≠0，得x≥－4且x≠3，∴当x≥－4且x≠3时，在实数范围内有意义．3.解： 由题意得:两边同时平方得:4.
课堂小结 小1．二次根式的概念二次根式：像 (a≥0)这样表示________________的代数式叫做二次根式．注意：(1)＋1这类代数式只能称为含二次根式的代数式，不能称之为二次根式；(2)对于x2＋2x＋这类代数式，应把，这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式；(3)二次根式与平方根的关系：①形式上都是开二次方(二次方根)；②被开方数是一个数或代数式．2．二次根式有意义的条件 条件：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数____________________．（大于或等于零） 方法：根据二次根式的定义列不等式(或不等式组)求解． 易漏点：把二次根式中a的取值范围写成a＞0，而漏掉a＝0. 拓展：求字母的取值范围是指求字母满足题目要求的条件，一般可分为两种类型思考：一类是求字母所在的式子有意义时字母满足的条件；另一类是求使字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件．
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人教版 八年级下
16.1二次根式（1）
新知导入
情境引入
回顾：什么是一个数的平方根？如何表示呢？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）.即：x2＝a，那么x叫做a的平方根。
注意：正数有两个平方根,它们互为相反数;
0的平方根是0；
负数没有平方根.
新知导入
合作学习
用带有根号的式子填空：
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 _____．
想一想：这些结果有什么特点呢？
都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
结合已学知识，说一说你对二次根式 的认识.
1. 表示a的算术平方根；
2. a可以是数，也可以是式 ；
3. 形式上含有二次根号 ；
4. （双非负性）；
5. 既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
提炼概念
解：要使 在实数范围有意义，
则 x－2≥0，
∴ x≥2．
例1：当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
典例精讲
解：∵当x为任意实数时，x2总是一个非负数
∴x为任意实数时， 都有意义.
当x≥0时， 有意义.
思考1：当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
思考1
思考2
新知讲解
求下列二次根式中字母的取值范围：
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零.
二次根式有意义的条件
条件：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数____________________．
方法：根据二次根式的定义列不等式(或不等式组)求解．
拓展：求字母的取值范围是指求字母满足题目要求的条件，一般可分为两种类型思考：一类是求字母所在的式子有意义时字母满足的条件；另一类是求使字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件．
大于或等于零
归纳概念
课堂练习
【点悟】在判断被开方数是否是非负数时，不要只看其表面的符号，要充分利用实数运算中的符号去判断，看其实质到底是什么数．
2.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
【点悟】解此类问题一般应考虑以下三个方面：
(1)二次根式的被开方数大于或等于零；
(2)分式的分母不等于零；
(3)零指数幂和负整数指数幂的底数不能等于零．
3.若二次根式 的值为3，求x的值.
解：
由题意得:
两边同时平方得:
4.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.
（1）把这个公式变形成用 h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）
课堂总结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
作业布置
教材课后配套作业题。
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