初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质本节综合与测试（word版含答案）

人教版数学九年级上册《24.1 圆的有关性质》练习
一 、单选题（本大题共16小题，共48分）
1.下列图形中的边长或半径为无理数的是
A. 面积为的正方形的边长 B. 面积为的正方形的边长
C. 周长为的圆的半径 D. 周长为的圆的半径
2.有一个圆的半径为，则该圆的弦长不可能是
A. B. C. D.
3.下列命题中，正确的个数是
直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；
半径相等的两个圆是等圆；一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.对于下列轴对称图形，判断正确的是
A. 等腰三角形有条对称轴 B. 等边三角形有条对称轴
C. 正方形有条对称轴 D. 圆有条对称轴
5.为的直径，弦于点，已知，，则的直径为
A. B. C. D.
6.如图，在中，点，在圆上，，弦的长度为，则半径的长度为
A. B. C. D.
7.如图，是的直径，是弦，交于点，交于点，若，，则的半径是
A. B. C. D.
8.如图，网格中的小正方形边长都是，则以为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形面积等于
A. B. C. D.
9.下列命题是真命题的是
A. 相等的弦所对的弧相等
B. 圆心角相等，其所对的弦相等
C. 在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D. 弦相等，它所对的圆心角相等
10.如图，四边形内接于半圆，为直径，，，则弦的长为
A. B. C. D.
11.如图，四边形内接于，平分，则下列结论正确的是




A. B.
C. D.
12.如图，半径为的的弦，且于，连结、，若，则半径的长为
A. B. C. D.
13.如图，在中，于，则的大小是
A. B. C. D.
14.如图，四边形内接于，若，则的度数为
A. B. C. D.
15.如从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是
A. B.
C. D.
16.如图，为的直径，为延长线上的一点，在上不与点，点重合，连结交于点，且设，，下列说法正确的是
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
17.为检测一种铁球的大小是否符合要求，设计一种工件槽，槽的两个底角均为，尺寸如图单位：若图中的铁球是合格的，请根据图中的数据求这个铁球的直径______
18.如图，是的直径，，则的度数是______.
19.如图，是的直径，弦于点，，，则的半径______.
20.如图是两个半圆，点为大半圆的圆心，平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且，则图中阴影部分的面积是______.
21.如图，是的弦，，，则的度数是 ______.
三 、解答题（本大题共5小题，共40分）
22.如图，是的直径，点在的延长线上，，交于点，且
求的度数．
求的度数．
23.如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度长为米，桥离水面最大距离为米，若有一条水面上宽度为米，高度为米的船能否通过这座桥？请说明理由．
24.如图，在直角中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
若，求弧的度数；
若，，求的长．

25.如图，在中，、是两条互相垂直的弦，垂足为点，为的中点，连接并延长交于点
求证：；
求证：
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：、面积为的正方形的边长为，是有理数，不符合题意；
、面积为的正方形的边长为，是无理数，符合题意；
、周长为的圆的半径为，是有理数，不符合题意；
、周长为的圆的半径为，是有理数，不符合题意．
故选：
根据正方形的面积公式，圆的周长、面积公式进行解答．
此题主要考查了圆的认识，无理数，解答该题的关键是掌握正方形的面积公式，圆的周长、面积公式，属于基础题．
2.【答案】D;
【解析】解：一个圆的半径为，
圆中最长的弦是，
弦长不可能为，
故选：
根据直径是圆中最长的弦，判断即可．
此题主要考查圆的认识，解答该题的关键是理解圆中最长的弦是直径．
3.【答案】C;
【解析】解：当弦为直径时，不会把圆分成一段优弧一段劣弧，
为假命题
而、、均正确
故选：
中忽略了直径平分圆的情况，所以为假命题，而前三个都正确．
此题主要考查了圆的认识，注意命题真假的判断．
4.【答案】B;
【解析】解：、等腰三角形有条或条对称轴，不符合题意；
、等边三角形有条对称轴，符合题意；
、正方形有条对称轴，不符合题意；
、圆有无数条对称轴，不符合题意．
故选：
根据轴对称图形的概念分别得出对称轴的条数进而求解．
此题主要考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
5.【答案】D;
【解析】解：连接，
为的直径，弦于点，，
，，
在中，由勾股定理得：，
所以的直径为，
故选：
连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
此题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
6.【答案】B;
【解析】解：过作于，
则，，
弦的长度为，
，
，，
，
，
，
，
解得，
故选：
过作于，根据垂径定理得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
此题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
7.【答案】C;
【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径为，
故选：
由圆周角定理得，再证，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．
8.【答案】A;
【解析】解：由题意，，，
，
故选：
弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．
此题主要考查扇形的面积，三角形的面积等知识，解答该题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积．
9.【答案】C;
【解析】解：、、结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以、、错误；
故选：
根据圆心角、弧、弦的关系对各个命题进行分析，从而得到答案．
此题主要考查了圆心角、弧、弦的相等关系：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
圆心角、劣弧、弦的不等量关系：在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的劣弧、弦、弦的弦心距不等，圆心角的所对的劣弧大，所对的弦大，所对的弦的弦心距反而小．
需注意的是“在同圆或等圆中”的前提条件不能丢．
10.【答案】A;
【解析】解：如图，连、，过作于
，

，
，
，

，
，

故选：
根据勾股定理即可求得的长，求得的值，进而求得的值，根据勾股定理即可求得的值，即可解题．
此题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的求值，考查了根据余弦值求对应边的值．
11.【答案】B;
【解析】
该题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．

解：与的大小关系不确定，
与不一定相等，故本选项错误；
B.平分，
，
，故本选项正确；
C.与的大小关系不确定，
和不一定相等，故本选项错误；
D.与的大小关系不确定，故本选项错误．
故选B．

12.【答案】A;
【解析】解：弦，
，
，
，
；
连接，，

，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由弦，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定；连接，，由，，可求得，继而可得是等腰直角三角形，则可求得，可解答．
该题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13.【答案】C;
【解析】解：是直径，
，
，
，
故选：
证明，再求出，可得结论．
此题主要考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解答该题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
14.【答案】D;
【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
故选：
根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
此题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解答该题的关键．
15.【答案】C;
【解析】解：直径所对的圆周角等于直角，
从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是
故选：
根据圆周角定理直径所对的圆周角是直角求解，即可求得答案．
此题主要考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】B;
【解析】解：如图，连接，

，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：
连接，首先证明，再一一判断即可．
此题主要考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角的性质等知识，解答该题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
17.【答案】20;
【解析】解：如图作辅助线；
由题意可设圆的半径为厘米，，
为直角三角形

解得厘米
所以这个铁球的直径为厘米．
作辅助线连接工件槽的两个顶点，过圆心作垂直，利用三角形知识求解即可．
此题主要考查了圆的认识，做题时注意三角形知识的利用．
18.【答案】40°．;
【解析】解：，
，
，
，

故答案为：
由于，所以，是的外角，所以
此题主要考查了圆的认识和三角形的外角性质，解答该题的关键是利用半径相等这一隐含条件，得到等角，再利用外角的性质解答．
19.【答案】;
【解析】解：弦于点，，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
故答案为：
由垂径定理得，设，则，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
此题主要考查了垂径定理、勾股定理．熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．
20.【答案】72π;
【解析】解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连，
过作于点，则，
是大半圆的弦且与小半圆相切，
为小圆的半径，





故答案为
将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，连，过作于点，根据垂径定理得，根据切线的性质得为小圆的半径，而，利用圆的面积公式得到，利用勾股定理即可计算出阴影部分的面积．
此题主要考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了垂径定理、切线的性质、勾股定理以及圆的面积公式．
21.【答案】35°;
【解析】解：如图，与交于点，

，
，
，
，
是的弦，，
，
又点在上，

故答案为：
根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，利用垂径定理可求出的度数，再利用圆周角定理即可求出的度数．
此题主要考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理及圆周角定理，求出的度数是解答该题的关键．
22.【答案】解：（1）连OB，如图，
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠AOB=∠1=∠A=20°；

（2）∵∠2=∠A+∠1，
∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠2=∠E，
∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．;
【解析】
由得到，则；
，因此，即可求出
此题主要考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解答该题的关键是能从图形中发现每个角之间的关系．.
23.【答案】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，
在Rt△AOD中，=202+（r-10）2，
解得r=25，
∴OD=r-10=15，
在Rt△OEG中，=152+OG2，
解得OG=20，
∴可以通过的船的高度为GD=OG-OD=20-15=5，
∵6＞5，
∴船不能通过．;
【解析】
先恢复弧形桥所在的圆，求出圆的半径，再根据船的宽度求出可以通过的船的最高高度，就可以判断能否通过．
此题主要考查垂径定理问题，恢复弧形所在的圆，构造直角三角形利用勾股定理求出圆的直径是解题突破口，也是解答该题的关键．数学建模思想的应用．
24.【答案】解：连接，

，
，
，
，
，

的度数为；
延长交与点，
，，，
，．
与均是的割线，
，
即，
解得，
．

;
【解析】该题考查了勾股定理，割线定理圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案；
根据勾股定理求出，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．

25.【答案】证明：（1）∵AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∵AF=FD，
∴EF=AD=AF．

（2）∵EF=AF，
∴∠A=∠AEF，
∵∠A=∠C，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AEF+∠FED=90°，∠FED=∠CEG，
∴∠C+∠CEG=90°，
∴∠CGE=90°，
∴EF⊥BC．;
【解析】
利用直角三角形斜边中线的性质证明即可．
想办法证明，可得结论．
此题主要考查圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解答该题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质，属于中考常考题型．