人教版数学九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系练习（word版含解析）

人教版数学九年级上册《24.2 点和圆、直线和圆的位置关系》练习
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 无法确定
2.的半径为，圆心到点的距离为，则点与的位置关系是
A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定
3.如图，内接于，，是边的中点，连接并延长，交于点，连接，则的度数为
A. B. C. D.
4.有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是
A. B. C. D.
6.如图，内接于，，交 于点，连接，则的度数为
A. B. C. D.
7.已知是经过圆心的直线，为上的任意一点，则点关于直线的对称点与的位置关系是
A. 点在内 B. 点在外
C. 点在上 D. 无法确定
8.如图，PM，PN分别与☉O相切于A，B两点，C为⊙O上一点，连接AC，BC.若∠P=60°，∠MAC=75°，AC=+1，则⊙O的半径是（ ）
A
A. B. C. D.
9.如图，是的切线，为切点，连接交于点，点在上，且，则等于
A. B. C. D.
10.如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点若，则的度数为
A. B. C. D.
11.如图，在中，，以的中点为圆心的分别与，相切于，两点，则的长为
A. B. C. D.
12.如图，等腰中，，动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为，以点为圆心，长为半径的与交于另一点，连接当直线与相切时，的取值是
A. B. C. D.
13.如图，是半圆的直径，以为圆心，长为半径的半圆交于，两点，弦切小半圆于点已知，，则图中阴影部分的面积是
A. B. C. D.
14.如图，与直线相离，圆心到直线的距离，，将直线绕点逆时针旋转后得到的直线刚好与相切于点，则
A. B. C. D.
15.如图，在矩形中，，，、、超分别与相切于点、、，过点作的切线交于点，切点为，则的长为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共6小题，共18分）
16.如图，点是的外心，，，垂足分别为、，点、分别是、的中点，连接，若，则______.
17.小明家装修时留有一个菱形区域需铺瓷砖，其中有两根大小一样的圆形排水管如图，整个图形既是中心对称图形也是轴对称图形，按规定切出菱形瓷砖，并在这块瓷砖上挖出两个圆．经测量发现，，点到左圆的最近距离，到左圆最近距离，且圆的半径均为，则两个圆的圆心相距 ______
18.将三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点在半圆上，已知点，的读数分别为，，那么的大小为 ______.
19.如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，则______.
20.若三角形的面积是，周长是，则这个三角形内切圆的半径______
21.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的圆形内切圆直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是 ______步．
三 、解答题（本大题共5小题，共40分）
22.如图，是等腰三角形底边的中点，过点、、作
求证：是的直径；
延长交于点，连接，求证：
23.如图，城市的正北方向千米的处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为千米，是一条直达城的公路，从城发往城的班车速度为千米小时．
当班车从城出发开往城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？离发射塔越近，信号越强
班车从城到城共行驶小时，请你判断到城后还能接收到信号吗？请说明理由．
24.如图，是的内接三角形，直径交于点，且延长使，连接
求证：直线是的切线；
若，，求的半径
25.如图，的三个顶点在上，且；过点作交的反
向延长线于点
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．
26.如图，在中；，是的切线，切点为点，直线交于点，，且
求证：是直角三角形；
当时，求的长度．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
2.【答案】A;
【解析】解：的半径为，圆心到点的距离为，
圆心到点的距离大于圆的半径，
点在外．
故选：
直接根据点与圆的位置关系的判断方法求解．
此题主要考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内
3.【答案】C;
【解析】解：连接、，
由圆周角定理得：，
是边的中点，
，
，
，
，
故选：
连接、，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，进而求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
此题主要考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解答该题的关键．
4.【答案】A;
【解析】解：①半径不是弦，本小题说法是假命题；
②任意三角形都有且只有一个外接圆，本小题说法是真命题；
③平分弦不是直径的直径垂直于这条弦，本小题说法是假命题；
④半圆所对的圆周角是，本小题说法是真命题；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本小题说法是假命题；
故选：
根据半径的定义、三角形的外接圆、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可．
此题主要考查了半径的定义、三角形的外接圆、垂径定理的推论、圆周角定理，熟练掌握圆的有关概念是解答该题的关键．
5.【答案】D;
【解析】解：过点作于，
则，
由圆周角定理得：，
，
，
的长，
故选：
过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算，得到答案．
此题主要考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解答该题的关键．
6.【答案】B;
【解析】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
故选：
连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
7.【答案】C;
【解析】解：圆是轴对称图形，经过圆心的直线是对称轴，
点关于的对称点在上，
故选：
根据圆是轴对称图形、点与圆的位置关系判断即可．
此题主要考查的是点与圆的位置关系，正确理解圆是轴对称图形是解答该题的关键．
8.【答案】A;
【解析】解：连接OA、OC，过A点作AH⊥OC于H，如图，
设⊙O的半径为r，
∵PM与☉O相切于A点，
∴OA⊥PM，
∴∠OAM=90°，
∵∠MAC=75°，
∴∠OAC=15°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=15°，
∴∠AOH=30°，
在Rt△AOH中，AH=OA=r，OH=AH=r，
在Rt△ACH中，，解得，
即⊙O的半径为.
故选：A.
9.【答案】B;
【解析】解：连接，
，
，
是的切线，
，
，
故选：
连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
10.【答案】B;
【解析】解：连接，
切于，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质求出，求出，求出，根据三角形的外角性质求出即可．
该题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．
11.【答案】B;
【解析】解：连接、、，如图，
分别与，相切于，两点，
，，
而，，
四边形为正方形，
，
点为的中点，
，
，
的长
故选：
连接、、，如图，根据切线的性质得，，则可判断四边形为正方形，所以，再根据斜边上的中线性质得到，接着根据正方形的性质计算出的长，然后根据弧长公式计算．
此题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式．
12.【答案】A;
【解析】解：作于，如图，，，
，
，
当，直线与相切，则，
，
∽，
，即，解得．
故选：．
作于，如图，利用等腰三角形的性质得，利用切线的判定方法，当，直线与相切，则，然后利用∽，通过相似比可求出的值．
该题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
13.【答案】A;
【解析】解：连接、，如图，
弦切小半圆于点，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积


故选：
14.【答案】B;
【解析】
解：在中，，
，
直线绕点逆时针旋转后得到的直线刚好与相切于点，
，，
，
在中，
故选：

15.【答案】B;
【解析】解：连接，，，，
在矩形中，
，，
，，分别与相切于，，三点，
，
四边形，是正方形，
，
，
是的切线，
，，
，
在中，，
，
，

故选：
连接，，，，在矩形中，得到，，由于，，分别与相切于，，三点，得到，推出四边形，是正方形，得到，由勾股定理列方程即可求出结果．
此题主要考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
16.【答案】1.5;
【解析】解：连接，如图，

点是的外心，
是三边垂直平分线的交点，
，，
为的中点，为的中点，
是的中位线，

点、分别是、的中点，
是的中位线．

故答案为：
连接，利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点，得到为的中点，为的中点，利用三角形的 中位线定理即可求得结论．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，充分利用外心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答该题的关键．
17.【答案】;
【解析】解：设左边的圆的圆心为，连接，，连接，交于点

，，，
，，
在中，，
四边形是菱形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
根据对称性可知，两个圆的圆心相距，
故答案为：
设左边的圆的圆心为，连接，，连接，交于点利用相似三角形的性质求出，可得结论．
此题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解答该题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
18.【答案】15°;
【解析】解：连接，，由题意得：，
，
，
故答案为：
连接，，根据题意确定出的度数，利用圆周角定理即可求出的度数．
此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
19.【答案】;
【解析】解：设，
直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，
，
，
，
在中，
，
解得
故答案为：
设，根据内切圆的性质分别表示出、、的长度，再根据勾股定理建立等量关系的方程求解即可．
此题主要考查了内切圆的性质，解答该题的关键在于巧设，利用勾股定理构造方程．
20.【答案】2;
【解析】解：设这个三角形的内切圆的半径是，则，
解得：
故答案是：
根据三角形的面积三角形的周长内切圆的半径，即可求解．
此题主要考查了三角形的内切圆，理解三角形的面积三角形的周长内切圆的半径是关键．
21.【答案】6;
【解析】解：如图，在中，，，，

，
，
设内切圆的圆心为，分别连接圆心和三个切点，及、、，
设内切圆的半径为，
，
，解得，
内切圆的直径为步，
故答案为
由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为，利用面积相等可得到关于的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径．
此题主要考查三角形的内切圆，连接圆心和切点，把三角形的面积分成三个三个角形的面积得到关于的方程是解答该题的关键．
22.【答案】（1）证明：连接BD，
∵BA=BC，AD=DC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴AB是⊙O的直径；
（2）证明：∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
由圆周角定理得，∠A=∠E，
∴∠C=∠E，
∴DC=DE．;
【解析】
连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据圆周角定理证明结论；
根据等腰三角形的性质、圆周角定理以及等量代换证明即可．
此题主要考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理和等腰三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半以及等腰三角形的三线合一是解答该题的关键．
23.【答案】解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，
设班车行驶了0.5小时的时候到达M点．根据此时接受信号最强，则BM⊥AC，又AM=30千米，AB=50千米．
所以BM=40千米．
答：车到发射塔的距离是40千米．

（2）连接BC，
∵AC=60×2=120（千米），AM=30千米，
∴CM=AC-AM=90（千米），
∴BC==10＜100．
答：到C城能接到信号．;
【解析】
根据路程速度时间求得班车行驶了小时的路程，再根据勾股定理就可得到班车到发射塔的距离．
根据勾股定理求得的长，再根据有效半径进行分析．
能够正确理解题意，熟练运用勾股定理进行计算．
24.【答案】（1）证明：∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵BM=EB，
∴AB=BM，
∴∠BAM=∠M，
∵∠M+∠BAM+∠BAE+∠BEA=180°，
∴∠BAM+∠BAE=90°，
即∠MAC=90°，
∴OA⊥AM，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AM是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
由（1）知∠MAC=90°，
∴∠ABC=∠MAC，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴△ABC∽△EAM，
∴∠C=∠M，=，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠M，
∴AM=AD，
∵AD=12，
∴AM=12，
∵AB=，
∴EM=2AB=15，
在Rt△AME中，
AE===9，
∴=，
∴AC=，
∴⊙O的半径r=．;
25.【答案】（1）证明：如图，连接OA，
∵AB=AC，
∴BC⊥OA，
∵AD∥BC，
∴AD⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如图，设OA与BC交于E，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBO，
∵∠D=∠C，
∴AC∥OD，
∴∠C=∠CBO，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠CBO，
∵OA⊥BC，
∴BA=BO，
∵AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∵BC=12，
∴BE=BC=6，
∴OB=OA==4，
∵∠OAD=90°，∠AOB=60°，
∴∠D=30°，
∴AD=OA=12，
∴图中阴影部分的面积=S△ADO-S扇形AOB=×12×4-=24-8π．;
26.【答案】（1）证明：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵CF=AC，，
∴CD=CF=AC，
∴∠A=30°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠BCD=∠BCF=60°，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（SAS），
∴∠BFC=∠BDC=90°，
∴△ABF是直角三角形；
（2）解：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD=BF，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=6，
∴CD=AC=3，
∴AD=CD=3，
∴BF=3．;
【解析】
连接，根据切线的性质得到，根据，得出，进而求出的度数，证明，可得，证明结论；
根据含度的直角三角形的性质求出，根据，求出的长．
此题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、含度的直角三角形的性质是解答该题的关键．