初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆（word版含答案）

人教版数学九年级上册《24.3 正多边形和圆》练习
一 、单选题（本大题共15小题，共45分）
1.正六边形的边心距与半径之比为
A. ： B. ： C. ： D. ：
2.如图，正六边形内接于，为的中点，连接，若的半径为，则的长度为
A. B. C. D.
3.如图，正六边形 的中心与坐标原点重合，其中．将六边形 绕原点按顺时针方向旋转次，每次旋转，则旋转后点的对应点的坐标是
A. B. C. D.
4.已知正方形和正六边形边长均为，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；在这样连续次旋转的过程中，点，间的距离可能是
A. B. C. D.
5.下列判断中正确的是
A. 矩形的对角线互相垂直
B. 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
C. 正八边形的每个内角都是
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
6.如图，圆内接正八边形的边长为，以正八边形的一边作正方形，将正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，则正方形与正方形重叠部分的面积为
A. B. C. D.
7. 若正方形的边长为，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.如图、图，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：

甲：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则四边形即为所求；
乙：作的平分线，交于点，同理作的平分线，交于点，连接，则四边形即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是
A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均正确
C. 乙正确，甲错误 D. 甲、乙均错误
9.如图，边长为的正五边形，顶点、在半径为的圆上，其他各点在圆内，将正五边形绕点逆时针旋转，当点第一次落在圆上时，则点转过的度数为
A. B. C. D.
10.如图，正八边形中，大小为
A. B. C. D.
11.已知正方形和正六边形边长均为，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示．按下列步骤操作：
将正方形在正六边形外绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；在这样连续次旋转的过程中，点在图中直角坐标系中的纵坐标可能是
A. B. C. D.
12.如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为
A. B. C. D.
13.如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是
A. B. C. D.
14.如图，在正六边形中，连接，则的值为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共15分）
16.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率.某圆的半径为，其内接正十二边形的周长为.若，则______________，______________(结果精确到，参考数据：，).
17.如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则______．
18. 正六边形的边长为，则它的面积为______．
19.如图，在正六边形中，，是正六边形的一条对角线，则的长为______．
20.如图，已知正六边形的边长为，对角线和相交于点，对角线与相交于点，则______．
三 、作图、解答题（本大题共4小题，共32分）
21.如图，在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图、图中按要求作图保留作图痕迹，不写作法．
在图中，在边上求作一点，连接，使；
在图中，在边上求作一点，连接，使．
22.请仅用无刻度的直尺在下列图和图中按要求画菱形．
图是矩形，，分别是和的中点，以为边画一个菱形；
图是正方形，是对角线上任意一点，以为边画一个菱形．
23.如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中的度数．
24.如图，以正六边形的边为边，在形内作正方形，连接求的大小．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：如右图所示，边长；
又该多边形为正六边形，
故，
在中，，，
所以，
即半径、边心距之比为：．
故选：．
我们可设正六边形的边长为，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．
此题主要考查正多边形边长的计算问题，要求学生熟练掌握应用．
2.【答案】A;
【解析】解：连接、、，如图所示：
正六边形内接于，为的中点，
，，，
，
，
；
故选：．
连接、、，由正六边形的性质和已知条件得出，，，由三角函数求出，再由勾股定理求出即可．
该题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键．
3.【答案】A;
【解析】
该题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质、等边三角形的判定和性质是解答该题的关键．连接、、、，作于，根据正六边形的性质得到，根据旋转变换的性质、寻找规律即可解决问题；

解：连接、、、，作于，
六边形是正六边形，
，
将正六边形绕原点顺时针旋转，每次旋转，
点旋转次回到点，

正六边形绕原点顺时针旋转次，与点重合，
在中，，，
顶点的坐标为，
故选A．
4.【答案】C;
【解析】解：如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，
故选C．

如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，由此即可判断．
该题考查正六边形、正方形的性质等知识，解答该题的关键作出点的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
5.【答案】D;
【解析】解：、矩形的对角线相等，但不一定垂直，故原命题错误，不符合题意；
B、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，不符合题意；
C、正八边形的每个内角都是，故原命题错误，不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形正确，符合题意，
故选：．
利用矩形的性质、三角形的外心的定义、正多边形的性质及平行四边形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
考查了矩形的性质、三角形的外心的定义、正多边形的性质及平行四边形的判定，解答该题的关键是了解有关性质，难度不大．
6.【答案】A;
【解析】解：正八边形的内角，
正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，
，，
，
延长过点，如图，
，
，，
，
正方形与正方形重叠部分的面积．
故选：．
先计算出正八边形的内角，再利用旋转的性质得，，所以，则延长过点，如图，然后利用正方形与正方形重叠部分的面积进行计算．
该题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．也考查了正方形和正八边形的性质．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正方形的性质得出线段长度是解题关键，由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．

解：正方形的边长为，
，
，

，
即外接圆半径为，内切圆半径为．
故选：．

8.【答案】B;
【解析】
解：

由甲的作法可得：，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
故甲的作法正确；

四边形是矩形，
，
由乙的作法可得：，
则，
在和中
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
故乙的作法正确．
故选：．

此题主要考查了复杂作图以及正方形的判定方法，正确利用作图方法得出对应角的关系是解题关键．直接利用基本作图方法得出对应边以及对应角的关系，进而结合正方形的判定方法分析得出答案．
9.【答案】A;
【解析】该题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正多边形的有关概念．也考查了旋转的性质．
设点第一次落在圆上时的对应点为，连接、、，如图，利用正多边形的性质计算出，再证明、都为等边三角形，所以，则，然后根据旋转的性质得到点转过的度数．

解：设点第一次落在圆上时的对应点为，连接、、，如图，

五边形为正五边形，
，
正五边形绕点逆时针旋转，点第一次落在圆上点，
，
，
、都为等边三角形，
，
，
，
当点第一次落在圆上时，则点转过的度数为．
故选：．
10.【答案】C;
【解析】解：连接、、，如图所示：

则四边形为正方形，
，
故选：．
连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解．
该题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
11.【答案】A;
【解析】解：如图，

正方形和正六边形边长均为，
点在连续次旋转的过程中，
点旋转到点时，点的纵坐标最大，
点的纵坐标为．
所以点的纵坐标为，
点旋转到点时，点的纵坐标最小，
因为点的纵坐标为，
所以纵坐标的取值范围为：点的纵坐标．
即点的纵坐标．
所以点在图中直角坐标系中的纵坐标可能是．
故选：．
画出图形分别求出点连续旋转次旋转过程中点的纵坐标的最大值和最小值，进而可得点在图中直角坐标系中的纵坐标的可能值．
该题考查正多边形与圆，旋转变换，解直角三角形等知识，解答该题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】A;
【解析】解：如图，
设圆的圆心为，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点．
过作于，则必过点，且；
设的边长为，则，，；
正方形的边长为：，面积为，三个正方形的面积和为；
易求得的面积为：，
等边三角形与三个正方形的面积和的比值为，
故选A．
由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比．
该题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质以及图形面积的求法，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答该题的关键．
13.【答案】A;
【解析】解：连接，过作于；
，
是等腰三角形，
；
此多边形为正六边形，
，
，
，，
．
故选A．
连接，作于；根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长．
此题比较简单，解答该题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
14.【答案】D;
【解析】解：连接，
在正六边形中，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据正六边形的性质得到，，由等边三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
该题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解答该题的关键．
16.【答案】;;
【解析】方法一：连接圆心与正十二边形任意一边得到为顶角的等腰三角形
过点作垂线，则，，
∴，∴
∴
方法二：圆内接正十二边形，每一条边所对的圆心角均为
对该结构分析，
过O向AB作垂线，垂足为H，
则△AOH为15°/75°/90°三角形，
在OH上取点C，
使OC=AC→解△可得OC=AC=2.
AH=1，CH=→AB=2，C=12AB=24
.
17.【答案】;
【解析】解：连接，
五边形是正五边形，
，
是正三角形，
，
，
故答案为：．
连接，分别求出正五边形和正三角形的中心角，结合图形计算即可．
该题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解答该题的关键．
18.【答案】;
【解析】
该题考查了正多边形的有关计算解答该题的关键是根据题意画出图形，把正六边形的面积化为求三角形的面积解答先根据题意画出图形，作出辅助线，根据的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．

解：如图所示，
，
正六边形中，连接、，过作；
此多边形是正六边形，
；
，
是等边三角形，
，
，
，
，

故答案为．
19.【答案】;
【解析】解：六边形是正六边形，
，，
，
过作于，则，，
，
，
，
故答案为：．
根据正多边形的性质得出，求出度数，解直角三角形即可得到结论．
该题考查了正多边形与圆、平行线的性质、多边形的内角与外角等知识点，能根据正多边形的性质得出和求出的度数是解此题的关键．
20.【答案】1;
【解析】解：对角线和相交于点，
是等边三角形，
，，
对角线与相交于点，
，
，
故答案为：．
根据正六边形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
该题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解答该题的关键．
21.【答案】解：连接，与交于点，连接并延长交于，则与的交点为点，如图，
延长交于，连结，则为所作，如图．
;
【解析】
连接，与交于点，连接并延长交于，则与的交点为点可先证明≌，再证明≌，从而可得；
连接并延长与交于点，连接，则理由如下：由正方形的性质以及对顶角相等可证≌，所以，由于，，所以≌，则，从而可得．
该题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22.【答案】解：如图所示：四边形即为所求的菱形；
如图所示：四边形即为所求的菱形．


;
【解析】
直接利用矩形的性质将其分割进而得出各边中点即可得出答案；连接、，设交点为，连接并延长得到点，同理得到点，四边形即为所求；
利用正方形的性质延长，交于点，连接并延长交于点，连接，即可得出点位置，进而得出答案．
此题主要考查了复杂作图以及矩形、正方形的性质，正确应用菱形的判定方法是解题关键．
23.【答案】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM=108°，∠OBC=120°，∠NBC=90°，
∴∠AOB=×120°=60°，∠MOB=108°-60°=48°，
∴∠OBN=360°-120°-90°=150°，
∴∠NOB=×（180°-150°）=15°，
∴∠MON=33°．;
【解析】
由正方形、正五边形和正六边形的性质得到，，，求得，，得到，根据角和差即可得到结论．
该题考查了正多边形与圆，多边形的内角和外角，熟练掌握正方形、正五边形和正六边形的内角的度数是解答该题的关键．
24.【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90°，AB=BM．（2分）
∴∠MBC=120°-90°=30°，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC．
∴∠BCM=×（180°-30°）=75°．;
【解析】
是等腰三角形，只要求出顶角就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．
本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到是等腰三角形是解决本题的关键．