2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程综合复习检测（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程综合复习检测（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 979.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-24 22:29:41 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修一第三章圆锥曲线的方程综合复习检测
一、单选题
1．若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C．或 D．
2．下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 分别为椭圆的左右焦点，点Р在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
D．
5．设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
6．椭圆（，且）与直线交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．设是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A.
B．
C．
D．
二、多选题
9．关于双曲线与双曲线的说法正确的是（ ）
A．有相同的焦点 B．有相同的焦距
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
11．2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米 远火点n千米，火星半径为r千米，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长
D．
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．（结果用，表示）
14．已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值－．则动点P的轨迹方程为________
15．已知是的直径，M是圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则（∵）
类比到椭圆中，是过椭圆（）中心的弦，M是椭圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则______
16．如图所示，与是椭圆方程：的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接，，记直线PA的斜率为当P在左端点时，△是等边三角形．若△是等边三角形，则=__________；记直线PB的斜率为，则的取值范围是________．
四、解答题
17．已知曲线C上一点P到点F的距离比它到轴的距离大；过点且斜率为1的直线与C交于两点.
（1）求曲线C的方程； （2）求的值.
18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：
19．在平面内，已知点，动点到点的距离比到轴的距离大2，且动点是轴上方（包括轴）上的点．
（1）求动点的轨迹的方程．
（2）过点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于点，（为坐标原点）求证：以线段为直径的圆经过点．
20．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21．已知椭圆的离心率为，两焦点，与椭圆上的顶点构成边长为2的等边.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由.
22．已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于 两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）①求证线段必过定点，并求定点的坐标.
②点为坐标原点，求面积的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
解：依题意设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线标准方程为，
A由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．
3．A
解：将直线代入椭圆方程得，
，即，
设，，，，则，
即中点的横坐标是，纵坐标是，
由于线段的中点在直线上，则，又，
则，，即椭圆的离心率为.
4．A
由于是面积为的正三角形，
所以且，
则，代入椭圆方程得，解得.
故选：A
5．A
由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.
又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
6．A
联立，得，
设，，MN的中点，
则，．
所以．
故选：A
7．A
不妨设点P在C的右支上，设，由双曲线的定义可知：，
因为，
所以，
即，
由余弦定理可知：
，
而，所以，因此C的渐近线方程为，
8．B
设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
9．BD
两方程均化为标准方程为和，
这里均有，所以有相同的焦距，
而焦点一个在轴上，另一个在轴上，所以A错误，B正确；
又两方程的渐近线均为，故D正确；
的离心率，的离心率，故C错误；
10．ACD
对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
11．BC
由已知得,
∴,故A错误；
由,故B正确；
轨道II的短轴长,故C正确；
由得,两边平方得,即,由于,故,∴,故D错误.
故选：BC.
12．BC
对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
13．
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，
结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：．
14．
设动点，则，，由题意得：，整理得：，又因为动点P不能与定点，重合 ，故，综上：动点P的轨迹方程为
故答案为：
15．
由题设，结合椭圆的对称性，若，则，设，
∴，，故，
∵，，
∴两式相减得：，即，
∴.
故答案为：
16． ，+∞）
对于椭圆方程：，.
当P在左端点时，△是等边三角形，所以,
（1）由对称性，若△是等边三角形，则P为左端点或右端点：
当P为左端点时，，
同理可求，当P为右端点时，，
即若△是等边三角形，则=.
（2）设，则.
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以.
所以，当且仅当时取等号.
即的取值范围是，+∞）.
故答案为：；，+∞）
17．（1）
点P到点F的距离比它到轴的距离大，
可得点P到点F的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，解得，
所以曲线C的方程为
（2）
由题意可知直线方程：，
则，消去可得，
，
设，，
则，，
所以，，
所以.
18．（1）
解：由椭圆的离心率为，
设椭圆的方程为，且，
因为两个椭圆“相似椭圆”，可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
证明：不妨设，其中，则，可得，
把代入椭圆，可得，所以，
所以，
所以
所以.
19．（1）
∵动点到点的距离比到轴的距离大2，且动点是轴上方（包括轴）上的点，
∴动点到点的距离等于它到直线的距离，
故点的轨迹是以点为焦点的抛物线，
其方程为．
（2）
证明：设直线的方程为，，，
则：，：．
由．得．同理．
∴，．
由得，∴．
则
，
∴，因此，以线段为直径的圆经过点．
20．（1）；（2）直线恒过定点.
（1）椭圆的面积等于，，
，椭圆的焦距为，，
，
椭圆方程为
（2）设直线，，则，，三点共线，得
，
直线与椭圆交于两点,,，，
由，得，，
，代入中，
，，
当，直线方程为，则重合，不符合题意；
当时，直线,所以直线恒过定点.
21．（1）；（2）存在点，定值为.
（1）∵，∴，，
∵是等边且边长为2，∴，，又，∴，
故，，，∴椭圆方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
，则.
若存在定点满足条件，
则有
，
如果要上式为定值，则必须有
因此点；
当直线斜率不存在时，直线，代入椭圆方程可得
此时成立；
故存在点满足.
22．（1）；（2）①证明见解析，定点；②.
解：（1）由题可知：，所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2）①由题意知，由对称性知，必在轴上，，
设直线方程：，
设，，，
联立方程得，得，
所以，，
所以，又，
所以直线方程为：，
令，则
，
所以直线过定点.
②由①中，所以，又易知，
所以，
令，，则，
又因为在单调递减，
所以，.答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．若某抛物线过点（），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C．或 D．
2．下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 分别为椭圆的左右焦点，点Р在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
D．
5．设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
6．椭圆（，且）与直线交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．设是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A.
B．
C．
D．
二、多选题
9．关于双曲线与双曲线的说法正确的是（ ）
A．有相同的焦点 B．有相同的焦距
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
11．2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米 远火点n千米，火星半径为r千米，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长
D．
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为米，跨径为米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为________米．（结果用，表示）
14．已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值－．则动点P的轨迹方程为________
15．已知是的直径，M是圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则（∵）
类比到椭圆中，是过椭圆（）中心的弦，M是椭圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则______
16．如图所示，与是椭圆方程：的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接，，记直线PA的斜率为当P在左端点时，△是等边三角形．若△是等边三角形，则=__________；记直线PB的斜率为，则的取值范围是________．
四、解答题
17．已知曲线C上一点P到点F的距离比它到轴的距离大；过点且斜率为1的直线与C交于两点.
（1）求曲线C的方程； （2）求的值.
18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：
19．在平面内，已知点，动点到点的距离比到轴的距离大2，且动点是轴上方（包括轴）上的点．
（1）求动点的轨迹的方程．
（2）过点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于点，（为坐标原点）求证：以线段为直径的圆经过点．
20．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21．已知椭圆的离心率为，两焦点，与椭圆上的顶点构成边长为2的等边.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由.
22．已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于 两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）①求证线段必过定点，并求定点的坐标.
②点为坐标原点，求面积的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
解：依题意设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线标准方程为，
A由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．
3．A
解：将直线代入椭圆方程得，
，即，
设，，，，则，
即中点的横坐标是，纵坐标是，
由于线段的中点在直线上，则，又，
则，，即椭圆的离心率为.
4．A
由于是面积为的正三角形，
所以且，
则，代入椭圆方程得，解得.
故选：A
5．A
由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.
又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
6．A
联立，得，
设，，MN的中点，
则，．
所以．
故选：A
7．A
不妨设点P在C的右支上，设，由双曲线的定义可知：，
因为，
所以，
即，
由余弦定理可知：
，
而，所以，因此C的渐近线方程为，
8．B
设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
9．BD
两方程均化为标准方程为和，
这里均有，所以有相同的焦距，
而焦点一个在轴上，另一个在轴上，所以A错误，B正确；
又两方程的渐近线均为，故D正确；
的离心率，的离心率，故C错误；
10．ACD
对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
11．BC
由已知得,
∴,故A错误；
由,故B正确；
轨道II的短轴长,故C正确；
由得,两边平方得,即,由于,故,∴,故D错误.
故选：BC.
12．BC
对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
13．
如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，
结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：．
14．
设动点，则，，由题意得：，整理得：，又因为动点P不能与定点，重合 ，故，综上：动点P的轨迹方程为
故答案为：
15．
由题设，结合椭圆的对称性，若，则，设，
∴，，故，
∵，，
∴两式相减得：，即，
∴.
故答案为：
16． ，+∞）
对于椭圆方程：，.
当P在左端点时，△是等边三角形，所以,
（1）由对称性，若△是等边三角形，则P为左端点或右端点：
当P为左端点时，，
同理可求，当P为右端点时，，
即若△是等边三角形，则=.
（2）设，则.
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以.
所以，当且仅当时取等号.
即的取值范围是，+∞）.
故答案为：；，+∞）
17．（1）
点P到点F的距离比它到轴的距离大，
可得点P到点F的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，解得，
所以曲线C的方程为
（2）
由题意可知直线方程：，
则，消去可得，
，
设，，
则，，
所以，，
所以.
18．（1）
解：由椭圆的离心率为，
设椭圆的方程为，且，
因为两个椭圆“相似椭圆”，可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
证明：不妨设，其中，则，可得，
把代入椭圆，可得，所以，
所以，
所以
所以.
19．（1）
∵动点到点的距离比到轴的距离大2，且动点是轴上方（包括轴）上的点，
∴动点到点的距离等于它到直线的距离，
故点的轨迹是以点为焦点的抛物线，
其方程为．
（2）
证明：设直线的方程为，，，
则：，：．
由．得．同理．
∴，．
由得，∴．
则
，
∴，因此，以线段为直径的圆经过点．
20．（1）；（2）直线恒过定点.
（1）椭圆的面积等于，，
，椭圆的焦距为，，
，
椭圆方程为
（2）设直线，，则，，三点共线，得
，
直线与椭圆交于两点,,，，
由，得，，
，代入中，
，，
当，直线方程为，则重合，不符合题意；
当时，直线,所以直线恒过定点.
21．（1）；（2）存在点，定值为.
（1）∵，∴，，
∵是等边且边长为2，∴，，又，∴，
故，，，∴椭圆方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
，则.
若存在定点满足条件，
则有
，
如果要上式为定值，则必须有
因此点；
当直线斜率不存在时，直线，代入椭圆方程可得
此时成立；
故存在点满足.
22．（1）；（2）①证明见解析，定点；②.
解：（1）由题可知：，所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2）①由题意知，由对称性知，必在轴上，，
设直线方程：，
设，，，
联立方程得，得，
所以，，
所以，又，
所以直线方程为：，
令，则
，
所以直线过定点.
②由①中，所以，又易知，
所以，
令，，则，
又因为在单调递减，
所以，.答案第1页，共2页
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