广东省梅州市叶塘中学2021-2022学年高二上学期期中段考数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省梅州市叶塘中学2021-2022学年高二上学期期中段考数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 825.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-24 11:01:46 | ||
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文档简介
叶塘中学高二年级数学中段考试试题 2021.11
满分150分 考试时间120分钟
1、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A． B．－ C．－2 D．2
2．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心
3．已知平面内有一点，平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线经过第一、二、三象限，则圆的圆心位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋(＋)＝( )
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆：和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分。
9．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；
B．直线的倾斜角的取值范围是；
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
10．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．17 B．－17 C．－1 D．1
11．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是( )
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
12．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）
A． B．
C．三棱锥的体积为 D.与平面BB′C′C所成的角为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1，1)的圆的方程是____________________．
14.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________
15．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于________．
16．在平面直角坐标系xOy中，x轴上的动点R到两个定点，的距离之和的最小值为________．
四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
18．（12分）已知直线与直线交于点.
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式）
（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.（直线方程写成一般式）
19．（12分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面.
20.（12分）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，
求：(1)的最大值；(2)的最小值．
21.（12分）如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.
(1)求外籍船航行路径所在的直线方程；
(2)问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
22．(12分)如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD＝，EF＝2，BE＝3，CF＝4.
(1)求证：EF⊥平面DCE；
(2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°.
答案
1【答案】A [由＝，得m＝.]
2【答案】D [圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝＜r.]
3【答案】D 解：设点在平面内，，因为平面的一个法向量，所以，即，满足该条件的只有D选项.
4【答案】C 【详解】因为直线经过第一、二、三象限，
所以， 因为圆的圆心为，所以圆心位于第三象限，故选：C
5 【答案】A [在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝(＋)，从而＋(＋)＝＋＝.]
6【答案】A
【详解】在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
，，则.
因此，直线与所成角的余弦值为.故选：A.
7【答案】B 【分析】根据可得点的轨迹方程且轨迹为圆，根据圆与圆的位置关系可得的最大值.
【详解】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：
，即的最小值为.故选:B.
8【答案】C 【分析】
设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，求得的坐标，计算的值，结合求得值，从而求得答案
【详解】设，因为，所以，则圆的方程为，联立,解得，则，即，解得或，又，所以， 故选：C．
9【答案】ACD 【详解】倾斜角为时，直线的斜率不存在，A错误.
直线的倾斜角的取值范围是，B正确.
直线斜率是，但直线的倾斜角不是，C错误.
倾斜角为时，直线的斜率不存在，D错误.。故选：ACD
10【答案】AC 【解析】由已知，，
，解得或。
11【答案】AC [直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，
对于A，当a＝－1时，直线l的斜率k1＝1，直线x＋y＝1的斜率为－1，直线l与直线x＋y＝0垂直，故A正确；
对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，故B错误；
对于C，无论a取何值，当x＝0时，y＝1，∴直线l过定点(0，1)，故C正确；
对于D，当a＝0时，直线l：x－y＋1＝0在x轴上的截距为－1，在y轴上的截距为1，
当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．]
故选：AC.
12【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量
，故选项A正确；
在中，，，，
，所以和不垂直，故选项B错误；
在三棱锥中，，
点到平面的距离即中边上的高，所以，
所以，故选项C正确；
设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，
所以平面，
所以即与平面BB′C′C所成的角，
，所以，故选项D错误.
故选：AC
13 【答案】25
解析 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1，1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)=25
14【答案】
【解析】由题，设l与所成角为，可得.故答案为：
2＝25.
15【答案】4π
解析 设点P的坐标为(x，y)，由|PA|＝2|PB|得(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2
即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹所围成的图形的面积S＝4π.
16【答案】5
【分析】设点关于轴的对称点为，则，所以，然后利用两点间的距离公式求出的长即可
【详解】
如图，设点关于轴的对称点为，则，
所以，
所以动点R到两个定点，的距离之和的最小值为的长，
因为，
所以x轴上的动点R到两个定点，的距离之和的最小值为5，
故答案为：5
17【分析】
根据题意证明和平行且不相等即可.
【详解】
解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴，
则，
∴且.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
18【答案】（1），；（2）或.
【详解】
解：（1）由， 得.
设直线的方程为，代入点坐标得，
所以直线的方程为；
（2）当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，
所以直线的方程的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或
19【解析】三棱柱为直三棱柱 平面 ，
又，则两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系
则，，，，，
（1），
（2）由题意知：是平面的一个法向量
，
平面 平面
20【解析】 将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足x2＋y2－4x＋1＝0的点P(x，y)组成的图形是以M(2，0)为圆心，为
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半径的圆，如图所示．
(1)设＝＝k，即是圆上的点P与原点O连线的斜率．
由图知，直线y＝kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值．
此时有OP⊥PM，|PM|＝，|OM|＝2，
∴∠POM＝60°.
此时k＝tan 60°＝，
∴的最大值为.
21【解析】 （1）如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，直线AB方程：＋＝1，
INCLUDEPICTURE "../../../Documents/WeChat Files/数学选择性必修第一册/276+.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\songs\\Documents\\WeChat Files\\数学选择性必修第一册\\276+.TIF" \* MERGEFORMATINET
即3x＋4y－120＝0.
（2）圆O方程x2＋y2＝252.
设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设持续时间为t，
则t＝＝0.5(h)，
即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h．
22【解析】 (1)证明：在△BCE中，BC⊥BE，BC＝AD＝，BE＝3，∴EC＝2，
在△FCE中，CF2＝EF2＋CE2，∴EF⊥CE.
由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，
又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE.
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(2)如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
设AB＝a(a＞0)，则C(0，0，0)，A(，0，a)，
B(，0，0)，E(，3，0)，F(0，4，0)，
从而＝(－，1，0)，＝(0，3，－a).
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
由·n＝0，·n＝0，得取x＝1，
则y＝，z＝，即n＝，
不妨设平面EFCB的法向量为＝(0，0，a)，
由条件，得|cos 〈n，〉|＝＝＝，
解得a＝.
所以当AB＝时，二面角A－EF－C的大小为60°.
满分150分 考试时间120分钟
1、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A． B．－ C．－2 D．2
2．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心
3．已知平面内有一点，平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线经过第一、二、三象限，则圆的圆心位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋(＋)＝( )
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆：和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分。
9．在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；
B．直线的倾斜角的取值范围是；
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
10．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．17 B．－17 C．－1 D．1
11．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是( )
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
12．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）
A． B．
C．三棱锥的体积为 D.与平面BB′C′C所成的角为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1，1)的圆的方程是____________________．
14.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________
15．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于________．
16．在平面直角坐标系xOy中，x轴上的动点R到两个定点，的距离之和的最小值为________．
四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
18．（12分）已知直线与直线交于点.
（1）求过点且平行于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式）
（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.（直线方程写成一般式）
19．（12分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面.
20.（12分）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，
求：(1)的最大值；(2)的最小值．
21.（12分）如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.
(1)求外籍船航行路径所在的直线方程；
(2)问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
22．(12分)如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD＝，EF＝2，BE＝3，CF＝4.
(1)求证：EF⊥平面DCE；
(2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°.
答案
1【答案】A [由＝，得m＝.]
2【答案】D [圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝＜r.]
3【答案】D 解：设点在平面内，，因为平面的一个法向量，所以，即，满足该条件的只有D选项.
4【答案】C 【详解】因为直线经过第一、二、三象限，
所以， 因为圆的圆心为，所以圆心位于第三象限，故选：C
5 【答案】A [在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝(＋)，从而＋(＋)＝＋＝.]
6【答案】A
【详解】在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
，，则.
因此，直线与所成角的余弦值为.故选：A.
7【答案】B 【分析】根据可得点的轨迹方程且轨迹为圆，根据圆与圆的位置关系可得的最大值.
【详解】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：
，即的最小值为.故选:B.
8【答案】C 【分析】
设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，求得的坐标，计算的值，结合求得值，从而求得答案
【详解】设，因为，所以，则圆的方程为，联立,解得，则，即，解得或，又，所以， 故选：C．
9【答案】ACD 【详解】倾斜角为时，直线的斜率不存在，A错误.
直线的倾斜角的取值范围是，B正确.
直线斜率是，但直线的倾斜角不是，C错误.
倾斜角为时，直线的斜率不存在，D错误.。故选：ACD
10【答案】AC 【解析】由已知，，
，解得或。
11【答案】AC [直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，
对于A，当a＝－1时，直线l的斜率k1＝1，直线x＋y＝1的斜率为－1，直线l与直线x＋y＝0垂直，故A正确；
对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，故B错误；
对于C，无论a取何值，当x＝0时，y＝1，∴直线l过定点(0，1)，故C正确；
对于D，当a＝0时，直线l：x－y＋1＝0在x轴上的截距为－1，在y轴上的截距为1，
当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．]
故选：AC.
12【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量
，故选项A正确；
在中，，，，
，所以和不垂直，故选项B错误；
在三棱锥中，，
点到平面的距离即中边上的高，所以，
所以，故选项C正确；
设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，
所以平面，
所以即与平面BB′C′C所成的角，
，所以，故选项D错误.
故选：AC
13 【答案】25
解析 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1，1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)=25
14【答案】
【解析】由题，设l与所成角为，可得.故答案为：
2＝25.
15【答案】4π
解析 设点P的坐标为(x，y)，由|PA|＝2|PB|得(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2
即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹所围成的图形的面积S＝4π.
16【答案】5
【分析】设点关于轴的对称点为，则，所以，然后利用两点间的距离公式求出的长即可
【详解】
如图，设点关于轴的对称点为，则，
所以，
所以动点R到两个定点，的距离之和的最小值为的长，
因为，
所以x轴上的动点R到两个定点，的距离之和的最小值为5，
故答案为：5
17【分析】
根据题意证明和平行且不相等即可.
【详解】
解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴，
则，
∴且.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
18【答案】（1），；（2）或.
【详解】
解：（1）由， 得.
设直线的方程为，代入点坐标得，
所以直线的方程为；
（2）当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，
所以直线的方程的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或
19【解析】三棱柱为直三棱柱 平面 ，
又，则两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系
则，，，，，
（1），
（2）由题意知：是平面的一个法向量
，
平面 平面
20【解析】 将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足x2＋y2－4x＋1＝0的点P(x，y)组成的图形是以M(2，0)为圆心，为
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半径的圆，如图所示．
(1)设＝＝k，即是圆上的点P与原点O连线的斜率．
由图知，直线y＝kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值．
此时有OP⊥PM，|PM|＝，|OM|＝2，
∴∠POM＝60°.
此时k＝tan 60°＝，
∴的最大值为.
21【解析】 （1）如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，直线AB方程：＋＝1，
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即3x＋4y－120＝0.
（2）圆O方程x2＋y2＝252.
设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设持续时间为t，
则t＝＝0.5(h)，
即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h．
22【解析】 (1)证明：在△BCE中，BC⊥BE，BC＝AD＝，BE＝3，∴EC＝2，
在△FCE中，CF2＝EF2＋CE2，∴EF⊥CE.
由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，
又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE.
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(2)如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
设AB＝a(a＞0)，则C(0，0，0)，A(，0，a)，
B(，0，0)，E(，3，0)，F(0，4，0)，
从而＝(－，1，0)，＝(0，3，－a).
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
由·n＝0，·n＝0，得取x＝1，
则y＝，z＝，即n＝，
不妨设平面EFCB的法向量为＝(0，0，a)，
由条件，得|cos 〈n，〉|＝＝＝，
解得a＝.
所以当AB＝时，二面角A－EF－C的大小为60°.
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