安徽省宣城市宣州区中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题（Word版含答案解析）

宣城市宣州区中学2021~2022学年度第一学期高一年级12月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象过一个定点，则这个定点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的方程的实数解为，则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上为增函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则2，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的2倍
10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．若，恒成立，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，，若与构成“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是 _______________.
14．已知，，则________.
15．若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________.
16．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
计算下列各式的值:
（1）.
（2）.
18．（12分）
已知是第三象限角，且．
（1）化简；
（2）若,求的值；
（3）若，求的值.
19．（12分）
若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上.
（1）求和的解析式；
（2）定义，作出草图，并根据图象指出的最大值和单调区间.
20．（12分）
已知函数.
（1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数；
（3）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
21．（12分）
江西赣州的鸽矿资源非常丰富，素有“世界鸽都”之称.赣州某科研单位在硏发合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，.测得数据如下表（部分）：
（单位：克） …
…
（1）求关于的函数关系式；
（2）求这种新合金材料的含量为何值时该合金产品的性能达到最佳.
22．（12分）
设函数是定义域为的奇函数.
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值.
数学试题答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A B C C D D C BC BC BCD BD
1．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
且 ，所以集合 .
, 所以集合,故选C.
2．函数的图象过一个定点，则这个定点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
当时，是与无关的常数，由此可求出定点的坐标
【详解】
解：令，则，此时，
所以函数的图像恒过点，
故选：A
3．已知函数，则（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【分析】
根据分段函数的解析式直接求解即可.
【详解】
因为，
所以
故选：B
4．若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据不等式解集得对应方程的根，再解不等式得结果.
【详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以为方程的根，且
即
因此
故选：C
【点睛】
本题考查根据不等式解集求参数、解一元一次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．关于的方程的实数解为，则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程的根与函数零点的关系以及零点存在性定理即可解出．
【详解】
设，所以方程的实数解即为函数的零点，易知函数在上单调递增，而，，，即有，故所在的区间是．
故选：C．
6．函数在区间上为增函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过对进行分类讨论，结合二次函数对称轴与区间的关系，求出在区间上为增函数的充要条件
【详解】
当时，，在区间上为减函数，所以不合题意，舍去；
当时，二次函数对称轴为：，要想在区间上为增函数，则要满足①或②，解①得：，解②得： ，综上，函数在区间上为增函数的充要条件是
故选：D
7．已知，则2，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.
【详解】
，，
∴；
又
∴ ，∴.
8．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论．
【详解】
因为是定义在上的“倒戈函数，
存在满足，
，
，
构造函数，，
令，，
在单调递增，
在单调递减，所以取得最大值0，
或取得最小值，，
，，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数新定义，解题关键理解新定义，把问题进行转化．本题新定义转化为方程有解，再转化为求函数的值域．
故选：C.
9．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则（ ）
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的2倍
【答案】BC
【分析】
利用扇形面积公式和弧长公式的变形即可求解.
【详解】
设原扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则原扇形的面积为，
扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为，
故，故A错误，C正确；
由，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误.
故选：BC．
10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
根据函数的奇偶性可知为偶函数，又根据幂函数在上单调递减，排除AD，即可得出正确答案．
【详解】
因为函数在上单调递减,而函数为偶函数，故排除AD，
根据奇函数的定义可知，函数和为奇函数，再根据函数单调性，可知函数和在区间上单调递增．
故选：BC.
11．若，恒成立，则的取值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】
由基本不等式，可得，即可求得实数的取值范围.
【详解】
由，可知，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
即实数的最大值为-1.
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，以及指数幂的运算，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，，若与构成“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】BD
【分析】
根据“偏食”的定义进行求解即可
【详解】
因为集合，且与构成“偏食”，
所以或，
当时，得，此时，符合题意，
当时，得，此时，符合题意，
综上，或，
故选：BD
13．函数的定义域是 _______________.
【答案】
【分析】
根据偶次被开方数为非负数，以及真数大于零，分母不为零即可列式解出．
【详解】
由题意可得，解得或．
故答案为：．
14．已知，，则________.
【答案】
【分析】
根据指对互化可表示出，由指数幂的运算性质可求得结果.
【详解】
，，，，.
故答案为：.
15．若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】
先求出不等式、的解，根据不等式组中有且仅有两个整数，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】
由可得，
由可得，
又不等式组有且仅有两个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ 实数的取值范围是.
16．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
作函数的图象，根据图象确定的范围及关系，可求的取值范围.
【详解】
设，设
作函数图象如图所示，
由图可知，，
又，即，解得，
故，
17．计算下列各式的值:
（1）.
（2）.
【答案】
（1）1 （2）1
【分析】
(1)直接根据指数的运算性质即可得结果；(2) 直接根据对数的运算性质即可得结果.
（1）.
（2）.
18．已知是第三象限的角，且．
（1）化简；
（2）若,求的值；
（3）若，求的值.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据诱导公式即可求出；
（2）由可得，再根据是第三象限的角以及平方关系可得，即可解出；
（3）根据诱导公式即可解出．
（1）．
（2），所以，而是第三象限的角，所以,即.
（3）若，则．
19．若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上.
（1）求和的解析式；
（2）定义，作出草图，并根据图象指出的最大值和单调区间.
【答案】
（1），
（2）图象见解析，最大值为，单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】
（1）设出的解析式，根据、求得的解析式.
（2）求得的解析式，由此画出的图象，并根据图像求得的最大值和单调区间.
（1）设幂函数，，
因为点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，
所以，，解得，；所以，；
（2）因为，所以，
作出函数的图象，如图：
由图象可得：当时，函数有最大值，
单调递增区间为，单调递减区间为.
20．已知函数.
（1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数；
（3）若关于t的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】
（1）定义域为R，是定义在R上的奇函数，证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）注意到，即可求出定义域，用定义可以判断与证明其奇偶性；
（2）用定义证明即可；
（3）根据单调性及奇偶性解不等式后再求参数的范围.
（1）∵，∴，函数的定义域为R，即，
是奇函数.证明如下：
∵的定义域为R，
又，
∴，
∴是定义在R上的奇函数；
（2）证明：任取，，且.
则
，
∵，∴，∴
又，，∴，
即，∴函数在其定义域上是增函数；
（3）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，
又因为在R上单调递增，所以的解集非空，
即在R上有解，
则满足，解得，
所以实数k的取值范围.
21．江西赣州的鸽矿资源非常丰富，素有“世界鸽都”之称.赣州某科研单位在硏发合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，.测得数据如下表（部分）：
x（单位：克） 0 1 2 9 …
y 0 3 …
（1）求关于的函数关系式；
（2）求这种新合金材料的含量为何值时该合金产品的性能达到最佳.
【答案】
（1）
（2）这种新合金材料的含量为4克时该合金产品的性能达到最佳.
【分析】
（1）当时，是的二次函数，可设，代入前三组数据，解方程可得，，；当时，，代入数据，，可得，即可得到的解析式；
（2）分别运用二次函数的最值求法和指数函数的单调性，即可得到所求最大值．
（1）解：当时，是的二次函数，可设，
由可得，由，得，
由可得，解得，即有；
当时，，由,，可得，
可得，即有；
综上可得；
（2）解：当时，，
即有时，取得最大值4；
当时，递减，可得，当时，取得最大值3．
综上可得的最大值为4，
即这种新合金材料的含量为4克时该合金产品的性能达到最佳.
22．设函数是定义域为的奇函数:
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值.
【答案】（1）增函数，；（2）．
【分析】
（1）由，求得，得到，根据，求得，即可求得函数是增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；
（2）由（1）和，求得，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）因为函数是定义域为的奇函数，
可得，从而得，即
当时，函数，
满足，所以，
由，可得且，解得，所以是增函数，
又由，可得，
所以，解得，即不等式的解集是．
（2）由（1）知，，
因为，即，解得，
故，
令，则在上是增函数，故，
即，
此时函数的对称轴为，且开口向上，
所以当，函数取得最小值，最小值为，
即函数的最小值为．