6.2.4向量的数量积（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)
一、教学目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和运算．
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯．
二、教学重难点
1．重点：平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角．
2．难点：平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质．
三、教学过程
1.向量数量积概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】观察小车的运动，讨论功的计算公式．
提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？
（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？
（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？
预设互动回答：
力有做功，但是不能用W=FS，因为力F不在位移S的方向上；
对力F进行正交分解，垂直于位移方向的分力F2不做功，只有在位移方向的分力F1做功；
在位移方向的分力F1大小为，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小．
【设计意图】
向量数量积概念不是凭空产生的，用人拉小车这一实例，让学生感受“向量乘以向量”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.
结论：，影响功的要素有三个：F的大小，S的大小，夹角的余弦．
推广：功的计算公式要考虑力和位移的方向，所以将初中的公式W=FS补充完整，为：
归纳总结：，从计算公式看出，力是向量，位移是向量，功是数量．
校对答案：
1.物理背景：
如图，物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W = .其中，力是向量，位移是向量，功是数量， 是.
1.2类比物理背景，形成概念
提问：（1）类比功的计算公式，数学中两个向量乘法的计算公式是什么？
（2）两个向量的乘积称为两个向量的数量积（或内积），它的结果由哪些要素来决定？
（3）零向量与任何向量的数量积是什么？
预设互动回答：
，结果是数量，结果由三个要素来决定：；
零向量与任何向量的数量积为，不是，是数量不是向量．
注意：记法“”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．
“规定”： =．
归纳总结：，线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与模的大小有关，还和它们的夹角有关．
校对答案：
2.平面向量数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把称为与的数量积（或内积），记作，即=规定：=.
1.3初步应用，理解概念
例1 已知当与的夹角求
【预设的答案】
例2 已知，求与的夹角
【预设的答案】 由得，
又
【设计意图】
（1）利用向量数量积及夹角概念,加深向量数量积概念的理解；
（2）从这个例题中归纳概括出向量夹角公式：.
2.向量的投影
教师：如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
教师：在上的投影和在上的投影向量相同吗
学生：不相同，尽管他们都是向量，但在上的投影一定与共线，而在上的投影一定与共线.
教师：如图（2），设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系
学生：与共线，于是.
教师：分小组探究与，的关系以及的表达式.（提示：分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论）.
学生：当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以.
教师：总结：综上可知，对于任意的，都有.
【设计意图】
1.引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的投影以及数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义．
2.通过课前尝试练习，使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解，课堂上师生展开互动分析，并进行归纳总结，为数量积的性质埋下伏笔．
向量数量积的性质
教师：从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积又有怎样的特殊性
学生：思考讨论.
教师：由向量数量积的定义，可以得到如下重要性质：
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
（1）.
（2）.
（3）当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.
此外，由还可以得到
.
【设计意图】
将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．
4. 归纳总结
（1）向量数量积的概念
（2）向量的投影
（3）向量数量数量积的性质
【设计意图】
（1）梳理本节课对于向量数量积的认知；
（2）鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习向量数量积的必要性.
四、课外作业
1．学案中的巩固训练1、2及本节课的小本作业；
2．预习下一节课的内容：向量的运算律；
3. 拓展与提高：已知a与b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．(本题供学有余力的同学选做)
【设计意图】
通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的．
3(共20张PPT)
（第一课时）
6.2.4 向量的数量积
问题1：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
向量的加法、减法及数乘运算
复习旧知 温故知新
这些运算的结果仍是一个向量
向量有大小和方向，是矢量，那它和标量能产生联系吗？类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？与向量的数乘一样吗？
一、创设问题情境，引入数量积概念
一、创设问题情境，引入数量积概念
问题2： 某人拉车，沿着绳子方向上的力为 ，
车的位移为 ，
力和位移的夹角为 ，力所做的
功为多少？
一、创设问题情境，引入数量积概念
问题3：决定功的大小的量有哪几个？
一、创设问题情境，引入数量积概念
问题4：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
两个向量的乘积等于向量的大小及其夹角余弦的乘积。
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
与 反向
O
A
B
与 同向
O
A
B
两个非零向量 和 ，作 ，
则 叫做向量 和 的夹角．
记作：
与 垂直
O
A
B
注意:在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
问题5：不共线的向量有不同的方向，它们的位置关系可用夹角来表示。如何定义向量的夹角？
O
A
B
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
一、创设问题情境，引入数量积概念
①两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；
②零向量与任一向量的数量积为0，即a·0=0；
③符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
④当0≤θ＜ 时，cosθ＞0，从而a·b>0；
当 ＜θ≤π时，cosθ<0，从而a·b<0．
数量积概念辨析：
一、创设问题情境，引入数量积概念
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ= ，求a·b．
解：a·b=|a||b|cosθ=5×4× =5×4×(- )=-10．
例2 设|a|=12，|b|=9，a·b=-54 ，求a与 b的夹角 ．
解：由a·b=|a||b|cosθ，得cosθ= ．
因为θ∈[0，π] ，所以θ= ．
一、创设问题情境，引入数量积概念
二、引入投影概念，体会投影意义
观察，你觉得 是什么？
如果加上向量符号呢？
定义：设a，b是两个非零向量，如图，在平面内任取一点O，作 ， ，
过点A作直线OB的垂线，垂足为A1我们把 叫做向量a在b上的投影（projection）．
二、引入投影概念，体会投影意义
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，请你探究 与e，a，θ之间的关系．
A
A1
B
b
a
c
b
a
c
显然， 与e共线，于是
由于 有正负，我们可以讨论当θ为锐角、直角、钝角时 的值。
二、引入投影概念，体会投影意义
(1)当θ为锐角时， 与e方向相同， ，所以
；
(2)当θ为直角时，λ=0，所以 ；
(3)当θ为钝角时， 与e方向相反，所以
，
即 ．
特别地，当θ=0时，λ=|a|，所以 ；
当θ=π时，λ=-|a|，所以 ．
A
A1
B
二、引入投影概念，体会投影意义
追问：从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，a在b上的投影具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？
a与b相互平行
a与b相互垂直
a·b=|a||b|
a·b=0
如果a·b=0，无法判断a=0，或b=0．
二、引入投影概念，体会投影意义
如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？
(1) ；
(2)若 与 同向，则 ；
若 与 反向，则 ；
特别地， ，
依据数量积定义完成以下问题( 与 是非零向量)
(4) .
≤
(3)
；
判定两向量垂直
用于计算向量的模
用于计算向量的夹角,以
及判断三角形的形状.
平面向量数量积的性质 ( 与 是非零向量)
三、研究数量积的性质
总结
一、向量的数量积
二、向量的投影
三、向量数量积的性质
a·b=|a||b|cosθ
目标检测设计
1．下列各式中正确的是（ ）．
A．0 a=0 B．0 a=0 C．0 a=0 D．0 a=0
2．已知e为单位向量，|a|=4，a与e夹角为 ，则a在e方向上的
投影向量为 ．
3．已知|a|=3，|b|=8，则：
（1）当a b=0时，a与b的关系为 ．
（2）当a b=24时，a与b的关系为 ．
（3）当a b=-12 时，a与b的夹角为 ．
