6.2.4平面向量的数量积（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)
一、教学目标
掌握平面向量数量积的运算律,能运用运算律解决相关问题.
二、教学重难点
1.教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.教学难点：理解平面向量数量积的运算律.
三、教学过程
【复习引入】
回顾：向量a，b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
【预设的答案】 a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a，b的夹角.
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
【设计意图】复习回顾向量数量积第一课时的主要内容，为第二课时的学习做好准备.
1.呈现背景，提出问题
探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？
【活动预设】展示数学乘法运算的运算律，及前两节所学的向量的线性运算律，学生类比出数量积的一些运算律.
【预设的答案】
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确
结合律 (ab)c＝a(bc) (λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb) a(b·c)＝(a·b)c 正确 错误
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确
【设计意图】引导学生类比已学内容，做出猜想，为引入本节的数量积运算律做铺垫.
2.分析联想，寻求方法
活动：尝试说明上述猜想正确与否，并给出证明：
a·b＝b·a； （2）(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)； a(b·c)＝(a·b)c （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【活动预设】教师带领学生讨论，学生尝试说明以上猜想正确与否.
【预设的答案】（1）交换律显然成立.
（2）数乘结合律：(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)
(λa)·b=|λa||b|cos θ1 λ(a·b)=λ|a||b|cos θ2 a·(λb)=|a||λb|cos θ3
对λ分类讨论可以说明数乘结合律是成立的.
数量积结合律：
思考： a(b·c)＝(a·b)c成立吗？
由于 a(b·c)表示与a共线的向量，(a·b)c表示与c共线的向量，所以这个式子不成立.
（3）分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
教师讲授：
利用a＋b的投影向量等于a与b的投影向量之和可以证明.
【设计意图】培养学生的归纳总结能力；鼓励学生大胆猜想，小心求证；紧扣向量的数量积定义进行运算律的验证，便于理解向量数量积的运算律.
3.猜想验证，得出结论
向量数量积的运算律：
a·b＝b·a；（交换律）
（2）(λa)·b=λ(a·b)＝a·(λb)；（数乘结合律）
（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.（分配律）
例1：我们知道，对于任意的，恒有
对于任意向量a，b,是否也有下面类似的结论？
(a＋b)·a＝(a+b)2=a2+2a·b＋b2 (a＋b)·(a－b)=a2－b2
【活动预设】学生可利用分配律和交换律自行推导，加深对数量积运算律的理解.
【设计意图】通过数量积运算律的探索过程，学生已感受到类比推理的魅力.进一步类比实
数范围内常用的结论，可以得到向量范围内的常用结论.
4.运用新知，巩固内化
例2：已知|a|＝6，|b|＝4，a，b的夹角是，求(a＋2b)·(a－3b).
【活动预设】学生动手操作，尝试初步运用.
【设计意图】应用向量运算律解决计算问题，对初学者来说是有些难度的，教师根据运算律详细展示计算过程，加深巩固学生对新知识的把握.
例3：已知|a|＝3，|b|＝4，且a，b不共线. 当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
【活动预设】引导学生开动脑筋，考虑将几何问题与向量联系起来.
【设计意图】通过此题让学生感受向量处理问题的优势. 通过向量运算将几何问题转化为代数问题，这为解决几何问题提供了新的思路.
5.回顾反思，拓展问题
问题1. 向量的数量积运算律是怎样的？
问题2. 类比实数中的结论，数量积是否有相似的结论呢？比如a·b＝b·c(b≠0) a＝c
（消去律）等是否也成立呢？
【设计意图】
回顾总结本节的主要内容，加深印象；
突出本节课类比推理，将未知化已知的思想方法，给学生留下想象的空间，让学生自
主探索，激发兴趣，获得成就感.
2(共12张PPT)
（第二课时）
6.2.4平面向量的数量积
复习引入
回顾:向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角．
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量,则
(1) a·e= e·a =|a|cosθ．
(2)a⊥b a·b=0．
(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．
特别地，a·a=|a|2或|a|= ．
(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）
一、呈现背景 提出问题
探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
a·(b·c)＝(a·b)·c；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
以上猜想对吗？如何证明？
交换律、结合律、分配律
二、分析联想 寻求方法
(1)a·b＝b·a
二、分析联想 寻求方法
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
二、分析联想 寻求方法
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c 成立吗？
(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
二、分析联想 寻求方法
与c方向相同的单位向量为e
向量数量积的运算律：
三、猜想验证 得出结论
(1)a·b＝b·a
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
（分配律）
（交换律）
（数乘结合律）
例1：我们知道，对任意 ，恒有
对任意向量 ，是否也有下面类似的结论？
（1）(a+b)2
（2）(a+b)·(a-b)
解：
三、猜想验证 得出结论
=a·(a+b)+b·(a+b)
=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2；
=a·(a-b)+b·(a-b)
=a2-b2．
=a·a-a·b+b·a-b·b
例题2：已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角 ，求 .
四、运用新知 巩固内化
解：(a+2b)·(a-3b)
=a·(a-3b)+2b·(a-3b)
=|a|2-|a||b|cos -6|b|2
=62-6×4×cos60 -6×42
=-72．
=a·a-3a·b+2b·a-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2
例题3：已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线. 当 为何值时，向量
互相垂直？
四、运用新知 巩固内化
则a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是
(a+kb)·(a-kb)=0，
解：依题，a+kb与a-kb不共线，
即a2-k2b2=0．
因为 a2=32=9，b2=42=16，所以 9-16k2=0．
因此 k= ．
也就是说，当k= 时，a+kb与a-kb互相垂直．
(1)a·b＝b·a
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
五、回顾反思 拓展问题
1.向量的数量积运算律是怎样的？
2.类比实数中的结论，数量积是否有相似的结论呢？比
如消去律等？
（分配律）
（交换律）
（数乘结合律）
