(共34张PPT)
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
1.理解函数的概念,了解函数构成的三要素.
2.会求一些简单函数的定义域、值域.
3.会用列表法、图像法、解析法来表示一个函数.
函数的概念 一般地,给定两个① 非空实数集A与B ,以及
对应关系f,如果对于集合A中的② 每一个实数x
,在集合B中都有③ 唯一确定 的实数y与x
对应,则称④ f 为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 记作⑤ y=f(x),x∈A
定义域 x称为自变量,自变量取值的⑥ 范围 (即数
集A)称为这个函数的定义域
值域 所有函数值组成的集合⑦ {y∈B|y=f(x),x∈A}
称为函数的值域
函数的概念
特别提醒:对于函数的概念,需注意以下几点:
①集合A,B都是非空实数集;②集合A中元素的无剩余性;③集合B中元素的可剩余
性,即集合B不一定是函数的值域,函数的值域一定是B的子集.
同一个函数
一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.如果两个函数表达式表示
的函数⑧ 定义域 相同,⑨ 对应关系 也相同(即对自变量的每一个值,两个
函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函
数.
特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相
同.
函数的表示方法
表示方法 定义
解析法 用⑩ 代数式或解析式 来表示函数的方法
列表法 用 列表 的形式给出函数的对应关系的方
法
图像法 用 函数的图像 表示函数的方法
分段函数
(1)概念
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的
对应方式 ,则称其为分段函数.
(2)三要素
①定义域:每一段上自变量的取值范围的并集.
②值域:所有函数值组成的集合.
③对应关系:在每一段上的对应关系不同.
取整函数与常数函数
函数 代表形式 定义域 值域
(高斯)取整函数 f(x)=[x] R Z
常数函数 f(x)=C R C(常数)
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( √ )
2.对于函数f(x),x1,x2∈A,当x1>x2时,可能有f(x1)=f(x2). ( √ )
3.函数的定义域和值域一定是无限集. ( )
定义域和值域可以是有限集也可以是无限集.
4.根据函数的概念,定义域中的一个自变量x可以对应着不同的函数值y. (
)
根据函数的概念可知,对于定义域中的一个x值在值域中只有唯一的y值和它对应.
5.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. ( √ )
6.y= 是函数. ( )
因为x的取值范围为空集,所以不是函数.
7.利用解析法可以表示任意的函数. ( )
8.函数的图像一定是定义域上一条连续不断的曲线. ( )
9.分段函数就是多个函数. ( )
10.任何一个函数都能用列表法表示. ( )
如何求函数的定义域
已知函数解析式求定义域
(1)如果函数式是整式,那么在设有指明它的定义域的情况下,函数的定义域是实
数集R.
(2)如果函数式是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果函数式是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零
的实数的集合.
(4)如果函数式是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分
式子都有意义的实数的集合(即求各部分范围的交集).
(5)对于由实际背景确定的函数,其定义域要受实际问题的制约.
求抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的
取值范围.
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为B,
求φ(x)的取值范围,此范围就是f(x)的定义域.
(6)已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围
为C,求出φ(x)的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就
是f(g(x))的定义域.
破疑典例
1.( )求下列函数的定义域:
(1)f(x)= + ;
(2)f(x)= ;
(3)y= ;
(4)y= - + .
思路点拨:
求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围,可考虑列不等
式或不等式组.
解析 (1)要使函数有意义,只需 解得 ≤x≤ ,则函数的定义域为 x
≤x≤ .
(2)要使函数有意义,只需 解得-2≤x≤2,且x≠1.则函数的定义域为{x|-2
≤x≤2且x≠1}.
(3)依题意得 解得x>-2,且x≠-1,
所以函数y= 的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
(4)依题意得
解得- ≤x<2,且x≠0,
所以函数y= - + 的定义域为 x - ≤x<2且x≠0 .
2.( )(1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域;
(4)若函数f(x)的定义域为[0,1],求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域.
思路点拨:
根据抽象函数定义域的实质列出不等式(组)求解,对于含参数的抽象函数注意分
类讨论.
解析 (1)由题意知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,∵1≤x≤
3,∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],∴f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴f(x)的定义域为[3,7].
(3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴3x∈[3,7],即x∈ ,
∴f(3x)的定义域为 .
(4)依题意有
∵m>0,∴-m<0,1-m<1+m,但m与1-m的大小不确定,∴对m与1-m的大小讨论.
①若m=1-m,即m= ,则x=m= ;
②若m<1-m,即m< ,则m≤x≤1-m;
③若m>1-m,即m> ,则x∈ ,与题意不符.
综上,0
已知函数y=x2+2x,x∈[2,5].
问题
1.如何求此函数的值域
提示:利用配方法或图像法.
2.若y=x+2 ,x∈[2,5],如何求函数的值域
提示:利用换元法.
如何求函数的值域
求函数值域的方法
1.观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函
数的值域.
2.图像法:通过画出函数的图像,由图形的直观地获得函数的值域.
3.配方法:若函数是二次函数形式,可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最大(小)值的求法.
4.换元法:通过适当换元,可将复杂的函数化为(几个)简单的函数,从而利用基本函
数自变量的取值范围求函数的值域.
5.分离常数法:此方法主要是针对解析式是有理分式的函数,即将有理分式转化为
“反比例函数”的形式,便于求值域.
拔高问题
3.形如y= 的函数如何求其值域呢
提示:①利用配方法;②将原函数化为yx2+yx+y-1=0的形式,利用方程思想求y的范围.
4.如果函数变为y= ,那么应该如何求其值域呢
提示:利用方程思想求解.
破疑典例
1.( )求下列函数的值域:
(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y= +1.
思路点拨:
(1)代入求值;(2)观察法.
解析 (1)因为y=2x+1,且x∈{1,2,3,4,5},所以y∈{3,5,7,9,11}.所以函数的值域为
{3,5,7,9,11}.
(2)因为 ≥0,所以 +1≥1,所以函数的值域为[1,+∞).
2.( )求下列函数的值域:
(1)y= ;
(2)y= (1≤x≤2);
(3)y=2x- .
思路点拨:
(1)分离常数法;(2)结合二次函数和分式分析求解;(3)换元,转化成二次函数求值域.
解析 (1)y= = =3+ ≠3,所以函数的值域为{y|y≠3}.
(2)因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以 ≤ ≤1,所以2≤ ≤8,所以函数的值域为
[2,8].
(3)设t= ,则t≥0且x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=2· + ,由t≥0,再结合函数的
图像(如图),可得函数的值域为 .
求函数解析式
函数解析式的求法
1.待定系数法
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0).
反比例函数解析式设为f(x)= (k≠0).二次函数解析式可根据条件设为①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组.
(3)解方程或方程组,得到待定系数的值.
(4)将所求待定系数的值代回原式.
2.换元法
已知f [g(x)]是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e
(t)代入f[g(x)]中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便得f(x)的解析式.
3.配凑法
此法是把所给函数的解析式,通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”
的表示式,然后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式.
4.消元法(方程组法)
已知f(x)与f 或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,组成方
程组,通过解方程组求出f(x).
5.赋值法
依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的
一般规律求出函数解析式.
破疑典例
1.( )(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)的解析式;
(2)已知f = + ,求f(x)的解析式;
(3)已知函数y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,求f(x)的解析式.
思路点拨:
(1)用换元法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)用待定系数法求解.
解析 (1)设x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.
(2)解法一(换元法):令t= = +1,则x= (t≠1),
把x= 代入f = + ,得
f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1.
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
解法二(配凑法):∵f = +
= -
= - +1,
∴f(x)=x2-x+1.
又∵ = +1≠1,
∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1).
(3)设f(x)=kx+b(k≠0),
则[f(x)]2-3f(x)=(kx+b)2-3·(kx+b)
=k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b
=4x2-10x+4,
所以
解得 或
故f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1.
2.( )(1)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x)的解析式;
(2)设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x、y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),
求f(x)的解析式.
(思路点拨:
(1)用方程组法求解;(2)用赋值法求解.
解析 (1)在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
联立可得
消去f(-x)可得f(x)= x-1.
2)解法一:令x=y,则由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
又f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,
即f(x)=x2+x+1.
解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1).
令-y=x,代入f(-y)=1-y(-y+1)得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x·(x+1)=x2+x+1.
已知函数f(x)=
问题
1.求f(f(f(-3)))的值时要注意什么
提示:注意自变量的取值范围.
2.如何画出函数f(x)的图像
提示:分段画出其图像.
3.如何求函数f(x)的值域
提示:根据图像得值域或根据解析式直接求解.
分段函数问题
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.
(2)处理分段函数的求值问题时,一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.
(4)分段函数的图像应分段来作,特别注意各段在区间端点处的取值情况.
分段函数的求值策略
(1)已知自变量求函数值:先看自变量的取值范围,再代入相应解析式求值.
(2)已知函数值求自变量:注意分类讨论思想的运用,关注变量的取值范围.
拔高问题
4.若情境探究中题目的条件不变,当f(a)=4时,怎样求a的值
提示:分类讨论.
5.若情境探究中题目的条件不变,当f(x)=a有四个不同的实根时,求实数a的取值范
围,如何解决
提示:通过图像求解.
正确理解分段函数
破疑典例
1.( )设函数f(x)= 若f(x)>x,求实数x的取值范围.
思路点拨:
根据y=f(x)与y=x的图像求解.
解析 由题意,只需y=f(x)的图像在y=x图像的上方即可.易知y=x与y=f(x)图像的交
点坐标为(-1,-1),则只有当x<-1时,才有f(x)>x.
2.( )已知a≠0,f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),求a的值.
思路点拨:
分a>0和a<0两种情况建立方程求解.
解析 当a>0时,1-a<1,1+a>1,
∵f(1-a)=f(1+a),∴2(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=- (舍去);
当a<0时,1-a>1,1+a<1,
∵f(1-a)=f(1+a),∴-1+a-2a=2+2a+a,解得a=- .
综上,a=- .
3.( )已知f(x)= 若f(x)≥ ,求x的取值范围.
解析 当-1≤x≤1时,f(x)=x≥ ,即 ≤x≤1;
当x>1或x<-1时,f(x)=1-x≥ ,则x<-1.
故x的取值范围是(-∞,-1)∪ .
易错警示 解决分段函数问题时,要防止选错解析式导致解题错误,对含参数的
问题要进行适当的分类讨论.(共19张PPT)
3.1.2 函数的单调性
1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数的定义.
2.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率.
3.能用定义或应用平均变化率判断函数的单调性.
4.理解函数的单调性并能进行简单应用.
函数的最值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),
则称f(x)的最④ 大 值为f(x0);如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最⑤
小 值为f(x0).
增、减函数的概念
函数的平均变化率与函数单调性的关系
一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=
f(x2), = ,则:
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 ⑥ > 0在I上恒成立;
(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是 ⑦ < 0在I上恒成立.
一般地,当x1≠x2时,称 = 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x11>x2时)上的平均变化率.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.增、减函数概念中的“任意x1,x2”可以改为“存在x1,x2”. ( )
2.x1,x2为f(x)的定义域内任意两个不相等的实数,且函数f(x)满足 >0,则f
(x)在定义域内为增函数. ( √ )
3.x1,x2是f(x)定义域内的任意两个实数,x1≠x2且[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(x)在定义域
内为减函数. ( √ )
4.求平均变化率时,Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),Δx,Δy的值可正可负也可以为零. (
)
5.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的最大值是f(1). ( )
函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,只说明[1,3]是函数y=f(x)的单调递减区间,但是
函数y=f(x)在整个定义域上的最大值不一定是 f(1).
6.若函数y=f(x)在定义域上有f(1)根据函数单调性的定义,函数y=f(x)定义域中的任意两个值x1,x2,Δx=x2-x1>0,都有Δy
=y2-y1>0,才能确定函数y=f(x)是定义域上的增函数,不能由两个特殊的量来确定.
7.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
( )
反例:f(x)=
8.函数f(x)= 在定义域上是减函数. ( )
函数f(x)= 为非连续函数,定义域不连续,在整个定义域上不单调,所以错误.
函数单调性的判定与证明
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下
结论”进行判断.
单调性判断的等价结论:
当x∈D时,f(x)是增函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0.
当x∈D时,f(x)是减函数,x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0.
2.图像法.根据函数图像的升降情况进行判断.
3.直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比
例函数的单调性均可直接得出.
4.复合函数单调性的判断如下:
(1)若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函
数;
(2)若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为
减函数.
列表如下:
复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时递增,
相异时递减.
u=g(x) y=f(u) y=f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
破疑典例
1.( )利用定义证明下列函数的单调性:
(1)f(x)=x3在R上是增函数;
(2)f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.
思路点拨:
利用定义证明函数的单调性,可通过作差、变形、判断符号来解决.
证明 (1)任取R上的两个实数x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)·( +x1x2+ )=(x1-x2) ,
∵x1又∵ ≥0, ≥0,
且x1=x2=0时等号同时成立,
∴ + >0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)=x3在R上是增函数.
(2)任取[0,+∞)上的两个实数x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)= -
=
= .
∵0≤x1∴x1-x2<0, + >0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.
2.( )设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒
成立,已知f(2)=1,且当x>1时, f(x)>0.
(1)求f 的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明.
思路点拨:
抽象函数问题解题的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.
解析 (1)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,
∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
当x=2,y= 时,有f =f(2)+f ,即f(2)+f =0,又f(2)=1,∴f =-1.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵ >1,∴f >0,即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
已知函数f(x)为定义在R上的增函数.
问题
1.如何解不等式f(x)提示:f(x)2.如何解不等式f(1-x)提示:f(1-x)3.若函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,如何解不等式f(x)提示:原不等式等价于
利用函数的单调性解不等式
1.利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱
掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
2.解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤:
(1)将不等式化为f(x1)(2)若函数f(x)是定义域D上的增函数,则x1,x2∈D,且x1的减函数,则x1,x2∈D,且x1>x2.
破疑典例
1.( )已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)值范围是 ( )
A. B.
C.(0,2) D.(0,+∞)
思路点拨:
利用单调性结合定义域去掉“f ”,进而求解不等式组.
B 函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
则有 解得 2.( )在疑难1破疑典例2的条件下解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.
思路点拨:
利用单调性解不等式.
解析 ∵f =-1,
∴f(8x-6)-1=f(8x-6)+f =f =f(4x-3),
∴f(2x)>f(4x-3),
∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,
∴ 解得 ∴不等式的解集为 x
(1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1
0)恒成立求参数的取值范围.
(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图像被对称轴一分为二,可根
据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)
求参数的取值范围.
注意:若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是
单调的.
对于分段函数单调性求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段区间上函数
具有相同的单调性,由此列出相关式子; 另一方面要考虑分界点处函数值之间的
大小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.
利用单调性求参数的取值范围
根据函数的单调性求参数的取值范围的方法
破疑典例
1.( )若函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值
范围是 ( )
A.(-2,0) B.[-2,0)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)
思路点拨:
结合分段函数的单调性,讨论每段函数满足减函数时的条件以及两段函数分界点
处函数值的关系列出不等式组求解.
B f(x)=
是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则
解得-2≤a<0.
2.( )(1)已知f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)已知f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
解析 (1)要使f(x)在(-∞,4]上是减函数,
需满足x=- ≥4,
解得a≤-3.
(2)任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=(- +ax1)-(- +ax2)=( - )+a(x1-x2)=(x2-x1)( +x1x2+ -a).
∵f(x)在(0,1)上是增函数,
∴f(x1)-f(x2)<0.
∵0∴x2-x1>0, +x1x2+ <3,
∴ +x1x2+ -a<0,
∴a> +x1x2+ ,∴a≥3.(共21张PPT)
3.1.3 函数的奇偶性
1.了解函数奇偶性的含义.
2.掌握判断函数奇偶性的方法.
3.了解函数奇偶性与图像的对称性之间的关系.
4.熟练运用函数的奇偶性研究函数的其他性质,如单调性.
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x
∈D
条件 ① f(-x)=-f(x) ② f(-x)=f(x)
结论 f(x)是奇函数 f(x)是③ 偶 函数
奇函数、偶函数的概念
奇函数、偶函数的图像特征
(1)奇函数 图像是以④ 坐标原点 为对称中心的中心对称图形.
(2)偶函数 图像是以⑤ y轴 为对称轴的轴对称图形.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.f(x)是定义在R上的函数.若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. ( )
2.若f(x)为奇函数,则f(0)=0. ( )
3.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(|x|). ( √ )
4.函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数. ( )
5.若偶函数的图像不过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数. ( √ )
6.不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. ( )
存在,f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数.
7.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. ( )
函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.
已知函数f(x)=(x+1)(x-1),g(x)=x3-x,h(x)= .
问题
1.判断各个函数的奇偶性时,关键要注意什么
提示:注意函数的定义域.
2.函数f(x)= + 的奇偶性是怎样的呢
提示:既是奇函数又是偶函数.
如何判断函数的奇偶性
(2)图像法:
判断函数奇偶性的常见方法
(1)定义法:
分段函数奇偶性的判断
判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间
转化.若函数在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时必须判断
每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征.也可以作出函数图像结合
对称性判断.
拔高问题
3.定义在R上的函数f(x),对于任意实数a、b都有f(a+b)=f(a)+f(b).如何判断函数f(x)
的奇偶性
提示:令a=b=0 f(0)=0;令a=-x,b=x f(-x)=-f(x).
破疑典例
1.( )判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)= ;
(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;
(3)f(x)=
思路点拨:
先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再计算f(-x)并判断f(-x)与f(x)的关系,
从而得出结论.
解析 (1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4,∴函数f(x)的定义域D={x|-1≤x≤1,且x≠0},
∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0,
∴f(x)= = ,
于是任取x∈D,都有f(-x)= =- =-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.
因为f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函
数.
(3)函数的定义域M=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
任取x∈M,当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);
当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).
综上可知,函数f(x)= 是偶函数.
易错警示 判断奇偶性应先求定义域,必要时在定义域内化简解析式.解题时既
要防止不化简解析式,判断不出f(-x)与f(x)的关系;又要防止不求定义域就化简解
析式,导致不恒等变形得到错误结论.
2.( )设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明: f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.
思路点拨:
先确定函数的定义域,再利用定义证明奇偶性.
证明 由于x∈(-l,l),因此也必有-x∈(-l,l),所以f(-x)的定义域也是(-l,l).
设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),
则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),显然是关于原点对称的.
又F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(x)+f(-x)=F(x),
G(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),
所以F(x)为偶函数,G(x)为奇函数,即f(x)+f(-x)是偶函数, f(x)-f(-x)是奇函数.
3.( )定义在R上的函数f(x),对于任意实数x1、x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x
2).判断f(x)的奇偶性.
解析 令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x);令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)·f(x).
所以f(x)=f(-x),又f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数.
函数奇偶性的应用
1.由函数的奇偶性求参数
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性
时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求
得参数.
2.根据函数的奇偶性求函数值
利用函数的奇偶性求函数值时,若所给函数具有奇偶性,则利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f
(x)求解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数
或偶函数,然后利用其奇偶性求值.
3.利用奇偶性求函数解析式的一般步骤
(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.
(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
破疑典例
1.( )(1)若函数f(x)= 为奇函数,则实数a= ( )
A. B. C. D.1
(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)= .
思路点拨:
(1)利用奇函数的定义得到f(-1)=-f(1),列出方程求出a;
(2)构造出函数g(x)=f(x)+8,易得g(x)为奇函数,由f(-2)=10逐次求出g(-2)、g(2),可求
f(2).
答案 (1)A (2)-26
解析 (1)∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1),
∴ = ,∴1+a=3(1-a),解得a= ,故选A.
(2)令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数,
∵f(-2)=10,
∴g(-2)=10+8=18,
∴g(2)=-18,
∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
2.( )函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)= +1,求f(x)的解析式.
思路点拨:
设x<0,则-x>0,结合f(-x)=-f(x),f(0)=0,可求f(x)的解析式.
解析 设x<0,则-x>0,
∴f(-x)= +1,
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即-f(x)= +1,
∴f(x)=- -1,
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,
∴f(x)=
1.函数的奇偶性与单调性的差异:奇偶性可理解为函数图像在定义域上的对称性,单调性反映函数在某一区间上函数值的变化趋势,奇偶性是相对于函数的
整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调
性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的
每一个x,都有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)),才说f(x)是奇(偶)函数.
2.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上
单调性相反.
函数奇偶性与单调性的综合应用
3.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.
(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.
(2)若f(x)为奇函数,f(x)+2在[a,b]上有最大值M,则f(x)+2在[-b,-a]上有最小值-M+4.
4.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转
化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.
破疑典例
( )(1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1、x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x
1)·[ f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有( )
A.f(-n)B.f(n+1)C.f(n-1)D.f(n+1)(2)若偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1) ;
(3)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,其图像关于原点对称,且f(1-a)+f(1-2a)<0,
则实数a的取值范围是 .
答案 (1)B (2) (3)
解析 (1)∵对任意的x1、x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,
∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,即若x2>x1,则f(x2)>f(x1);
若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,即若x2则f(x2)∵f(x)在R上是偶函数,∴函数f(x)在[0,+∞)上为单调递减函数,f(-n)=f(n).∵n∈N*,
∴n+1>n>n-1≥0,f(n+1)(2)∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|),∴f(|2x-1|)∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴|2x-1|< ,解得 (3)∵y=f(x)的图像关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数.
∵f(1-a)+f(1-2a)<0,
∴f(1-a)<-f(1-2a)=f(2a-1),又y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴ 解得0∴a的取值范围是03.2 函数与方程、不等式之间的关系
1.理解函数零点的概念.
2.初步了解函数的零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标之间的关系.
3.掌握利用连续函数变号零点的性质求函数零点的近似解的一种计算方法——
二分法.
4.在明确算法的情况下,能借助计算器用二分法求连续函数零点的近似解.
函数的零点
函数的 零点 定义 如果函数y=f(x)在实数α处的函
数值等于零,即① f(α)=0 ,则
称α为函数y=f(x)的零点
等价 关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f
(x)的图像与② x轴 有交点
函数y=f(x)有③ 零点
二次函数y=ax2+bx
+c(a>0)的图像与
零点的关系 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
图像
与x轴 的交点 ④ (x1,0) , ⑤ (x2,0) ⑥ (x1,0)(或(x2,
0)) 无交点
零点 个数 ⑦ 2 ⑧ 1 ⑨ 0
二次函数的图像与零点的关系
函数零点存在定理
函数零点的性质
(1)当函数图像通过零点且穿过x轴时,函数值 变号 .
(2)两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值 保持同号 .
函数零 点存在 定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断
的,并且⑩ f(a)f(b)<0 (即在区间两个端点处的
函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有
一个 零点 ,即 x0∈(a,b), f(x0)=0
变号零点与不变号零点
如果函数图像通过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点;如果函数图
像通过零点时没有穿过x轴,则称这样的零点为不变号零点.
二分法
二分法 的定义 条件 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像
是连续不断的,且 f(a)f(b)
<0
过程 通过不断地把函数f(x)的零点所
在的区间 一分为二 ,使区
间的两个端点逐步逼近零点,进
而得到零点近似值.这种求函数
零点近似值的方法称为二分法
二分法 的步骤 1.开始 确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)
<0 ,给定近似的精度ε
2.中点 求区间[a,b]的中点c
3.计算 f(c) 若f(c)=0,则 c 就是函数的
零点
若f(a)f(c)<0,则令b=c(此时零点x
0∈(a,c))
若f(c)f(b)<0,则令a=c(此时零点x
0∈(c,b))
4.判断 是否达到精度ε:即若 |b-a|
≤2ε ,则得到零点近似值
;否则重复步骤2~4
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.任何函数都有零点. ( )
例如y= 这个函数不存在零点.
2.若函数f(x)满足f(a)f(b)<0,则函数在区间[a,b]上至少有一个零点. ( )
3.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0). ( )
由函数零点的定义可知,函数y=f(x)的零点为x1,x2,它们是实数,不是点.
4.f(x)=x- 只有一个零点. ( )
由f(x)=0得x- =0,解得x1=1或x2=-1,所以函数f(x)=x- 有两个零点.
5.二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
当区间中点的函数值为零时,用二分法求出的解就是精确解.
6.函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.( )
对于函数f(x)=|x|,不存在区间(a,b),使f(a)f(b)<0,所以不能用二分法求其零点.
7.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.
( )
函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.
问题
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像为连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0, 则函数y
=f(x)在(a,b)上一定没有零点吗
提示:这种说法不正确.如f(x)=(x-1)(x+1)在区间[-2,2]上满足f(-2)f(2)>0,但f(x)在(-2,
2)上存在两个零点.
2.如何求函数的零点
提示:根据函数零点与方程根的关系知,函数的零点就是函数对应方程的根,所以
可以通过求方程f(x)=0的根,得到函数的零点.
函数的零点
1.函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题
的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,也是该函数的
图像与x轴交点的个数.
对于零点应注意以下几点:
(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.
(2)并不是所有函数的图像都与x轴有交点,因此不是所有的函数都有零点.如y=1,y
=x2+1就没有零点.
(3)若函数f(x)有零点,则零点一定在函数定义域内.
(4)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标.
2.函数图像的对称性与函数零点之和
已知x0为函数f(x)的零点.
(1)若函数f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0.
(2)若函数f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0.
(3)若函数f(x)的图像关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n
个零点,则该函数所有零点之和为2nb.
破疑典例
1.( )(1)如果函数f(x)=ax-b(a≠0)有一个零点为3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零
点是 ;
(2)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 .
思路点拨:
先由函数的零点与方程的根的关系得出a,b的关系式或a,b的值,再解方程g(x)=0,
即得零点.
答案 (1)0,-1
(2)- ,-
解析 (1)依题意知3a-b=0,即b=3a≠0,
∴g(x)=bx2+3ax=3ax(x+1)=0,
∵a≠0,
∴x=0或x=-1.
∴g(x)的两个零点为0,-1.
(2)由题意知
解得
∴g(x)=-6x2-5x-1,
令g(x)=0,即-6x2-5x-1=0,
解得x1=- ,x2=- ,
∴g(x)的两个零点为- ,- .
2.( )求下列函数的零点:
(1) f(x)=x2-x-6;
(2)f(x)=
(3)f(x)=x3-2x2-x+2.
思路点拨:
求函数的零点就是求相应方程的根,三次方程一般可以借助因式分解求出方
程的根.注意函数的零点是一个数,而不是一个点.
解析 (1)令x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=3,
∴函数f(x)的零点是-2,3.
(2)解法一(代数法):令x+1=0,得x=-1,但-1 [0,+∞),故当x≥0时,函数f(x)无零点;令
x-1=0,得x=1,但1 (-∞,0),故当x<0时,函数f(x)无零点.
综上,函数f(x)= 没有零点.
解法二(几何法):画出函数y=f(x)= 的图像,如图所示.
∵函数图像与x轴没有交点,
∴函数f(x)= 没有零点.
(3)令x3-2x2-x+2=0,得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0,
解得x=-1或x=1或x=2,
∴函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.
方法指导 求函数零点的两种方法:
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:对于不易求根的方程,可以将它与函数的图像联系起来,图像与x轴的
交点的横坐标即为函数的零点.
3.( )讨论函数f(x)=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点.
思路点拨:
分别讨论a的值,求出f(x)=0的实数根,得到零点.
解析 当a=0时, f(x)=-x+2,则零点为2.
当a= 时,由f(x)= (x-2)=0得x1=x2=2,则零点为2.
当a≠0且a≠ 时, f(x)=(ax-1)(x-2)=0,解得x1= ,x2=2,则零点为 ,2.
观察函数y=f(x)的图像,并思考以下问题:
问题
1.函数y=f(x)有几个零点
提示:函数y=f(x)的图像与x轴有3个交点,所以函数y=f(x)有3个零点.
2.函数y=f(x)在(0,3)上有几个零点
提示:函数y=f(x)在(0,3)上的图像与x轴有1个交点,所以函数y=f(x)在(0,3)上有1个
零点.
函数零点存在定理
1.函数零点的性质
如果函数的图像是连续不间断的,那么相邻两个零点之间的所有函数值保持同
号.
2.如果连续函数(暂且理解为函数图像是一条连续不间断的曲线)在区间[a,b]上有
f(a)f(b)<0,那么存在c∈(a,b),使得f(c)=0,即方程f(x)=0必有一实数根x=c,c∈(a,b).
注意:(1)存在只说明有零点,至于有几个需要结合其他知识来解决.
(2)若函数f(x)满足:①在区间[a,b]上的图像是连续的;②f(a)f(b)<0;③在(a,b)上单
调,则函数f(x)在(a,b)内恰有一个零点.
3.函数零点的几何意义
在闭区间[a,b]上有连续曲线y=f(x)且连续曲线的始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在
x轴的两侧,若函数f(x)有零点,则此连续曲线与x轴至少有一个交点.
破疑典例
1.( )设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a≥2时,讨论f(x)+ 在区间(0,+∞)内的零点个数.
思路点拨:
(1)将x=0代入函数表达式,解不等式即可.
(2)利用定义域去绝对值 分类讨论f(x)在(-∞,a),[a,+∞)上的单调性.
(3)利用函数y=f(x)与g(x)=- 的图像的交点情况研究f(x)+ 的零点个数.
解析 (1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a.
当a≤0时, f(0)=0≤1恒成立;
当a>0时, f(0)=2a,令2a≤1,解得0综上,a的取值范围是 .
(2)由题意可知,
f(x)=
令h1(x)=x2-(2a-1)x,其图像开口向上,对称轴为直线x= =a- 所以f(x)在[a,+∞)上单调递增;
令h2(x)=x2-(2a+1)x+2a,其图像开口向上,对称轴为直线x= =a+ >a,所以f(x)在
(-∞,a)上单调递减.
综上, f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减.
(3)由(2)得f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)min=f(a)=a-a2.
①当a=2时, f(x)min=f(2)=-2,
f(x)=
令f(x)+ =0,即f(x)=- (x>0),
当0-2.
令g(x)=- (x>0),则g(x)在(0,2)上单调递增,则g(x)=- <-2,所以y=f(x)与 g(x)=- 的图
像在(0,2)内无交点;
当x≥2时,令f(x)=x2-3x=- ,
整理得x3-3x2+4=0,
即(x+1)(x-2)2=0,
所以x=-1或x=2,
又x≥2,
所以x=2是f(x)+ 的零点.
②当a>2时, f(x)min=f(a)=a-a2,f(0)=2a>4,
而g(x)=- 在x∈(0,a)上单调递增,
当x=a时,g(a)=- ,
构造F(a)=f(a)- =a-a2+ = .
因为a>2,
所以F(a)<0,
所以f(a)=a-a2<- ,
由此可得a>2时,y=f(x)的图像与g(x)=- 的图像在(0,+∞)内有两个交点.
综上可得,当a=2时,函数f(x)+ 在区间(0,+∞)内有一个零点;当a>2时, f(x)+ 在区
间(0,+∞)内有两个零点.
方法指导 判断函数零点个数的三种方法:
(1)利用函数零点与对应方程根的关系,转化为解方程,有几个不同的实数根就有
几个零点.
(2)画出y=f(x)的图像,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的个数.
(3)转化为两个函数图像交点问题.例如,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f
(x)=g(x)的实数根的个数,也就是函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像交点的个数.
2.( )已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a,求实数a取何值时,函数f(x):(1)有两个零点;(2)有
三个零点.
思路点拨:
画出函数图像,通过判断交点个数找出参数范围.
解析 令h(x)=|x2-2x-3|和g(x)=a,分别作出这两个函数的图像如图所示,它们交点
的个数即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.
(1)若函数有两个零点,则a=0或a>4.
(2)若函数有三个零点,则a=4.
方法指导 已知函数有零点(方程有根),求参数取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数
范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,然后
数形结合求解.
二次函数零点的分布问题
二次函数零点问题可转化为一元二次方程根的分布问题,利用二次函数图像与x
轴的交点情况来研究.一般从开口方向、对称轴位置、判别式Δ的符号、端点函
数值的符号等方面考虑.
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),则f(x)的零点可用一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根来研
究.
设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根(不妨设x1(k1根的分布 图像 条件
x1k根的分布 图像 条件
x1x1,x2∈(k1,k2)
续表
x1,x2有且仅有一个在(k1,k2)内 f(k1)·f(k2)<0
或
或
一个根在(k1,k2)内,另一个根在(k
3,k4)内
两个根均在(k1,k2)外
破疑典例
1.( )已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,分别求出下列条件成立的情况下,实数a的
取值范围:
(1)两个零点均大于1;
(2)一个零点大于1,一个零点小于1;
(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内.
思路点拨:
由零点的分布情况,结合二次函数的图像,从判别式、端点值、对称轴等因
素列不等式(组),解不等式(组)得到参数的取值范围.
解析 (1)由已知并结合二次函数的图像,
得
解得2≤a< ,
故实数a的取值范围是 .
(2)由已知并结合二次函数的图像得f(1)=5-2a<0,解得a> ,
因此实数a的取值范围是 .
(3)由已知并结合二次函数的图像与函数零点存在定理,得
解得 因此实数a的取值范围是 .
2.( )已知x2+(m-3)x+m=0,分别求满足下列条件的实数m的取值范围.
(1)程有两个正根;
(2)方程有两个负根;
(3)方程的两个根都小于1;
(4)方程的一个根大于1,一个根小于1;
(5)方程的两个根都在(0,2)内;
(6)方程的两个根有且仅有一个在(0,2)内.
解析 (1)依题意有
即
0(2)依题意有
即 m≥9.
(3)依题意有
即 m≥9.
(4)依题意有f(1)<0,即2m-2<0,解得m<1.
(5)依题意有
即 (6)依题意有
即 0方法指导 解二次函数零点分布问题的策略:
(1)首先画出符合题意的草图.
(2)结合草图考虑三个方面:①Δ与0的大小关系;②对称轴与所给端点值的关系;③
端点的函数值与零的关系.
(3)写出由题意得到的不等式(组).
(4)由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.
观察图形,回答下列问题:
问题
1.若图中的线路出现故障,你能否设计一个维修方案来迅速查出故障所在
提示:能.循环减半,检验后保留可能有故障的段,继续减半检验,直到查出为止.
2.解决此问题的方法体现了数学中的什么思想
提示:二分法思想.
用二分法求方程的近似解或函数的零点
给定精度ε,二分法求函数f(x)零点近似值的步骤:
①确定区间[a,b]:使区间长度尽量小;f(a)、 f(b)的值比较容易计算,且f(a)、 f(b)异
号.
②求区间(a,b)的中点x1:利用公式x1= 即可.
③计算f(x1):若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;若f(a)·f(x1)<0,则零点x0∈(a,x1),此时令b
=x1;若f(x1)·f(b)<0,则零点x0∈(x1,b),此时令a=x1.这一步的目的是缩小零点所在区
间,也就是所谓的“二分”.
④判断是否达到精度ε:若|a-b|<2ε,则得到零点近似值 ,否则重复第②、③、
④步.
助记法则:定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而
复始怎么办 精度上面来判断.
拔高问题
3.用二分法求方程的近似解时,如果给定了近似解所在的大致区间和精度,那么至
少需要把区间一分为二的次数能否预判 预判的方法是什么
提示:能.逐次计算把初始区间一分为二后的区间长度,计算达到精度时一分为二
的次数即可.
破疑典例
1.( )我国古代数学家秦九韶约在1247年发现了一种求高次方程根的近似解
的算法,我们称之为秦九韶算法:在一定精度下,采用逐步分割含根区间使其分成
许多小区间,并依次确定f(x)在分点处的符号,从而实现根的近似计算的方法.试用
以上算法原理求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精度为0.1).
思路点拨:
构造函数f(x)=2x3+3x-3 确定初始区间(a,b) 二分法求方程的近似解
验证|a-b|<0.2是否成立 下结论.
解析 令f(x)=2x3+3x-3,经计算, f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,
又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如下表:
(a,b) 中点 f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0) <0 f(1) >0 f(0.5)
<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5) <0 f(1) >0 f(0.75)
>0
(0.5, 0.75) 0.625 f(0.5) <0 f(0.75) >0 f(0.625)
<0
(0.625, 0.75) 0.687 5 f(0.625) <0 f(0.75) >0
因为|0.75-0.625|=0.125<0.2,
所以方程2x3+3x-3=0的一个精度为0.1的正实数近似解为0.687 5.
方法指导 ①根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方
程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步
骤求解.
②对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g
(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
2.( )若函数y=f(x)在区间(a,b)上的零点用二分法按精度为ε求出的结果与精
确到ε求出的结果相等,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上的零点为“和谐零点”.试判
断函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间(1,1.5)上按ε=0.1用二分法逐次计算求出的零点是不
是“和谐零点”.
(参考数据: f(1.25)≈-0.984, f(1.375)≈-0.260, f(1.437 5)≈0.165, f(1.406 5)≈-0.052)
解析 函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间(1,1.5)上有f(1)=-2<0, f(1.5)=0.625>0, f(1)·f(1.5)<
0,
故f(x)在(1,1.5)上有零点.
令f(x)=0,即x3+x2-2x-2=0,
所以(x+1)(x- )(x+ )=0,解得x=-1或x=± ,
所以f(x)在(1,1.5)上的零点为 ,
故精确到0.1的零点为1.4.
而根据二分法,将(1,1.5)分为(1,1.25),(1.25,1.5)两个区间,而f(1.25)≈-0.984<0,故f
(x)的零点在(1.25,1.5)上,此时区间长度为0.25>2ε,继续下去,当f(x)的零点在区间
(1.375,1.5)上时,区间长度为0.125<2ε,此时零点的近似解可取 =1.437 5,
显然不等于1.4,故求出的零点不是“和谐零点”.(共31张PPT)
3.3 函数的应用(一)
3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
1.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.
2.了解如何从现实生活中发现问题,并通过数学建模解决实际问题.
常见的函数模型
(1)① 直线 型:即一次函数模型;
(2)② 抛物线 型:即二次函数模型,二次函数的最值问题是高考中的永恒话题,
现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数;
(3)③ 分段函数 型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此
这种模型的应用也比较广泛.
函数应用问题的解法流程
数学建模活动流程
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若一辆汽车匀速行驶2 h,路程为140 km,则该汽车0.5 h行驶了35 km. ( √ )
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则:
(1)甲比乙先出发. ( )
(2)乙比甲跑的路程多. ( )
(3)甲、乙两人的速度相同. ( )
(4)甲先到达终点. ( √ )
商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x
(单位:元/千克)满足关系式y= +10(6-x),其中3问题
1.若a>0,能否判断函数y= +10(6-x)的单调性
提示:能.当a>0时,y= 与y=10(6-x)在(3,6)上均为减函数,从而y= +10(6-x)在
(3,6)上为减函数.
2.当销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.如何确定函数的解析式
提示:依题意得x=5时,y=11,即 +10=11,解得a=2,所以函数的解析式为y= +10
(6-x)(3-x<6).
如何解决已知函数模型的实际应用问题
在实际问题中,涉及的两个变量之间的关系大多符合已知函数模型,如一次函
数、二次函数、反比例函数等,解决这种函数应用问题的常见步骤如下:
1.利用待定系数法求出函数解析式;
2.根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.
在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的
解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最
值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
例如 某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销
量m(件)与每件商品的售价x(元)满足一次函数m=162-3x.若要每天获得最大的销
售利润,则每件商品的售价应定为 ( )
A.30元 B.42元
C.54元 D.越高越好
解析 设日销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,将上式配方得y=-3(x-4
2)2+432,所以当x=42时,利润最大.
答案 B
破疑典例
( )某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利
润列成下表:
投资A种商
品金额(万
元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万
元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商
品金额(万
元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万
元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,请你帮助制订一个资金投入方
案,使该经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大
纯利润(结果保留两位有效数字).
思路点拨:
先利用已知数据画出散点图,然后根据散点图的形状选择函数模型,结合条件求
出函数的解析式及定义域,最后由函数的解析式解决相关问题.
解析 以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,
如图所示.
由散点图可以看出A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用二次函数模型拟合.
取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a≠0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.
15,所以y1=-0.15(x-4)2+2(0B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数
模型拟合.
设y2=kx+b(k≠0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,
得 解得
所以y2=0.25x(0设下个月投入A、B两种商品的资金分别为xA、xB(万元),获得的纯利润分别为
yA、yB(万元),总利润为W(万元),
则xA+xB=12,
W=yA+yB
=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,
所以W=- + (08.8,
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品,可获得
最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.
某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B
地8台.已知从甲地调运一台机器至A地、B地的费用分别为400元和800元,从乙地
调运一台机器至A地、B地的费用分别为300元和500元.
问题
1.设从甲地调运x台机器至A地,能否确定这种机器的调配情况
提示:能.甲地调运x台机器至A地,调运(12-x)台机器至B地,乙地调运(10-x)台机器
至A地,乙地调运(x-4)台机器至B地.
2.若从甲地调运x台机器至A地,能否确定x的取值范围
提示:能.根据实际意义得,x≥0,12-x≥0,10-x≥0,x-4≥0,x∈N,解得4≤x≤10且x∈N.
3.设从甲地调运x台至A地,如何确定总费用y(元)关于台数x的函数解析式
提示:依题意有y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500(x-4)=-200x+10 600(4≤x≤10,且x∈N).
如何解决未知函数模型的实际应用问题
1.解决未知函数模型的实际问题时,主要抓住四点:求什么,设什么,列什么,限制什
么.
(1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务,通常表示为函数值.
(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素,找出变化的根源,通常设
变化的根源为自变量.
(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式,将函数值表示为自变量与已知
量,直至求出函数解析式.
(4)“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件,不仅要考虑自变量是否有意
义,还要考虑用自变量表示的其他量是否有意义,另外还要考虑变量的实际含义,
如整数解等.
2.建立函数模型解决实际问题的步骤:
(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,可用
x,y分别表示问题中的变量;
(2)建立函数模型:将变量y表示成x的函数,注意函数的定义域;
(3)求解函数模型;
(4)给出实际问题的解.
拔高问题
4.若总运费不超过9 000元,如何确定有几种调运方案
提示:令y≤9 000,可得x≥8,
∵x∈[4,10],x∈N,
∴x=8或9或10.故有3种方案使得总运费不超过9 000元.
5.如何确定总运费最低的调运方案及最低的总运费
提示:y=-200x+10 600是减函数,且x∈[4,10],由此可知当x=10时,总运费最低,最低
的总运费为8 600元.调运方案:甲地调运10台至A地,调运2台至B地;乙地6台全调
运至B地.
破疑典例
1.( )要在墙上开一个上部分为半圆,下部分为矩形的窗户(如图),在窗框为定
长l的条件下,要使窗户的透光面积S最大,窗户应具有怎样的尺寸
思路点拨:
选择适当的自变量与函数值,利用各量之间的关系求出函数的解析式与定义域,
从而解决问题.
解析 由题意得窗框总长l= x+x+2y,
∴y= ,
∴S= x2+xy= x2+x· =- + .
由
可得x∈ .
所以当x= 时,S最大,且Smax= ,此时y= .
所以当x= ,y= 时,窗户的透光面积最大.
易错警示 解题时要注意求定义域,不仅要使得自变量表示的量有意义,如本题
中x>0,还要使得自变量表示的其他量也有意义,如 >0等,防止出现定义
域求错导致解题错误.
2.( )商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价
越高,购买人数越少.把购买人数为零时的标价称为无效价格,已知无效价格为每
件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的价格(标价)
出售.
(1)若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标价应定为每件多少元
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润
的75%,那么羊毛衫的标价应为每件多少元
思路点拨:
选择自变量与函数值 求出解析式与定义域 利用函数知识解决实际问题.
解析 (1)设购买人数为n,羊毛衫的标价为每件x元,利润为y元,
则x∈(100,300],可设n=kx+b,易知k<0,由题意知0=300k+b,即b=-300k,∴n=k(x-300),
∴y=k(x-300)(x-100)=k(x-200)2-10 000k(x∈(100,300]).
∵k<0,∴当x=200时,y最大,ymax=-10 000k,即若商场要获得最大利润,则羊毛衫的标
价应定为每件200元.
(2)由题意及(1),知k(x-100)·(x-300)=-10 000k·75%,
化简得x2-400x+37 500=0,解得x=250或x=150,
所以商场要获得最大利润的75%,羊毛衫每件的标价应为250元或150元.
如何利用分段函数模型解决实际应用问题
学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40
min的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:min)之间的关系满足如图所示的
图像.当x∈(0,12]时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点A的坐标为(10,80),
图像过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图像是线段BC,其中点C的坐标为(40,50).
问题
1.由图像确定注意力指数y与听课时间x之间的变化情况.
提示:由题中图像知,当x∈(0,10]时,y随x的增加而增大;当x∈(10,40]时,y随x的增加
而减小.
2.如何确定当x∈(0,12]时,函数f(x)的解析式
提示:当x∈(0,12]时,依题意可设f(x)=a(x-10)2+80(a≠0).因为该部分图像过点B(12,
78),将点B的坐标代入上式,解得a=- ,所以f(x)=- (x-10)2+80(03.如何确定当x∈(12,40]时,函数f(x)的解析式
提示:当x∈(12,40]时,设f(x)=kx+b(k≠0).因为线段BC过点B(12,78),C(40,50),将它
们的坐标分别代入上式,得方程组 解得 所以f(x)=-x+90(1240).
分段函数的解析式由几个不同的函数解析式组成,根据自变量取值范围的不同,
由题设条件确定出不同的函数解析式.
分段函数模型应用的关键是确定分段的边界点,即明确自变量的取值区间,对每
一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.需注意分段函数的最值是各区间上
所有最值中的最值.要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图像求解.
应用分段函数时的三个注意点:
1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3.分段函数值域的求法:逐段求函数值的范围,经过比较后再下结论.
拔高问题
4.如何确定函数f(x)的解析式
提示:将函数用分段形式表示为f(x)=
5.根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.教师在什么时间段安排
核心内容教学,能使得学生学习效果最佳
提示:由题意,得
或
解得4故老师在x∈(4,28)时间段安排核心内容教学,能使得学生学习效果最佳.
破疑典例
1.( )某市居民自来水收费标准如下:当每户每月用水量不超过4立方米时,每
立方米1.8元;当每户每月用水量超过4立方米时,超过部分每立方米3.0元.某月
甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x立方米、3x立方
米.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水
费.
思路点拨:
根据题意确定自变量的分段情况,在每一段范围内求函数的解析式,从而得到分
段函数,利用分段函数解决相关问题.
解析 (1)当甲的用水量不超过4立方米,即5x≤4时,x≤ ,乙的用水量也不超过4
立方米,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;
当甲的用水量超过4立方米,乙的用水量不超过4立方米,即3x≤4,且5x>4时, ,
y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8;
当乙的用水量超过4立方米,即3x>4时,x> ,y=2×4×1.8+(3x-4)×3+(5x-4)×3=24x-9.
6.
所以y=
(2)设y=f(x),
由(1)知y=f(x)在各段区间上均单调递增,
因此,当x∈ 时,y≤f <26.4;当x∈ 时,y≤f <26.4;
当x∈ 时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.
所以甲户该月的用水量为5×1.5=7.5(立方米),水费为4×1.8+3.5×3=17.7(元);
乙户该月的用水量为3×1.5=4.5(立方米),水费为4×1.8+0.5×3=8.7(元).
2.( )提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况
下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上
的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不
超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是
车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:
辆/时, f(x)=xv(x))可以达到最大 并求出最大值.(精确到1辆/时)
思路点拨:
自变量取不同值时,函数值有不同的求法 选分段函数模型 利用分段函数
解决问题.
解析 (1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;
当20设v(x)=ax+b(a≠0),
由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)=
(2)由题意及(1)可得
f(x)=
当0≤x≤20时, f(x)为增函数,
故当x=20时, f(x)取得最大值,最大值为60×20=1 200;
当20所以当x=100时, f(x)在区间(20,200]上取得最大值,最大值为 .
综上,当x=100时, f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/时.