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2.3垂径定理教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：5
课 题 垂径定理 课型 新授课
教学目标 1. 通过猜测、证明，理解和掌握垂径定理； 2. 能利用垂径定理，结合三角形、四边形知识解答问题； 3. 切实提高综合分析、逻辑推理能力，激发学生学习潜能.
教学重点 1. 证明和理解垂径定理； 2. 垂径定理的综合应用.
教学难点 1. 证明垂径定理； 2. 构建直角三角形，利用垂径定理求圆的半径或圆心到到弦的距离.
教 学 活 动
一、情景导入 1、 做一做，说一说： （1）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB与AC的差是2，求AB的长. （2）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠C=60°，BC=6，求 AB的长. 学生口述解答方法，然后回答： （1）什么是勾股定理吗？ （2）我们学过哪三种锐角三角函数？ 2、 找一找，议一议： 如图，在⊙O中，A，B，C，D是圆上的点。CD经过圆心O，交AB于点E。 (1)说出⊙O中的直径、半径和弦； (2)说出⊙O中的等腰三角形； (3)CD把AB所对的弧各分成了哪几条弧？ (4)CD平分AB吗？平分AB所对的弧吗？ 二、教学新知 1、 探究问题，发现结论 如图，在⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E.试问：AE与BE， 与，与分别相等吗？ 师生讨论，PPT展示： 因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图，我们发现AE与BE重合，，分别与，重合，即AE=BE，=，=. 2、 证明结论，得出定理 （1）启发：由已知CD⊥AB，要证AE与BE，你能想到添加辅助线作一个怎样的三角形来证明？ 生：连接OA，OB，得等腰三角形来证明。 （2）讲解证明过程 (PPT)证明: 连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵ OE⊥AB， ∴ AE=BE， ∠AOD=∠BOD. 从而 ∠AOC=∠BOC. ∴ =，=. （3）归纳结论 【PPT】由此得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 三、例题讲解 （一）教学例1 例1 如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长. 1、 分析：①根据垂径定理求出AE； ②连接半径OA，设半径长为rcm，利用勾股定理求出r即可求出直径CD的长。 2、 证明：连接OA. 设OA=rcm，则OE=r-2(cm) ∵ CD⊥AB， 由垂径定理得， AE==4(cm). 在Rt△AEO中，由勾股定理得 OA =OE +AE ， 即r =(r-2) +4 . 解得 r=5. ∴ CD=2r=10(cm). （二）教学例2 例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 1、 画图，写出已知和求证 （1）思路引导： ①根据命题画图；②写出已知求证；③写出证明过程. （2）PPT： 已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行. 求证：=. 2、 讲解证明过程 证明：作直径EF⊥AB， ∴ =. 又∵ AB∥CD， EF⊥AB， ∴ EF⊥CD. ∴ =. 因此 -=-， 即 =. ∴ ∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC， 即 ∠BAC=∠BOC. 四、巩固练习 1、 如图，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E，连接OC，若AB=6，∠A=30°， 则OE的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 2、 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论正确是（ ） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. ∠B=∠C D. ∠B=∠AOD 【答案】B 3、 (沈河区模拟)如图，圆弧形拱桥的跨径AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的半径为 。 【答案】6.5m 【解析】根据垂径定理，则圆心O一定在弦AB的垂直平分线上，因而在CD的延长线上。 设圆心为O，⊙O的半径OA为rm. ∵ AB=12，∴ AD=6，OD=r-4. 在Rt△AOD中，由勾股定理得， OD +AD =OA ，即(r-4) +6 =r ， 解得r=6.5. 因此拱桥的半径为6.5m. 五、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 什么叫作垂径定理？ PPT：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2、 在圆中，添加辅助线构成的三角形，常用的有哪些？ PPT：①以两条半径及所夹的弦构成的等腰三角形； ②过圆心作弦的垂线、作半径，构成直角三角形； ③连接直径所对的弧上的点与直径端点，构成直角三角形。 六、作业布置 1、 第59页课后练习题： 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC= 8cm， AB =10cm， OD⊥BC与点D，求BD的长. 解：∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴ ∠C=90°. 在Rt△AOD中，由勾股定理易得BC=6cm. ∵ OD⊥BC与点D， ∴ BD=BC=3cm. 2、 补充题： 如图，把球放在长方体塑料箱内， 球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD =16cm， 求球的半径. 思路：（1）过圆心O作OG⊥AD，垂足为G，则OG⊥BC， 垂足为K.连接OE. ∴ GK=DC=16cm. 设半径OE=rcm，则OG=(16-r)cm. （2）根据垂径定理求出EG. （3）利用勾股定理即可求出球的半径r. （学生独立完成，做在作业本上）
板书设计 1.3垂径定理 1、 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2、 在圆中，添加辅助线构成的三角形的方法： ①以两条半径及所夹的弦构成的等腰三角形； ②过圆心作弦的垂线、作半径，构成直角三角形； ③连接直径所对的弧上的点与直径端点，构成直角三角形。 3、 利用垂径定理解题时，利用三角形、四边形的有关性质和定理，其中利用勾股定理，锐角三角函数最为常见。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
*2.3垂径定理
湘教版 九年级下
教学目标
1. 通过猜测、证明，理解和掌握垂径定理；
2. 能利用垂径定理，结合三角形、四边形知识解答问题；
3. 切实提高综合分析、逻辑推理能力，激发学生学习潜能.
新知导入
1. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB与AC的差
是2，求AB的长.
2. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠C=60°，BC=6，求
AB的长.
做一做，说一说：
你能说出勾股定理吗？你能说出哪三种锐角三角函数吗？
新知导入
如图，在⊙O中，A，B，C，D是圆上的点。CD经过圆心O，交AB于点E。
(1)指出⊙O中的直径、半径和弦；
(2)说出⊙O中的等腰三角形；
(3)CD把AB所对的弧各分成了哪几条弧？
(4)CD平分AB吗？平分AB所对的弧吗？
找一找，议一议：
新知讲解
说一说
如图，在⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E.试问：AE与BE，AC与BC，AD与BD分别相等吗？
A
B
C
O
D
E
因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图，我们发现AE与BE重合，AC，AD分别与BC，BD重合，即AE=BE，AC=BC，AD=BD.
新知讲解
根据圆是轴对称图形，你能发现什么结论？
(A)
如何证明这个结论呢？
证明: 连接OA，OB.
∵ OA=OB，
∴ △OAB是等腰三角形.
∵ OE⊥AB，
∴ AE=BE， ∠AOD=∠BOD.
从而 ∠AOC=∠BOC.
∴ AC=BC，AD=BD.
新知讲解
由此得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
新知讲解
例题讲解
例1 如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长.
思路引导：
1. 由垂径定理得，AE= .
2. 设圆的直径为rcm，则OE= .
3. 连接OA，则OA=r，在Rt△AEO中，
由 定理即可求出半径r的长，从而可得直径CD的长.
(r-2)cm
勾股
解：连接OA.
设OA=rcm，则OE=r-2(cm)
∵ CD⊥AB，
在Rt△AEO中，由勾股定理得
OA =OE +AE ， 即r =(r-2) +4 .
解得 r=5.
∴ CD=2r=10(cm).
由垂径定理得
例题讲解
例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
思路引导：
1. 根据命题画图；
2. 写出已知求证；
3. 写出证明过程.
已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行.
求证：AC=BD. .
例题讲解
例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
思路引导：
1. 作直径EF⊥AB，可利用垂径定理；
2. 要证明AC=BD，就只需证明
.
例题讲解
证明：作直径EF⊥AB，
又∵ AB∥CD， EF⊥AB，
∴ AE=BE.
∴ EF⊥CD.
∴ CE=DE.
因此 AE-CE=BE-DE，
即 AC=BD.
例题讲解
巩固练习
1. 如图，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E，连接OC，若AB=6，∠A=30°，则OE的长是（ ）
A. 3
B.
C.
D.
B
2. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论正确是
（ ）
A. ∠A=∠B
B. ∠A=∠C
C. ∠B=∠C
D. ∠B=∠AOD
巩固练习
B
巩固练习
3. (沈河区模拟)如图，圆弧形拱桥的跨径AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的半径为 。
巩固练习
解：根据垂径定理，则圆心O一定在弦AB的垂直平分线上，因而在CD的延长线上。
设圆心为O，⊙O的半径OA为rm.
∵ AB=12，∴ AD=6，OD=r-4.
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD +AD =OA ，即(r-4) +6 =r ，解得r=6.5.
因此拱桥的半径为6.5m.
课堂总结
1. 什么叫作垂径定理？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2. 在圆中，添加辅助线构成的三角形，常用的有哪些？
①以两条半径及所夹的弦构成的等腰三角形；
②过圆心作弦的垂线、作半径，构成直角三角形；
③连接直径所对的弧上的点与直径端点，构成直角三角形。
作业布置
第59页课后练习题：
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC= 8cm， AB =10cm， OD⊥BC与点D，求BD的长.
解：∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴ ∠C=90°.
在Rt△AOD中，由勾股定理易得BC=6cm.
∵ OD⊥BC与点D，
∴ BDcm
.
作业布置
补充题：
如图，把球放在长方体塑料箱内， 球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD =16cm， 求球的半径.
作业布置
思路：1.过圆心O作OG⊥AD，垂足为G，则OG⊥BC，垂足为K.连接OE.
∴ GK=DC=16cm.
设半径OE=rcm，则OG=(16-r)cm.
2. 根据垂径定理求出EG.
3. 利用勾股定理即可求出球的半径r.
(独立完成，写在作业本上)
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
