(共27张PPT)
2.4过不共线三点作圆
湘教版 九年级下
教学目标
1. 理解确定一个圆的条件：①过三点；②三点不共线 .
2. 学会过不共线三点作圆的方法，能画三角形的外接圆；
3. 掌握三角形的外接圆及外心的概念；
4. 能运用垂径定理等相关知识求三角形的外接圆半径，能解答与三角形的外接圆有关的实际问题.
新知导入
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
1. 线段的垂直平分线的性质定理是什么？
到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
2. 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？
新知导入
思路：要使点P到三角形的顶点的距离相等，就要作出的两条边的垂直平分线.
3. 如图，已知△ABC，如何求作一点P，使点P到△ABC的三个顶点的距离相等？
作法：①作AB边的垂直平分线；
②作BC边的垂直平分线；
则两条垂直平分线的交点O到△ABC三个顶点的距离相等的点，如图所示。
新知讲解
1.如何过一点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
2.如何过两点A，B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
动脑筋
对应问题1，以不与A重合的任意一点为圆心，以这个点和点A的距离为半径画圆即可，如右图动画。
新知讲解
A
O
O
O
由作图可知，过点A可以作无数个圆.
对于问题2，作线段AB的垂直平分线l，以l上任意一点为圆心，以这点和点A(或点B)的距离为半径画圆即可，如图动画.
新知讲解
因为垂直平分线l上的点到线段AB两端距离相等的点有无数个，因此过点A，B可以作无数个圆.
A ●
●B
●O
●O
●O
l
新知讲解
如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？
动脑筋
已知：不在同一直线上的三点A、B、C，
求作： ⊙O，使它经过点A、B、C.
新知讲解
分析： 由于圆心O与三点A、B、C的距离相等，因此圆心O既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上.
A
B
C
作法：
(1) 连结AB，作线段AB的垂直平分线 EF；
(2)连接BC，作线段BC的垂直平分线MN；
(3)以EF和 MN 的交点O为圆心，以OA为半径作圆.则⊙O就是所求作的圆，如图.
新知讲解
由作法和上面的分析可知，过不在同一直线上的三点A，B，C可以作一个圆且只可以作一个圆.
新知讲解
过在同一条直线上的三点A，B，C可以作一个圆吗？
因为圆心是线段AB，BC的垂直平分线DE，FG的交点，而点A，B，C在一条直线上，则DE∥FG.圆心不存在。因此过在同一直线上的三点不能作一个圆.如图.
新知讲解
经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？
说一说
由于△ABC的三个顶点不在同一直线上，因此过这三个顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆.
合作探究
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，如右图.
从前面的讨论知道，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.
巩固练习
D
1. 三角形的外心是指 （ ）
A. 三角形的三条高的交点
B. 三角形的三条中线的交点
C. 三角形的三条角平分线的交点
D. 三角形的三条边的垂直平分线的交点
巩固练习
B
2. 下列说法正确的是 （ ）
A. 三点确定一个圆
B. 三角形的两条边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆圆心
C. 长度相等的弧是等弧
D. 圆周角的度数等于圆心角的度数的一半
巩固练习
B
3. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠A=64°，则∠BCO的度数是 （ ）
A. 24°
B. 26°
C. 28°
D. 32°
提示：连接OB，利用圆周角定理和等腰三角形的性质解答.
巩固练习
4. 在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，若要剪切一张圆形塑料板盖住该三角形，则圆形塑料板的半径不小于多少cm？
分析：恰好能够盖住△ABC的圆是△ABC的外接圆.能够盖住△ABC的圆的半径不小于这个外接圆的半径.因此求出△ABC的外接圆半径即可.
巩固练习
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，若要剪切一张圆形塑料板盖住该三角形，则圆形塑料板的半径不小于多少cm？
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，作AB的垂直平分线与相交于点O.则点O为△ABC的外接圆圆心.
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=CD=6cm，
巩固练习
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
==8cm.
连接BO.设圆形塑料板的半径为rcm，则
OD=(8-r)cm.
在Rt△OBD中，OD +BD =OB ，
即(8-r) +6 =r .
解得
因此圆形塑料板的半径不小于
课堂总结
1. 什么条件下的点确定一个圆？
过不在同一条直线上的三点确定一个圆.
2. 怎样过不共线三点作圆？
①顺次连接两点之间的线段AB，BC；
②分别作其中两条线段的垂直平分线，作出交点O；
③以点O为圆心，以OA为半径画圆。
课堂总结
3. 什么叫作三角形的外接圆？什么叫作三角形的外心？
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形.
三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.三角形的外接圆半径等于连接外心与三角形任意一个顶点的线段的长度.
作业布置
第62页课后练习第1、2题：
1. 画一个任意三角形，作出这个三角形的外接圆.
2. 如图是一块破残的圆形玻璃镜，现要复制一块同样大小的玻璃，你能画出要复制的圆形玻璃镜吗？
作业布置
第2题解：
能。先确定破残破残的圆心和半径。在玻璃边缘顺序取A，B，C三点，连结AB，作线段AB的垂直平分线 EF；连接BC，作线段BC的垂直平分线MN.EF和MN 的交点O即为破残玻璃的圆心，连接OA，即得破残玻璃的半径.再画一块以OA的长为半径的圆得圆形玻璃镜图，如右图.
作业布置
2. 怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径，并标出圆心.
提示：把三角板的直角顶点置于圆上，沿直角边画连接圆上两点的弦即为圆的一条直径。再把三角板的直角顶点置于圆上另一位置，画出圆的另一条直径。两条直径的交点即为圆心.
作业布置
3. 如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCE=85°，求∠A的度数.
解：∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠A+∠BCD=180°.
又∵ ∠DCE+∠BCD=180°，
∠DCE=85°，
∴ ∠DCE=95°.
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2.4过不共线三点作圆教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：4
课 题 过不共线三点作圆 课型 新授课
教学目标 1. 理解确定一个圆的充要条件：①过三点；②三点不共线 . ； 2. 学会过不共线三点作圆的方法，能画三角形的外接圆；； 3. 掌握三角形的外接圆及外心的概念； 4. 能运用垂径定理等相关知识求三角形的外接圆半径，能解答与三角形的外接圆有关的实际问题.
教学重点 1. 通过探讨，理解确定一个圆的条件； 2. 通过操作，学会过不共线三点作圆的方法和步骤； 3. 学会解答与三角形的外接圆有关的实际问题.
教学难点 1. 过不共线三点作圆的方法和步骤； 2. 解答与三角形的外接圆有关的实际问题.
教 学 活 动
一、温故导新 师问生答，PPT展示： 1、 线段的垂直平分线的性质定理是什么？ PPT：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 2、 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？ PPT：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上. 3、 如图，已知△ABC，如何求作一点P，使点P到△ABC的三个顶点的距离相等？ 思路引导：要使点P到三角形的顶点的距离相等，就要作出的两条边的垂直平分线. 展示作法：①作AB边的垂直平分线； ②作BC边的垂直平分线； 则两条垂直平分线的交点O到△ABC三个顶点的距离相等的 点，如图所示。 二、教学新知 （一）探究过一点或两点作圆 出示问题： （1）如何过一点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？如何过两点A，B作一个（2）圆？过两点可以作多少个圆？ 1、 过一点A可以作多少个圆 （1）教师讲解 对应问题（1），以不与A重合的任意一点为圆心，以这个点 和点A的距离为半径画圆即可。 （2）教师展示作圆动画（见课件） （2）学生选择圆心的不同位置，过一点A作圆； （3）结论：由作图可知，过一点A可以作无数个圆. 2、 过两点A，B作一个圆 （1）教师讲解 对应问题（2），作线段AB的垂直平分线l，以l上任意一点 为圆心，以这点和点A(或点B)的距离为半径画圆即可，如图 动画. （2）教师展示作圆动画（见课件） （2）学生过两点A，B作圆； （3）结论：因为垂直平分线l上的点到线段AB两端距离相 等的点有无数个，因此过点A，B可以作无数个圆. （二）探究过不共线三点作圆 出示问题 动脑筋：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？ 1、 根据问题画图，写出已知、求作 已知：不在同一直线上的三点A、B、C， 求作： ⊙O，使它经过点A、B、C. 2、 分析： 由于圆心O与三点A、B、C的距离相等，因此圆心O既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上. 3、 讲解作法 （1）连结AB，作线段AB的垂直平分线 EF； （2）连接BC，作线段BC的垂直平分线MN； （3）以EF和 MN 的交点O为圆心，以OA为半径作圆.则⊙O就是所求作的圆，如图. 4、 引导学生自己作圆 5、 学生讨论 过在同一条直线上的三点A，B，C可以作一个圆吗？ 生：因为圆心是线段AB，BC的垂直平分线DE，FG的交点，而点A，B，C在一 条直线上，则DE∥FG.圆心不存在。因此过在同一直线上的三点不能作一个圆. 6、 归纳总结 由作法和上面的分析可知，过不在同一直线上的三点A，B，C可以作一个圆且只可以作一个圆. （三）讲解三角形的外接圆和外心的概念 1、 探究问题 经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？ 生：由于△ABC的三个顶点不在同一直线上，因此过这三个顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆. 讲解概念 （1）出示图片 （2）教师讲解 ①经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，如图. ②三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点 三、巩固练习 1、 三角形的外心是指（ ） A. 三角形的三条高的交点 B. 三角形的三条中线的交点 C. 三角形的三条角平分线的交点 D. 三角形的三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 2、 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的两条边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆圆心 C. 长度相等的弧是等弧 D. 圆周角的度数等于圆心角的度数的一半 【答案】B 3、 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠A=64°，则∠BCO的度数是 （ ） A. 24° B. 26° C. 28° D. 32° 【答案】B 【提示】连接OB，利用圆周角定理和等腰三角形的性质解答. 4、 在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，若要剪切一张圆形塑料板盖住该三角形，则圆形塑料板的半径不小于多少cm？ 分析：恰好能够盖住△ABC的圆是△ABC的外接圆.能够盖住△ABC的圆的半径不小于这个外接圆的半径.因此求出△ABC的外接圆半径即可. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，作AB的垂直平分线与相交于点O.则点O为△ABC的外接圆圆心. ∵ AB=AC，AD⊥BC， ∴ BD=CD=6cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， 四、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 圆的直径与它所对的圆周角有什么关系？ PPT：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 2、 什么叫作圆内接四边形？什么叫作四边形的外接圆？ PPT：顺次连接圆上四点，得到的四边形叫作圆内接四边形.这个圆叫作四边形的外接圆。 3、 圆内接四边形的角有什么关系？ PPT： 圆内接四边形的对角互补. 五、作业布置 第55页课后练习第1、2、3题： 1、 如图，在⊙O中，AB是直径，C，D是圆上两点，且AC=AD。求证：BC=BD. 证明：∵AB是直径，C，D是圆上两点， ∴ ∠C=∠D=90°. 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ∵ AC=AD，AB=AB， ∴ Rt△ABC≌Rt△ABD. ∴ BC=BD. 2、 怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径，并标出圆心. 提示：把三角板的直角顶点置于圆上，沿直角边画连接圆上两点的弦即为圆的一条直径。再把三角板的直角顶点置于圆上另一位置，画出圆的另一条直径。两条直径的交点即为圆心. 3、 如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCE=85°，求∠A的度数. 解：∵ 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴ ∠A+∠BCD=180°. 又∵ ∠DCE+∠BCD=180°， ∠DCE=85°， ∴ ∠DCE=95°.
板书设计 2.4过不共线三点作圆 1、 确定一个圆的条件 2、 过三点作圆. 3、 三角形的外接圆和外心的概念； 4、 求三角形的外接圆半径及与三角形的外接圆有关的问题.
课后反思
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