垂直于弦的直径(第一课时)
文档属性
| 名称 | 垂直于弦的直径(第一课时) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 621.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-10-27 16:36:40 | ||
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文档简介
课件48张PPT。24.1.2垂直于弦的直径人教版 九年级上册知识回顾：1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，OABC（1）若∠B=40 ° ，则∠AOC=______（2）若∠AOC=70 ° ，则∠B=______2.如图所示：在△ABC中， ∠C=90 ° ，（1）AB=10，BC=6，则AC=________（2）AC=6，BC=2，则AB=________80° 35° 8教学程序设疑激趣，导入新课O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。24.1.2 垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE24.1.2 垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE教学程序自己动手，探索新知说理叠 合 法证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。
因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒·ABCDOPAP = BP，求证：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。已知： 连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，∴AP=BP.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,证:垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心
（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧几何语言表达垂径定理：·ACDOPBOABDCOEABCODABCODABC应用垂径定理的几个基本图（1）判断下列图形那些符合垂径定理？例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题. 变式一:在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O 到AB的距离.变式二:在⊙O中,直径为10cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求弦AB的长.思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系?已知：已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
小结：①作“弦心距”是很重要的一条辅助线，它可以和垂径定理相联系。 ②圆的半径，弦的一半及弦心距可构成直角三角形。因此只要知道圆中半径（直径），弦，弦心距中任意两个量，就可以求出第三个量。 教学程序例题学习解：（1）以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆C,D两点，问：AC与BD相等吗？
（2）如图：若将直径向下移动，变为非直径的弦AB，交小圆于C,D两点，是否仍有AC=BD呢？
例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BDE（3）如图，将大圆去掉，
已知：AC=BD
求证：∠A=∠B
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°，
求CD的长。说明：
解决有关圆的问题，
常常需要添加辅助线，
针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规律，本例和上例中作“垂直于弦的直径”就是一个很好的例证。练习F（4）如图，将小圆去掉，若
已知：AC=BD
求证：△OCD是等腰三角形2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形.发散题：有一截面为圆形的输油管，
内径为650mm,若油面宽为600mm，
求油的深度。· 圆O的半径是5cm,AB、CD是圆O
的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，
求AB、CD之间的距离。 （1） （2） 小结: 解决弦时常用的辅助线：
过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO教学程序合作交流，归纳总结教学程序课外升华1、必做题：教材87页练习1，2
2、选做题：古人常将玉璜（huáng）悬挂于胸前.你能利用所学的结论，帮助考古学家确定这个璜的
佩戴绳孔的位置吗？
（提示：绳孔在璜的中间
偏上位置.）耐心填一填:如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径, 则_________, ____________, ___________. ·MOABNC2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 103. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于 点C,则下列结论错误的是( )
A. ∠AOC=∠ BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN
4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是__________.
5、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是______________.AC=BCA C⌒⌒0＜x≤62或8·MNOAB图2图1C1.在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°, 那么弦AB的弦心距是 . 圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距。2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为 . 谢谢指导！
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。
所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。
因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒·ABCDOPAP = BP，求证：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。已知： 连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，∴AP=BP.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,证:垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心
（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧几何语言表达垂径定理：·ACDOPBOABDCOEABCODABCODABC应用垂径定理的几个基本图（1）判断下列图形那些符合垂径定理？例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题. 变式一:在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O 到AB的距离.变式二:在⊙O中,直径为10cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求弦AB的长.思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系?已知：已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。
小结：①作“弦心距”是很重要的一条辅助线，它可以和垂径定理相联系。 ②圆的半径，弦的一半及弦心距可构成直角三角形。因此只要知道圆中半径（直径），弦，弦心距中任意两个量，就可以求出第三个量。 教学程序例题学习解：（1）以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆C,D两点，问：AC与BD相等吗？
（2）如图：若将直径向下移动，变为非直径的弦AB，交小圆于C,D两点，是否仍有AC=BD呢？
例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BDE（3）如图，将大圆去掉，
已知：AC=BD
求证：∠A=∠B
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°，
求CD的长。说明：
解决有关圆的问题，
常常需要添加辅助线，
针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规律，本例和上例中作“垂直于弦的直径”就是一个很好的例证。练习F（4）如图，将小圆去掉，若
已知：AC=BD
求证：△OCD是等腰三角形2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形.发散题：有一截面为圆形的输油管，
内径为650mm,若油面宽为600mm，
求油的深度。· 圆O的半径是5cm,AB、CD是圆O
的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，
求AB、CD之间的距离。 （1） （2） 小结: 解决弦时常用的辅助线：
过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO教学程序合作交流，归纳总结教学程序课外升华1、必做题：教材87页练习1，2
2、选做题：古人常将玉璜（huáng）悬挂于胸前.你能利用所学的结论，帮助考古学家确定这个璜的
佩戴绳孔的位置吗？
（提示：绳孔在璜的中间
偏上位置.）耐心填一填:如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径, 则_________, ____________, ___________. ·MOABNC2. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 103. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于 点C,则下列结论错误的是( )
A. ∠AOC=∠ BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN
4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是__________.
5、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是______________.AC=BCA C⌒⌒0＜x≤62或8·MNOAB图2图1C1.在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°, 那么弦AB的弦心距是 . 圆的圆心到圆上弦的距离叫做弦心距。2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为 . 谢谢指导！
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