2021-2022学年九年级数学下册苏科版7.3特殊角的三角函数～7.4由三角函数值求锐角 阶段练习（Word版含答案）

阶段综合练：7.3特殊角的三角函数～7.4由三角函数值求锐角
---2021-2022学年九年级数学下册（苏科版）
一、选择题
1、2cos30°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
2、方程，则锐角　　
A． B． C． D．无法确定
3、已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于（　　）
A．70° B．60° C．50° D．30°
4、在中，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
5、如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A． B． C． D．
6、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB=，你认为△ABC最确切的判断是（　　）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
7、点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(，) B．(－，－) C．(－，) D．(－，－)
8、sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（　　）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
9、锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
10、如图，四边形是的内接四边形，，，，，
则的长为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
11、计算：=_________．
12、若，则锐角的度数为　　．
13、已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）=，则α＝　 　．
14、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．
15、已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
16、在中，若，则的度数是______．
17、若，那么的形状是_____．
18、半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 ____．
19、如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD相交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠FAG的值为____．
20、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是_____．
三、解答题
21、（1）计算：．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，求∠A的正弦值，余弦值和正切值．
22、（1）在中，，．求的度数．
（2）在直角三角形中，已知，求的值．
23、如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，求tan∠AEO的值．
24、如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：
(1)AB边上的高线(精确到0.01)；
(2)∠B的度数(精确到1′)．
25、在中，，，，分别是，，的对边．
（1）已知，，求；
（2）已知，，求．
阶段综合练：7.3特殊角的三角函数～7.4由三角函数值求锐角
---2021-2022学年九年级数学下册（苏科版）（解析）
一、选择题
1、2cos30°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解析】2cos30°＝2．
故选：C．
2、方程，则锐角　　
A． B． C． D．无法确定
【分析】根据的正切值是解答．
【解析】，
锐角，
故选：．
3、已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于（　　）
A．70° B．60° C．50° D．30°
【解析】∵sin（α﹣10°）=，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故选：A．
4、在中，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】首先作出图形，可得，继而可求得的度数．
【解析】在中，，，
，
则．
故选：．
5、如图，直径为10的⊙A山经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC.
【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，∴CD为直径，
∵直径为10，∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，∴cos∠OBC=cos30°= ．
故选C.
6、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB=，你认为△ABC最确切的判断是（　　）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解析】由题意，得
∠A＝45°，∠B＝45°．
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
故选：B．
7、点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(，) B．(－，－) C．(－，) D．(－，－)
【答案】B
【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（-，），
∴点（-sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（-，-）．
故选B．
8、sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（　　）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解答】解：sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
9、锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
【详解】解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
10、如图，四边形是的内接四边形，，，，，
则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；
【详解】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，
∵∠B=90°，∠BCD=120°，∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDC= 90°，
在Rt△CDE中，tan30°=，∴DE==，
在Rt△ABE中，sin30°=，∴AB==4，
∴AD=AE-DE=,故选C
二、填空题
11、计算：=_________．
【答案】
【分析】
，代入计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=
故答案为
12、若，则锐角的度数为　　．
【分析】解答之前要知道，进而可以求出的大小．
【解析】，
，
，
，
故答案为：．
13、已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）=，则α＝　 　．
【分析】求出sinα的值即可解决问题；
【解答】解：∵sinα+cos（90°﹣α）=，
∴2sinα=，
∴sinα=，
∴α＝60°，
故答案为60°．
14、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．
【答案】
【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．
【详解】解：∵，
∴∠A＝60°，
∴．
故答案为．
15、已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
【答案】20°＜∠A＜30°．
【详解】∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，
∴cos30°＜cosA＜cos20°，
∴20°＜∠A＜30°．
16、在中，若，则的度数是______．
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出，，再由特殊角的三角函数值求出与的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】在中，，
，，
，，
，
故答案为．
17、若，那么的形状是_____．
【答案】锐角三角形
【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案．
【详解】∵，∴cos2A-=0，tan-=0，
∴cosA=（负值舍去），tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是锐角三角形，故答案为：锐角三角形
18、半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 ____．
【答案】120°
【分析】作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，在直角三角形中，利用，根据比值求得 的度数，从而知道 的度数，即可进一步求得最后答案．
【详解】如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，∴AD＝AB＝（cm），
∵ cos A＝，∴∠A＝，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，答案为：120°．
19、如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD相交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠FAG的值为____．
【解】　在△CAD与△ABE中，
∵∴△CAD≌△ABE(SAS)，∴∠ACD＝∠BAE.
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠ACD＋∠CAE＝60°，∴∠AFG＝60°，
∴在Rt△AFG中，∠FAG＝90°－60°＝30°，∴sin∠FAG＝.
20、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是_____．
【答案】．
【分析】
作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，过点M作MF⊥BC于F，利用矩形的判定方法证出四边形ABFM是矩形，再利用矩形的性质求出线段和的长，利用三角函数的比值关系即可得到∠E＝∠PNE＝30°，利用三角形外角的性质可得出∠MPN＝，再根据三角函数特殊值求解即可．
【详解】
如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，
∴NC＝CE，PN＝PE，
∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，∴四边形ABFM是矩形，∴AB＝MF＝2，AM＝BF，
∵AM＝CN，∴BF＝AM＝CN＝CE，∴BC＝EF＝，
∵,∴∠E＝30°，
∵PN＝PE，∴∠E＝∠PNE＝30°，
∴∠MPN＝60°，∴tan∠MPN＝，故答案为．
三、解答题
21、（1）计算：．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，求∠A的正弦值，余弦值和正切值．
【答案】（1）1；（2）sinA，cosA，tanA．
【分析】（1）先代入特殊角三角函数值，然后先算乘方，化简二次根式，再算乘法，最后算加减；
（2）根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：（1）4cos30°+tan245° 2tan60°=1；
（2）由勾股定理得，，
则sinA=，cosA=，tanA=．
22、（1）在中，，．求的度数．
（2）在直角三角形中，已知，求的值．
【分析】（1）由条件根据的余弦值求得的值，再根据三角形的内角和定理求即可．
（2）根据角的正弦设，，得的长，根据三角函数的定义可得结论．
【解析】（1）在中，，，
，；
（2），
设，，，
．
23、如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，求tan∠AEO的值．
【解】　∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC.
∵BF⊥AC，∴∠ABF＝∠ABC＝30°.
∵AB＝AC，AE＝AC，∴AB＝AE.
∵AO平分∠BAE，∴∠BAO＝∠EAO.
在△BAO和△EAO中，∵∴△BAO≌△EAO(SAS)，∴∠AEO＝∠ABO＝30°，
∴tan∠AEO＝tan30°＝.
24、如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：
(1)AB边上的高线(精确到0.01)；
(2)∠B的度数(精确到1′)．
解：(1)如答图，过点C作AB边上的高线CH，垂足为H.
∵在Rt△ACH中，sinA＝， ∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69；
(2)∵在Rt△ACH中，cosA＝，∴AH＝AC·cosA＝9cos48°，
∴在Rt△BCH中，tanB＝＝＝≈3.382， ∴∠B≈73°52′.
25、在中，，，，分别是，，的对边．
（1）已知，，求；
（2）已知，，求．
【分析】（1）根据求值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案；
（2）根据锐角三角函数的定义求出的值，再根据勾股定理求出答案即可．
【解析】（1），
；
（2），
，
．