2021-2022学年华师大版八年级数学上册第13章全等三角形 期末综合复习训练 （Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年华师大版八年级数学上册第13章全等三角形 期末综合复习训练 （Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 341.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-24 16:28:52 | ||
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文档简介
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》
期末综合复习训练（附答案）
1．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角．若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是（ ）
A．65° B．25° C．90° D．115°
2．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的面积为18，BC＝6，则BC边上的高等于（ ）
A．13 B．3 C．4 D．6
3．如图，△ABC、△ADE、△DFG均为等边三角形，C、E、F三点共线，且E是CF的中点，下列结论：①△ADG≌△EDF；②△AEC为等腰三角形；③DF＝AD+GE；④∠BAG＝∠BCE；⑤∠GEB＝60°，其中正确的个数为（ ）
A．②④⑤ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④
4．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
7．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝10，则点P到AB的距离是（ ）
A．15 B．12 C．5 D．10
8．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．8cm或10cm D．不能确定
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
11．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当∠A大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是（ ）
A．EF＞BE+CF B．EF＜BE+CF C．EF＝BE+CF D．不能确定
12．如图，△ABC是等边三角形，边长为6，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则△ADE的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
13．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
15．下列四个命题：①相等的两个角是对顶角；②同角的补角相等；③若PA+PB＝AB，则点P必在线段AB上；④两个形状相同的三角形是全等三角形．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠DCB＝43°，则∠ABC＝ ．
17．如图，在△ABC与△BAD中，要证明△ABC≌△BAD，（1）若∠ABD＝∠CAB，若以“SAS”为依据，还需添加的条件是 ；（2）若∠ABD＝∠CAB，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是 ；（3）若∠ABD＝∠CAB，若以“AAS”为依据，还需添加的条件是 ；（4）若∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是 （填一个即可）．
18．在△ABC中，AD⊥BC于D，要用“HL“证明Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是 ．
19．已知△ABC中，AB＝3，中线AD＝4，则AC的取值范围是 ．
20．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理．
21．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，若三角形内有一点P到各边距离相等，则这个距离等于 cm．
22．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB＝3cm，则AC＝ cm．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝7cm，DE＝3cm，则BC＝ cm．
24．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为 ．
25．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段CE的长为 ．
26．如图，△ABC≌△ADE，当∠1＝ °时，△ABD是等边三角形，请说明理由．
27．如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q．
（1）求证：MP⊥MQ；
（2）求证：△BMP≌△MCQ．
28．如图，△ABD与△CDE都是等边三角形，若BE与AC相交于点F．
（1）求∠BFA的度数；
（2）连接FD，求证：FD平分∠AFE．
29．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝10米，请根据上述信息求标语CD的长度．
30．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
参考答案
1．解：∵点O在直线AE上，OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠COE＝90°，
∵∠DOB是直角，∠1＝25°，
∴∠BOC＝∠DOB﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，
∵∠AOB+∠BOC＝∠AOC＝90°
∴∠AOB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
2．解：设△ABC的面积为S，边BC上的高为h，
∵△ABC≌△DEF，BC＝6，△DEF的面积为18，
∴两三角形的面积相等即S＝18，
又S＝ BC h＝18，
∴h＝6，
故选：D．
3．解：∵△ADE、△DFG，△ABC为等边三角形，
∴DA＝DE，DG＝DG，∠ADE＝∠FGD＝∠AED＝∠ACB＝∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠ADG＝∠EDF，∠DAB＝∠CAE，
∴△ADG≌△EDF（SAS），故①正确
∴∠DEF＝∠DAG，
∵∠DEF+∠AED＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+∠ABC﹣∠BCF，
∴∠EAC﹣∠DEF＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠DAB﹣∠DAG＝∠CAE﹣∠DEF，
∴∠BAG＝∠BCF，故④正确，
∵DF+EG＝DG+GE≥DE，
∴DF+GE≠AD，故③错误．
设AG交CF于点O，DG交CF于K．
∵△ADG≌△EDF，
∴∠OGK＝∠FKD，EF＝AG，
∵∠GKO＝∠FKD，
∴∠GOK＝∠FDK＝60°，
∴∠AOC＝∠GOK＝∠ABC＝60°，
∴∠BAG＝∠BCE，
∵EF＝CE，
∴AG＝CE，
∵AB＝CB，
∴△BAG≌△BCE（SAS），
∴BG＝BE，∠ABG＝∠CBE，
∴∠EBG＝∠ABC＝60°，
∴△EBG是等边三角形，
∴∠EGB＝60°，故⑤正确，
无法判断AC＝EC，故△ACE不一定是等腰三角形，故②错误，
故选：C．
4．解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
5．解：∵∠B＝40°，AB＝CB，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（SAS），
∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故选：C．
6．解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
7．解：过P点作PF⊥AB于F，如图，
∵AD平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，
∴PF＝PE＝10，
即点P到AB的距离为10．
故选：D．
8．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．
故选：B．
9．解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），
当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，
故选：B．
10．解：∵BE是中线得到AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴∠ABC＝∠DAC，
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
而∠ACB＝2∠ACF，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：C．
11．解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE，
同理DF＝FC，
∴ED+DF＝BE+FC，
即EF＝BE+CF，
故选：C．
12．解：∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴AB＝AC＝6．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC＝∠DBF，∠EFC＝∠FCB＝∠ECF，
∴DB＝DF，EC＝EF，
∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝12．
故选：D．
13．解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
14．解：作DE⊥AB于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∴DC＝DE＝4，
∴△ABD的面积＝×12×4＝24．
故选：B．
15．解：①相等的两个角不一定是对顶角，本小题说法是假命题；
②同角的补角相等，本小题说法是真命题；
③若PA+PB＝AB，则点P必在线段AB上，本小题说法是真命题；
④两个形状相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小题说法是假命题；
故选：B．
16．解：∵△ABC≌△DBC，
∴∠ACB＝∠DCB＝43°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝92°，
故答案为：92°．
17．解：（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是AC＝BD；
（2）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是∠ABC＝∠BAD；
（3）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是∠C＝∠D；
（4）∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是AC＝BD或BC＝AD．
故答案为：（1）AC＝BD；（2）∠ABC＝∠BAD；（3）∠C＝∠D；（4）AC＝BD或BC＝AD．
18．解：添加条件：AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
19．解：如图，延长AD到E，使DE＝AD＝4，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝3，
∵AB＝3，AD＝4，
∴AE﹣CE＜AC＜AE+EC，
即8﹣3＜AC＜11，
∴5＜AC＜11，
故答案为：5＜AC＜11．
20．解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：2；ASA．
21．解：连接AP，BP，CP．
∵在△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设PE＝PF＝PD＝xcm，则S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC） x＝×30×x＝15x，
∵S△ABC＝×AC×CB＝30，
∴15x＝30，
解得x＝2．
故答案为：2．
22．解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB＝10cm，
∴AD+CD+AB＝10cm，
∴AC+AB＝10cm，
∵AB＝3cm，
∴AC＝7cm，
故答案为：7．
23．解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．
∵EF⊥BC，∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝BE＝×7＝3.5，
∵∠BED＝60°，∠BEF＝30°，
∴∠DEG＝30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD＝ED＝×3＝1.5，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH＝CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH＝GD＝1.5．
∴BC＝2BH＝2×（3.5+1.5）＝10．
故答案为：10．
24．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故答案为：120°或75°或30°．
25．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
26．解：当∠1＝60°时，△ABD是等边三角形，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∵∠1＝60°，
∴∠ADB＝∠ADE＝60°，
∴∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
故答案为：60．
27．证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，
∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，
∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC
＝（∠AMB+∠AMC）
＝×180°
＝90°，
∴MP⊥MQ；
（2）由（1）知，MP⊥MQ，
∵BP⊥MP，
∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，
∴∠PBM＝∠QMC，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM＝MC，
在△BMP和△MCQ中
，
∴△BMP≌△MCQ（AAS）．
28．解：（1）∵△ABD与△CDE都是等边三角形，
∴AD＝BD，DC＝DE，∠BDA＝∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠ACD＝∠BED，
∴∠BFA＝∠FAE+∠FEA＝∠FAE+∠ACD＝∠CDE＝60°；
（2）证明：如图，连接FD，作DG⊥AC，DH⊥BE于点G，H，
∵△ADC≌△BDE，
∴AC＝BE，S△ADC＝S△BDE，
∴DG＝DH，
∴FD平分∠AFE．
29．解：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝10m．
即标语CD的长度是10m．
30．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF BE＝2×4＝8，
则ED＝，
∴EF＝2ED＝．
期末综合复习训练（附答案）
1．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角．若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是（ ）
A．65° B．25° C．90° D．115°
2．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的面积为18，BC＝6，则BC边上的高等于（ ）
A．13 B．3 C．4 D．6
3．如图，△ABC、△ADE、△DFG均为等边三角形，C、E、F三点共线，且E是CF的中点，下列结论：①△ADG≌△EDF；②△AEC为等腰三角形；③DF＝AD+GE；④∠BAG＝∠BCE；⑤∠GEB＝60°，其中正确的个数为（ ）
A．②④⑤ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④
4．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
7．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝10，则点P到AB的距离是（ ）
A．15 B．12 C．5 D．10
8．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（ ）
A．8cm B．10cm C．8cm或10cm D．不能确定
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②AF＝AG；③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
11．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当∠A大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是（ ）
A．EF＞BE+CF B．EF＜BE+CF C．EF＝BE+CF D．不能确定
12．如图，△ABC是等边三角形，边长为6，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则△ADE的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
13．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
15．下列四个命题：①相等的两个角是对顶角；②同角的补角相等；③若PA+PB＝AB，则点P必在线段AB上；④两个形状相同的三角形是全等三角形．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠DCB＝43°，则∠ABC＝ ．
17．如图，在△ABC与△BAD中，要证明△ABC≌△BAD，（1）若∠ABD＝∠CAB，若以“SAS”为依据，还需添加的条件是 ；（2）若∠ABD＝∠CAB，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是 ；（3）若∠ABD＝∠CAB，若以“AAS”为依据，还需添加的条件是 ；（4）若∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是 （填一个即可）．
18．在△ABC中，AD⊥BC于D，要用“HL“证明Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是 ．
19．已知△ABC中，AB＝3，中线AD＝4，则AC的取值范围是 ．
20．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理．
21．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，若三角形内有一点P到各边距离相等，则这个距离等于 cm．
22．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB＝3cm，则AC＝ cm．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝7cm，DE＝3cm，则BC＝ cm．
24．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为 ．
25．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段CE的长为 ．
26．如图，△ABC≌△ADE，当∠1＝ °时，△ABD是等边三角形，请说明理由．
27．如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q．
（1）求证：MP⊥MQ；
（2）求证：△BMP≌△MCQ．
28．如图，△ABD与△CDE都是等边三角形，若BE与AC相交于点F．
（1）求∠BFA的度数；
（2）连接FD，求证：FD平分∠AFE．
29．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝10米，请根据上述信息求标语CD的长度．
30．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
参考答案
1．解：∵点O在直线AE上，OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠COE＝90°，
∵∠DOB是直角，∠1＝25°，
∴∠BOC＝∠DOB﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，
∵∠AOB+∠BOC＝∠AOC＝90°
∴∠AOB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
2．解：设△ABC的面积为S，边BC上的高为h，
∵△ABC≌△DEF，BC＝6，△DEF的面积为18，
∴两三角形的面积相等即S＝18，
又S＝ BC h＝18，
∴h＝6，
故选：D．
3．解：∵△ADE、△DFG，△ABC为等边三角形，
∴DA＝DE，DG＝DG，∠ADE＝∠FGD＝∠AED＝∠ACB＝∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠ADG＝∠EDF，∠DAB＝∠CAE，
∴△ADG≌△EDF（SAS），故①正确
∴∠DEF＝∠DAG，
∵∠DEF+∠AED＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+∠ABC﹣∠BCF，
∴∠EAC﹣∠DEF＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠DAB﹣∠DAG＝∠CAE﹣∠DEF，
∴∠BAG＝∠BCF，故④正确，
∵DF+EG＝DG+GE≥DE，
∴DF+GE≠AD，故③错误．
设AG交CF于点O，DG交CF于K．
∵△ADG≌△EDF，
∴∠OGK＝∠FKD，EF＝AG，
∵∠GKO＝∠FKD，
∴∠GOK＝∠FDK＝60°，
∴∠AOC＝∠GOK＝∠ABC＝60°，
∴∠BAG＝∠BCE，
∵EF＝CE，
∴AG＝CE，
∵AB＝CB，
∴△BAG≌△BCE（SAS），
∴BG＝BE，∠ABG＝∠CBE，
∴∠EBG＝∠ABC＝60°，
∴△EBG是等边三角形，
∴∠EGB＝60°，故⑤正确，
无法判断AC＝EC，故△ACE不一定是等腰三角形，故②错误，
故选：C．
4．解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
5．解：∵∠B＝40°，AB＝CB，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（SAS），
∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故选：C．
6．解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
7．解：过P点作PF⊥AB于F，如图，
∵AD平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，
∴PF＝PE＝10，
即点P到AB的距离为10．
故选：D．
8．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．
故选：B．
9．解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），
当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，
故选：B．
10．解：∵BE是中线得到AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴∠ABC＝∠DAC，
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
而∠ACB＝2∠ACF，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：C．
11．解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE，
同理DF＝FC，
∴ED+DF＝BE+FC，
即EF＝BE+CF，
故选：C．
12．解：∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴AB＝AC＝6．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC＝∠DBF，∠EFC＝∠FCB＝∠ECF，
∴DB＝DF，EC＝EF，
∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝12．
故选：D．
13．解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
14．解：作DE⊥AB于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∴DC＝DE＝4，
∴△ABD的面积＝×12×4＝24．
故选：B．
15．解：①相等的两个角不一定是对顶角，本小题说法是假命题；
②同角的补角相等，本小题说法是真命题；
③若PA+PB＝AB，则点P必在线段AB上，本小题说法是真命题；
④两个形状相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小题说法是假命题；
故选：B．
16．解：∵△ABC≌△DBC，
∴∠ACB＝∠DCB＝43°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝92°，
故答案为：92°．
17．解：（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是AC＝BD；
（2）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是∠ABC＝∠BAD；
（3）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是∠C＝∠D；
（4）∠ADB＝∠BCA＝90°，若以“HL”为依据，还需添加的条件是AC＝BD或BC＝AD．
故答案为：（1）AC＝BD；（2）∠ABC＝∠BAD；（3）∠C＝∠D；（4）AC＝BD或BC＝AD．
18．解：添加条件：AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
19．解：如图，延长AD到E，使DE＝AD＝4，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝3，
∵AB＝3，AD＝4，
∴AE﹣CE＜AC＜AE+EC，
即8﹣3＜AC＜11，
∴5＜AC＜11，
故答案为：5＜AC＜11．
20．解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：2；ASA．
21．解：连接AP，BP，CP．
∵在△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设PE＝PF＝PD＝xcm，则S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC） x＝×30×x＝15x，
∵S△ABC＝×AC×CB＝30，
∴15x＝30，
解得x＝2．
故答案为：2．
22．解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB＝10cm，
∴AD+CD+AB＝10cm，
∴AC+AB＝10cm，
∵AB＝3cm，
∴AC＝7cm，
故答案为：7．
23．解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．
∵EF⊥BC，∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝BE＝×7＝3.5，
∵∠BED＝60°，∠BEF＝30°，
∴∠DEG＝30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD＝ED＝×3＝1.5，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH＝CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH＝GD＝1.5．
∴BC＝2BH＝2×（3.5+1.5）＝10．
故答案为：10．
24．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故答案为：120°或75°或30°．
25．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
26．解：当∠1＝60°时，△ABD是等边三角形，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∵∠1＝60°，
∴∠ADB＝∠ADE＝60°，
∴∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
故答案为：60．
27．证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，
∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，
∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC
＝（∠AMB+∠AMC）
＝×180°
＝90°，
∴MP⊥MQ；
（2）由（1）知，MP⊥MQ，
∵BP⊥MP，
∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，
∴∠PBM＝∠QMC，
∵AM是△ABC的中线，
∴BM＝MC，
在△BMP和△MCQ中
，
∴△BMP≌△MCQ（AAS）．
28．解：（1）∵△ABD与△CDE都是等边三角形，
∴AD＝BD，DC＝DE，∠BDA＝∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠ACD＝∠BED，
∴∠BFA＝∠FAE+∠FEA＝∠FAE+∠ACD＝∠CDE＝60°；
（2）证明：如图，连接FD，作DG⊥AC，DH⊥BE于点G，H，
∵△ADC≌△BDE，
∴AC＝BE，S△ADC＝S△BDE，
∴DG＝DH，
∴FD平分∠AFE．
29．解：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝10m．
即标语CD的长度是10m．
30．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF BE＝2×4＝8，
则ED＝，
∴EF＝2ED＝．