湖南省涟源市第二中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题（Word版含答案解析）

涟源市第二中学2021-2022学年高一上学期12月月考
数学试题
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A. B.
C. D.∪(0，＋∞)
2．函数f(x)＝x3＋的图象(　　)
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
3．设函数f(x)＝则f＝(　　)
A. B．－
C. D．18
4．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，则f(－1)＝(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
5.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的(　　)
6．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[－4,0] B．[－4,0)
C．[－4，－1)∪(－1,0] D．(－4,0)
7．已知函数f(x)＝若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,4) D．(－∞，1)
8．函数f(x)＝log3x＋x3－9的零点所在区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.若a>0，b>0，且a＋b＝1，则
A.a2＋b2≥ B.≥ C.≥4 D.≥4
10.已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论中正确的是
A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0
B.方程有两个正根的充要条件是0C.方程无实数根的充要条件是m>1
D.当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
11.已知函数f(x)＝，下列结论中正确的是
A.f(x)的图像关于y轴对称 B.f(x)的单调减区间为(2，＋∞)
C.f(x)的值域为R D.当x∈(－2，2)时，f(x)有最大值
12.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C(A)－C(B)|。已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|(ax2＋3x)(x2＋ax＋2)＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是
A.－2 B.0 C.1 D.2
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．
15．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是________(用数字作答)．
16．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝.
(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上；
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝，x∈[2,6]．
(1)证明f(x)是定义域上的减函数；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)是区间[－5,5]上的单调函数；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.
20．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)
(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；
(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？
21．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．
(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．
涟源市第二中学2021-2022学年高一上学期12月月考
数学试题答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A. B.
C. D.∪(0，＋∞)
[解析]　由得即－≤x≤，所以函数的定义域为.
[答案]　B
2．函数f(x)＝x3＋的图象(　　)
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
[解析]　由x≠0，且f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－f(x)，知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．
[答案]　C
3．设函数f(x)＝则f＝(　　)
A. B．－
C. D．18
[解析]　f(2)＝22＋2－2＝4，＝，故f＝f＝1－2＝.
[答案]　A
4．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，则f(－1)＝(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
[解析]　令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，令x＝－1，得f(－1)＋g(－1)＝5，两式相加得：f(1)＋f(－1)＋g(1)＋g(－1)＝6.又∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)．∴2f(－1)＝6，
∴f(－1)＝3，故选A.
[答案]　A
5.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的(　　)
[解析]　由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得慢，后减少得快，又减少得慢．
[答案]　B
6．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[－4,0] B．[－4,0)
C．[－4，－1)∪(－1,0] D．(－4,0)
[解析]　∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，∴要使g(x)＝有意义，需∴－4≤x≤0且x≠－1.∴g(x)＝的定义域为[－4，－1)∪(－1,0]．
[答案]　C
7．已知函数f(x)＝若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,4) D．(－∞，1)
[解析]　f(x)的图象如图．由图知，若f(x－4)>f(2x－3)，则
解得－1[答案]　C
8.．函数f(x)＝log3x＋x3－9的零点所在区间是(　C　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.若a>0，b>0，且a＋b＝1，则（A.C.D）
A.a2＋b2≥ B.≥ C.≥4 D.≥4
10.已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论中正确的是(A.B)
A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0
B.方程有两个正根的充要条件是0C.方程无实数根的充要条件是m>1
D.当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
11.已知函数f(x)＝，下列结论中正确的是(A.D)
A.f(x)的图像关于y轴对称 B.f(x)的单调减区间为(2，＋∞)
C.f(x)的值域为R D.当x∈(－2，2)时，f(x)有最大值
12.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C(A)－C(B)|。已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|(ax2＋3x)(x2＋ax＋2)＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是(A.B.D)
A.－2 B.0 C.1 D.2
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
[解析]　若a>0，则2a＋2＝0，得a＝－1，与a>0矛盾，舍去；若a≤0，则a＋1＋2＝0，得a＝－3，所以实数a的值等于－3.
[答案]　－3
14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为________．
[解析]　由题意，S＝(4＋x)，即S＝－x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大．
[答案]　1
15．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是________(用数字作答)．
[解析]　(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801，而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.
[答案]　跌了1.99%
16．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
[解析]　f(x)＝
显然函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故由已知可得
解得1≤a<.
[答案]　
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝.
(1)判断点(3,14)是否在f(x)的图象上；
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
[解]　(1)因为f(x)＝，所以f(3)＝＝－，
所以点(3,14)不在f(x)的图象上．
(2)f(4)＝＝－3.
(3)令＝2，即x＋2＝2x－12，
解得x＝14.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝，x∈[2,6]．
(1)证明f(x)是定义域上的减函数；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解]　(1)证明：设2≤x1因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)是定义域上的减函数．
(2)由(1)的结论可得，f(x)min＝f(6)＝，
f(x)max＝f(2)＝1.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)是区间[－5,5]上的单调函数；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.
[解]　(1)∵y＝f(x)是[－5,5]上的单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.
(2)当－a<－5，即a>5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，
∴f(x)min＝f(－5)＝25－10a＋2＝－1，
∴a＝.∵a>5，∴a＝不合要求，舍去．
当－5≤－a≤5，即－5≤a≤5时，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2＝－1，
∴a2＝3，即a＝±.
当－a>5，即a<－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，
∴f(x)min＝f(5)＝25＋10a＋2＝－1，
∴a＝－.
∵a<－5，∴a＝－不合要求，舍去，∴a＝±.
20．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)
(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；
(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？
[解]　(1)由题意知D地距B城(100－x)km，
则∴10≤x≤90.
设比例系数为k，则y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)．
又x＝40时，y＝1300，
所以1300＝k(402＋602)，即k＝，
所以y＝[x2＋(100－x)2]＝(x2－100x＋5000)(10≤x≤90)．
(2)由于y＝(x2－100x＋5000)＝(x－50)2＋1250，
所以当x＝50时，y有最小值为1250万元．
所以当供气站建在距A城50 km时，能使建设费用最小，最小费用是1250万元．
21．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
[解]　(1)若x<0，则－x>0，f(x)＝f(－x)
＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，
则f(x)＝
(2)图象如图所示，
(3)由于方程f(x)－k＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，观察函数y＝f(x)图象与直线y＝k的交点情况可知，当－222．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．
(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．
[解]　(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，
f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3.
(2)因为f(x)＋f(x－2)≤3，
所以f[x(x－2)]≤f(8)，
又因为对于函数f(x)，当x2>x1>0时，
f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以解得2故x的取值范围为(2,4]．