(共27张PPT)
26.3.1实践与探索
华师大版 九年级下
情景导入
这些建筑有什么相似？
情景导入
步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉，喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？
新知讲解
小贴士
问题1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水.柱子在水面以上部分的高度为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线落下，如图所示.
数学化
新知讲解
x
O
y
A
B
图2
根据设计图纸已知:在图2所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间函数关系式是：
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，
那么水池的半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内？
新知讲解
A
O
Ｂ
水池为圆形，
O点在中央，
喷水的落点到圆心的距离相等.
“如果不计其他因素,为使水不溅落在水池外,那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内”实质是求什么？
舍去
最小半径
线段ＯＢ的长度(点Ｂ的横坐标)
思考
答:喷出的水流距水平面的最大高度是1.8米。
解：（1）
（2）
答：水池的半径至少为 米。
总结
物体运动的路线是抛物线形时：
(1)求最高就是求抛物线顶点的纵坐标；
(2)求最远就是求抛物线与x 轴的交点的横坐标.
练一练
杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
典例精析
新知讲解
问题2 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示. 现测得当水面宽AB= 1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2. 4 m.这时，离开水面1. 5 m处，涵洞宽ED是多少 是否会超过1 m
分析
根据已知条件，要求涵洞的宽ED,只要求出FD的长度即可，即在上图所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标.
因为点D在涵洞截面的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线所对应的函数表达式可以进一步算出点D的横坐标.
新知讲解
解:如图所示，建立直角坐标系.
则点A的坐标是(－0.8, －2.4)，
点B的坐标是(0.8, －2.4).
设抛物线的表达式为 y=ax2(a<0).
把点B的坐标(0.8, －2.4)代入得：
a= －3.75,
∴抛物线的解析式为y=－3.75x2.
“离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少”你是怎样理解的？
O
x
y
A
B
E
D
1.5 m
(x,－0.9)
新知讲解
设离开水面1.5m处的点D的坐标
为(x,－0.9)，
代入y=－3.75x2得:
x=<0.5,
∴ 2x= <1,
∴ 涵洞ED宽是 ，不会超过1m.
归纳总结
利用二次函数解决抛物线形的隧道、拱门和大桥等实际应用问题：
(1)首先要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上，求解得出抛物线所对应的函数表达式；
(2)通过二次函数的性质来解决测量问题中的高度或宽度、最值问题等.
思考
y
x
O
建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式：
y
x
O
y
x
O
方法1
方法2
方法3
哪种建立比较简单？
课堂练习
1．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
C
课堂练习
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
D
课堂练习
3.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加 m.
4
4.如图,在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管的长为 .
2.25m
课堂练习
5．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
课堂练习
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
课堂练习
课堂练习
作业布置
1.课本P30 习题26.3 1
课堂小结
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
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26.3 实践与探索（1）教学设计
课题 26.3 实践与探索（1） 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 1、让学生会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，体会二次函数的性质在求实际问题中的意义。 2、经历利用二次函数解决实际问题，进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。
重点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式。
难点 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 欣赏一组建筑物的图片，观察其形状．这组图案中，它们形状和抛物线像吗？有关问题可以用抛物线的知识来解决吗？ (2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉，喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？ 本节课，请同学们共同探究尝试解决以下几个问题 学生思考，回答问题 从学生熟知的拱桥和喷泉引入新课，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料.
讲授新课 问题1、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示。 根据设计图纸已知：在图2（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是． （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 解析：喷出的水流距离水平面的最大高度实质就是求抛物线的最高点到水平面（即轴）的距离；不计其他因素，要使喷出的水流都落在水池内，求水池的半径至少为多少实质是求线段的长度。 解：（1）∵水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是 ∴ ∴抛物线的顶点坐标为（，） 故喷出的水流距水平面的最大高度最大高度是. （2）要使喷出的水都落在水池内，则水池的半径至少要等于的长度，令. 则，解得：（舍去）， 故水池的半径至少应该大于米. 问题2、一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，现测得，当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞宽是多少？是否会超过. 解析：根据已知条件，要求宽，只要求出的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点的横坐标.因为点在涵洞截面边缘所成的抛物线上，又由已知条件可得到点的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点的横坐标。 解：根据图中所建直角坐标系，设涵洞截面边缘抛物线为（） 将点的坐标（，）代入，得： 故抛物线的解析式为： 这时，设离开水面米处点的坐标为（，），得： ∴的宽约为米，不会超过米. 建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式： 比较哪种建立比较简单 学生独立思考后，结合题目回答 请同学们完成本题的解答；教师巡视、指导；教师给出解答过程. 同学们思考，回答问题 通过日常生活中的实际问题，激发学生的兴趣，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力． 通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数表达式，但结果是相同的，恰当地选择坐标系可以使得解答简便，明确易懂． 能够让学生养成自主归纳，提高学生的学习能力.
课堂练习 1．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( ) A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 3.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加 m. 4.如图,在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管的长为 . 5.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 26.3实践与探索 问题1、 问题2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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26.3 实践与探索（1）导学案
课题 26.3 实践与探索（1） 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1、让学生会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，体会二次函数的性质在求实际问题中的意义； 2、经历利用二次函数解决实际问题，进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。
重点难点 重点：探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法； 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决实际问题。
教学过程
知识链接 1.二次函数常见的形式有哪几种？并说明其图象特征. 2.对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象进行平移时： 向上平移k(k>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为__________； 向下平移k(k>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________； 向左平移h(h>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________； 向右平移h(h>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________．
合作探究 一、教材第26页 问题1、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示。 根据设计图纸已知：在图2（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是． （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 二、教材第27页 问题2、一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，现测得，当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞宽是多少？是否会超过.
自主尝试 1.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+12t+20,则火箭升空的最大高度是 m. 2.如图,所示,一座大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒. 图2 3.如图,是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加 m. 【方法宝典】 根据二次函数图象的特点结合坐标系进行解题即可.
当堂检测 1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为yx2，当水位线在AB位置时，水面宽AB＝30m，这时水面离桥顶的高度h是（ ） A．5m B．6m C．8m D．9m 2．函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述小敏跳远时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是（ ） A．0.36s B．0.63s C．0.70s D．0.71s 3．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（ ） A．9m B． C．8.7m D．9.3m 4．如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ） A．3m B．4m C．5m D．6m 5．校运动会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为yx2x．小明这次试掷的成绩为__________，铅球出手时的高度是__________． 6．如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）的函数图象．现观察图象，铅球推出的距离是__________m． 7．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 （1）当k＝2时，求炮弹飞行的最大海拔高度； （2）若炮弹飞行的最大射程为5千米时，求k的值； （3）炮弹的最大射程为__________千米（直接写出答案）． 8．如图，某剧场舞台顶部横剖面拱形可近似地看做抛物线的一部分，其中舞台高度为1.15m，台口高度为13.5m，台口宽度为29m．以ED所在的直线为x轴，过拱顶A且垂直于ED的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求拱形抛物线的函数解析式； （2）舞台大幕悬挂在长为20m的横梁MN上，其下沿恰与舞台面接触，求大幕的高度（精确到0.01m）． 9．如图，公园要在一个圆形的喷水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA的距离为1m处达到距水面的距离最大，高度为2.25m．若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？ 10．某涵洞的截面边缘成抛物线形（如图），现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？ 11．（1）一辆宽2m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线隧道（从正中通过），为了保证安全，车顶离隧道顶部至少要0.5m的距离，货车的限高为多少？ （2）若将（1）中的单行道改为双行道，即货车必须从隧道中线的右侧通过，货车的限高应是多少？
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1. D 2. A 3.B 4. C 5. 10m，m． 6.10 7.解：（1）当k＝2时， y＝2x， ∴当x＝4时，y取得最大值，此时y＝4， 即当k＝2时，炮弹飞行的最大海拔高度是4千米； 即k的值是或2； （3）当y＝0时， 0＝kx（1+k2）x2， 解得，x1＝0，x2， ∵， ∴炮弹的最大射程为，10千米， 8.解：（1）由题设可知， OA＝13.5+1.15＝14.65米，OD米． 则， 解得a，c＝14.65． 所以，所求函数的关系式为 yx2+14.65． （2）由MN＝20米，设点N的坐标为（10，y0），代入关系式， 得y0102+14.65≈8.229． ∴y0﹣1.15＝8.229﹣1.15＝7.079≈7.08． 即大幕的高度约为7.08米． 9.解：以O为原点，顶点为（1，2.25）， 设解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25过点（0，1.25）， 解得a＝﹣1， 所以解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25， 令y＝0， 则﹣（x﹣1）2+2.25＝0， 解得x＝2.5 或x＝﹣0.5（舍去）， 所以水池的半径至少要2.5米才能使喷出的水流不致落到池外． 10. 求得a， 所求解析式为yx2． 再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9）， 则有：﹣0.9x2．， 解得：， 故宽度为2， ∴x＜0.5，2x＜1， 所以涵洞ED不超过1m． 11. ∴OA＝OBAB8＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 设抛物线顶点式形式y＝ax2+4， 把点B坐标代入得，16a+4＝0， 解得a， 所以，抛物线解析式为yx2+4（﹣4≤x≤4）， ∵车的宽度为2米，车从正中通过， ∴x＝1时，y12+4， （2）由题意可得：当x＝2时，y＝3， 故货车限高为3﹣0.5＝2.5（米）．
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