高二数学答案
一．单选题：ABDB ACAD
二.多选题：9.BD 10.BCD 11.ACD 12.BD
三.填空题：13. ；14. ； 15.； 16.
四.解答题：
17.解：（1） ＝(2,6，－3)，设与共线的单位向量为u=
………………………………………………1分
解得………………………………………3分
所以与共线的单位向量为……………………4分
(2)＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，＝(-1,，－2)…………………5分
因为A，B，C，P四点共面，设=x+y…………………………6分
即解得 ………………………7分
由（1）知，设直线AB的单位方向向量为u=………………………8分
＝(-1,，-1), …………………………………………9分
点P到直线AB的距离 …………………………10分
18.解：(1)解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由题意得……….1分 解得，.………2分
∴an＝n，bn＝2n. …………………………4分
(2)证明 由(1)知＝，…………………………5分
∴Sn＝＋＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋＋…＋＋＋，
两式相减得Sn＝＋＋＋＋…＋－＝－，………8分
Sn＝2－－，…………………………10分
Sn<2. …………………………11分
m的最小值为2. …………………………12分
19.解：（1）、B在直线上 设，则
又 ，解得： 2分
过点， 圆心必在直线上
设，圆的半径为
与相切 …………4分
又，即 6分
，解得：或
当时，；当时，
的半径为：或 8分
（2）由（1）知，圆M的方程为：, ……….9分
因为点在圆上
切线的斜率k= ………..10分
切线方程为： 12分
20.解：（1）由题意可知， ………1分
所以的面积，解得， ………3分
所以抛物线的标准方程为 ………4分
（2）易知直线斜率存在，设直线为，
由消去得 ……………5分
设则 ………6分
由得， ………8分
由可解得， ………10分
由弦长公式可得……12分
21.(1)证明：设与的交点为，连接，
，，，，
， ……………………………………1分
又因为是的中点，……………………2分
故 故
又，所以 …………3分
而，故平面 …………4分
(2)由（1）知：两两垂直，分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
依题意，，，， …………………5分
设平面的法向量为
即
令 ，得 ，则……………………6分
易知平面的一个法向量为 ……………7分
. ……………….8分
即平面与平面的夹角为 ………………………………9分
(3)设
，…………10分
因为平面，所以 ………11分
所以棱上不存在点满足平面. ………………12分
22.解：（1）由△的面积最大值为，且以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
∴ ……………2分
解得，，， …………3分
则椭圆的方程是. …………4分
（2）以线段为直径的圆过轴上的定点.证明如下：
设l方程为，代入
得.
， ………6分
直线：，
令得，即， ……7分
同理得 …….8分
设以线段为直径的圆过轴上的定点，
有，即，则，………9分
将、代入得，， ………11分
则定点. ………12分
答案第4页，总4页
答案第1页，总4页山东学情 2021 年 12 月份高二质量检测
数学试题（A版）
考试时间：120 分钟
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.抛物线 y 4x 2的焦点 F到其准线的距离为（ ）
1 1 1
A. B. C. D.2
8 4 2
2.在等差数列{an}中，a3＝3，a5＝5，其前 n项和为 Sn，则 S10的值为( )
A.10 B.55 C.100 D.110
3.在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形，E为 PD的中点，若DA a，DC b，
DP c ，则用基底 a,b ,c 表示向量BE为（ ）
A. a b
1 1
c B. a b c
2 2
C. a b
1 c D. a b
1 c
2 2
4.在等比数列{an}中，若 a1,a5是方程 x2＋4x＋3＝0的两根，
则 a3的值是( )
A.－2 B.－ 3 C. 3 D.± 3
5.m = 1是两直线 x + 2my 1 = 0， 3 1 1 = 0平行的（ ）
6
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.在下列四个命题中：
①若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；
②向量 a＝(2,-1,2)，b＝(－4,2，m)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 m的取值范围为
m<5；
x y
③直线 1 的一个方向向量为(1, )；
a b
④若存在不全为 0的实数 x,y,z使得 xa+ b+zc=0,则 a，b，c 共面.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
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7.等差数列 an 满足：a1 0，3a5=5a8.当数列 an 的前n项和 Sn 取最大值时，n （ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
8.已知⊙C： 2 10 + 2 + 16 = 0,直线 : x y + 1 = 0 .P 为 l 上的动点 .过点 P 作
⊙C的切线 PA、PB，切点为 A、B，当 最小时，直线 AB的方程为（ ）
A. x + y 5 = 0 B. x y 1 = 0
C. 2x y 1 = 0 D. x y 2 = 0
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线 2x + y = 2 与直线 x + 2y = 1 垂直.
B.过点（1,2）的直线被圆x2 + 2 6 = 0所截得的弦的长度的最小值为 2.
C.直线 l：mx y + 1 m = 0与圆 C： 2 + 1 2 = 5的位置关系不确定.
D.若直线 mx+ny=1与圆 2 + 2 = 1相交，则点 P（m,n）在圆外.
10.如图，已知棱长为的 1 正方体 ABCD A1B1C1D1中， F 为线段
BC1的中点，E为线段 A1C1上的动点，则下列四个结论正确的
是（ ）
A.存在点 E，使 EF∥ BD
B.点 E到直线 距离的最小值为 1
C.当 E为 A1C1的中点时，EF与 AD1所成的角等于 60°
D.三棱锥B1 ACE的体积为定值
x2 y211.双曲线C : 1, (a 2 b 2 c 22 2 ,a 0,b 0,c 0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ,以a b
F1F2 为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于M ,N (M ,N均在第一象限)，连接MF1，
交另一支渐近线于E，且 E为MF1 的中点，O是坐标原点.下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的离心率 e = 2 B.双曲线的渐近线方程为 x 3y 0
C.当 a=1时， NF1F2的面积为 3 D.当 a=1时， NF1F2 的周长为4 2 7
12.设数列 an 是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意n N ,均有 an+k > an,则称 an
是间隔递增数列，k是 an 的间隔数.则下列说法正确的是（ ）
A.公比大于 1的等比数列一定是间隔递增数列
4
B.已知 an =n+ ，则 an 是间隔递增数列且最小间隔数是 4n
n
C.已知 an 2n 1 ，则 an 是间隔递增数列且最小间隔数是 3
D.已知 an n 2 tn 2021,若 an 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则 4≤t<5
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第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分.
13. 2已知数列 an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则数列 an 的前 n 项和为
______________
14.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，直线 AD1 与平面 BD 1之间的距离
为 .
15.与圆 C： 2 + 2 2 + 4 = 0外切于原点，且被 y轴截得的弦长为 8的圆的标准方程
为 .
2 2
16. x y双曲线 - = 1的离心率是 2 ，点F1,F2 是该双曲线的两焦点，P在双曲线上，且a2 b2
r
PF1⊥x轴，则△PF1F2的内切圆和外接圆半径之比 =
R
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知空间三点 A，B，C，三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3).
（1）求与A→B共线的单位向量.
（2）若 P(1, 7 , ),且 A，B，C，P四点共面，求 ，并求此时点 P到直线 AB的距离.
2
18.已知{an}是递增等差数列，{bn}是正项等比数列， b1＝2a1＝2，b3＝2a4，b5＝5a6＋2.
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
a
（2）若 n 的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，都有Sn bn
19.已知点 A、B在直线 x+y=0上且关于坐标原点 O对称，│AB│=4，圆M过点 A、B且
与直线 x+2=0相切.
（1）求圆M的半径.
（2）若圆M的半径小于 4，求过点 P 1， 3 且与圆M相切的直线方程.
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20.已知抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点为 F，过点 F且垂直于 x轴的直线交抛物线于 A,B，
9
OAB的面积为 （O为坐标原点）.
8
（1）求抛物线的标准方程；
（2)过点 P（1,0）的直线 l交抛物线于M,N,且MP 3PN ,求 MN .
21.在平行六面体 1 1 1 1中，底面是边长为 2的正方形，侧棱 1的长为 2，且
∠ = ∠ = 60°1 1 .
（1）证明：平面 1 ⊥平面 ABCD
（2）求平面 1 与平面 1 1 的夹角
（3）在线段 1上是否存在点 ，使 ∥平面 1 1 若存在求出点 的坐标，不存在说
明理由.
2 2
22. x y在平面直角坐标系中，点 P为椭圆C： 2 2 1 a b 0 上的一点， F1， F2分别为a b
椭圆左右焦点，若△F1PF2的面积的最大值为 3，且以原点为圆心，短半轴长为半径的
圆与直线3x 4y 5 0相切.
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若过点 1,0 直线 l与椭圆C交于不同的两点 A，B，点 D是椭圆C的右顶点，直线
DA，DB分别与 y轴交于M，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过 x轴上的定点
若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
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