2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件（17张ppt）

(共17张PPT)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角恒等变换
前面我们已经学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换。观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角（的整数倍）与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数恒等关系。
如果把特殊角换为任意角，那么任意角和的和（或差）的三角函数与，的三角函数会有什么关系？
例如当要求计算时，有些同学会想到利用或，但此时不知道该式的结果是什么？
所以接下来我们要探究与角，的正弦、余弦之间的关系。
两角差的余弦公式推导过程
O
α
P1
β
A1
P
A
根据两点间的距离公式，得
化简得
当时，容易证明上述仍然成立。
所以，对于任意角有
平面上任意两点间的距离公式
α-β
α-β
的应用（证明、化简、求值）
例：1.=____________；
2.化简为_________；
3.利用公式证明：
（1）；（2）。
练：（1）化简的结果为( )
A. B. C. D.
（2）=____________.
提示：
C
解：1.
；
2.原式=；
3.（1）；
（2）。
给值求值问题
例：已知，是第三象限角，求的值。
解：，且为第二象限角，则。同理得，。
.
关键：
C
A
练：若均为第二象限角，满足，则=( )
A. B. C. D.
(拔高)若，则的值为( )
A. B. C. D.
给值求角问题
例：已知均为锐角，且，求角。
解：因为都是第一象限角，且
所以得。因为
=。所以。
这是一位同学的解答过程，同学们，他做对了吗？
该名同学解答错了，他犯了大部分学生会犯的错误，即没有判断为第几象限角。
解：因为都是第一象限角，且，所以，即为第四象限角。因为，所以得。因为=。所以。
给值求角问题
变式：已知，且，求角。
解析：很多学生会选择通过与将展开来解角，但这样只会让计算更复杂，更算不出结果，应通过与来表示。
解：因为，所以。
因为，，
得，
因为
，所以。
当堂检测
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，，均为锐角，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知都是锐角，，则_________。
D
C
B
和角公式与差角公式
前面我们已经推导出两角差的余弦公式：
现在我们要通过它来推导出剩余的公式：
两角和的余弦公式
两角和的正弦公式：
两角差的正弦公式
两角和的正切公式：，上下同除
得原式
两角差的正切公式
我们将、、称为和角公式，将、、称为差角公式
给值（角）求值问题
例：(1)已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
(2)若，则_________。
(3)计算：_________。
C
解：(1)由三角函数的定义可得，，。因为
；
(2)因为；
(3)由诱导公式可得，，
，所以原式=。
给值（角）求值问题
变式：1.已知，则的值为_________。
2.化简或求值：
(1)；
(2)。
3
解：1.因为；
2.(1)令，则原式=
；
(2)原式=
两角和与差的正切公式
例：(1)_________。
(2)化简：。
解：(1)因为，所以原式=；
(2)因为，所以得
。
变式：(1)_________；
(2)若，则( )
A. B. C. D.
(3)在△ABC中，，且，则C为( )
A. B. C. D.
C
A
给值求值问题
例：已知，求。
解：因为，所以，即得。所以，，所以
解：因为，所以是第二象限角，则，同理得。所以
。
变式：已知是锐角，且，求的值。
辅助角公式
思考：观察下面例题，你能发现什么规律吗？
例：化简下面式子（全化成正弦函数的形式）
(1)； (2)；
(3)； (4)；
可以发现，对于，其中
我们将上述公式称为辅助角公式。
例：(1)求值：________；
(2)当函数取到最大值时，________。
解：(1)由辅助角公式可得，原式=；
(2)由辅助角公式可得，，当，得
，因为，当时，得。
.
.
.
.
当堂检测
1.( )
A. 0 B. C. 1 D.
2.( )
A. B. C. D.
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
5.函数的最大值是( )
A. B. C. D.
6.求值：_________。
C
C
C
B
B
课堂小结
01
02
03
04
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
给值求角
给值求值
公式简单应用
谢谢观看