2021-2022学年全国重点高中一轮复习质检
高三数学(文)试题
(考试时间:120分钟
试卷满分:150分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择題时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡
上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.设集合P={x|x2+2x-3≤0},Q={x|0
A.(0,1]
B.(0,3
C.[-1,4]
D.[-3,4]
2已知复数z满足训0·z=1+2i,则|z|=
3.已知函数f(x)=e2,则下列函数中为偶函数的是
A.-f(-x)-1
B f(Inx)
C.f(|x+11)-1
Df(|x1)-1
4已知点F为双曲线c:25-2=1的左焦点点P为C右支上一点则PF的最小值为
A.2
B.4
C.6
D.12
5.为了解某些城镇的气温差异现根据2020年部分城镇8月份的平均气温(单位:℃)制成了如
图所示的频率分布直方图,其中平均气温的范围是[75,30],分组为1520).[20.2.5),
[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].若平均气温不高于25℃的城镇有42个,则调查样本中平
均气温在[25,27.5)的城镇个数为
组距
0.16卜
0.10
0.04
0.02-1
22.52527530温度(℃)
A.9
B.12
C. 18
D.27
高三数学(文)试题第1页(共4页)
6.执行如图所示的程序框图,若输入的a=1,b=10,则输出的
/输人d
a+b-b-|+1
/输
A.3
C.5
D.6
7.已知0.5=3,b=log25,3°=5,则实数a,b,c的大小关系为
AaB cC aD
c8.现有分别标有1,2,3,4四个数字的卡片,从中抽取两张,则这两张卡片上数字差的绝对值不
小于2的概率为
9已知实数x,y满足不等式组x-y≥0,则2x+y的最大值为
+y≥2
A.0
B.2
D.6
0.函数f(x)=(cosx-3sinx)(3cox+sinx)-1的最小正周期是
A.2
D.不是周期函数,不存在最小正周期
1已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线C上不重合的两点若|AF|+|BF=6,
则线段AB的中点到x轴的距离为
B.2
C.3
D.6
12已知函数f(x)=32-9x2+2x2则方程(x)2-2(x)+2=0的根的个数是
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分
13.命题“Hx∈(-1,3),x2-2x-3<0”的否定为
数学(文)试题第2页(共4页)2021—2022 学年全国重点高中一轮复习质检
高三数学（文）参考答案
1．D【解析】因为 P = [ 3,1]，所以P∪Q = [ 3,4] .故选 D.
2．C 2020【解析】因为 i z = z=1+2i，所以 z = 5 .故选 C.
3．D【解析】由偶函数的定义易知 f ( x ) 1为偶函数，故选 D.
4．D【解析】由题可知 a = 5,c = 7， PF 的最小值为 a + c =12 .故选 D.
5．B【解析】平均气温不高于 25℃为前三组，其频率和为(0.02+0.10+0.16)×2.5=0.7，故总
人数 为 42 ÷0.7 = 60 人， 则调查样 本中平均 气温在 [25 ， 27.5)的城 镇个数为
60×0.08×2.5 =12，故选 B.
6．A【解析】第一次循环:a=2，b=9;第二次循环:a=4，b=7;第三次循环:a=7，b=4;满足条件，
结束循环，此时，i=3.故选 A.
7．C【解析】由题 a = log0.5 3< 0，b = log2 5 > 2,c = log3 5∈ (1,2) a < c < b，所以 .故选 C．
8．B【解析】从四张卡片中抽取两张有 (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)共六种情况，其中
1
两张卡片上数字差的绝对值不小于 2的有 (1,3), (1,4), (2,4)共三种情况，所以所求概率为 .
2
故选 B.
9．D【解析】作出可行域，然后判定当过点（2，2）时，2x + y取得最大，最大值为 6，选D.
π π 2π
10．C【解析】 f (x) = 4cos(x + )sin(x + ) 1= 2sin(2x + ) 1，故最小正周期 T=π，
3 3 3
故选 C.
AF + BF
11．B【解析】由抛物线的基本性质易得线段 AB的中点到 x轴的距离为 1= 2，
2
故选 B.
1 7
高三数学（文）参考答案 第 页（共 页）
2 9 7 7
12．B【解析】 f ' (x) = x x + = (x 1)(x )，所以函数 f (x)的单调递增区间为
2 2 2
7 7
( ∞,1), ( ,+∞)，减区间为 (1， ), f (1) =1，所以函数 f (x)的大致图象为
2 2
9 7 7 7
而 ( f (x))2 f (x) + = ( f (x) )( f (x) 1) = 0，即 f (x) = 或 f (x) =1 .如图可知共 3
2 2 2 2
2 9 7
个根，所以函数 ( f (x)) f (x) + = 0有 3个零点.故选 B.
2 2
13． x0 ∈ ( 1,3), x
2
0 2x0 3 ≥ 0【解析】由题易知命题的否定为 x ∈ ( 1,3), x
2 2x 3 ≥ 0 .0 0 0
3
14 2 15
． 【解析】椭圆 E的焦点坐标为 ( 5,0) ，点 到两焦点的距离之和，( 5,0) 5, 3 3
c 5 3
为 2a = 2 15，则 a = 15,c = 5，所以椭圆 C的离心率为 = = .
a 15 3
2 3 2 3
15 [ , ] ∠OQP． 【解析】如图，当OP ⊥ PQ时， 有最大值，所以若∠OQP = 60°，
3 3
OP 2
所以只需∠OQP ≥ 60°即可，则 sin∠OQP = = ≥ sin 60°，解得
OQ 4+ y20
2 3 2 3
y ∈ [ , ]0 .
3 3
2 7
高三数学（文）参考答案 第 页（共 页）
16．8π 【解析】如图设底面四边形的中心为Q，设外接球球心为 O，高为 h，PA与底面
PQ PQ
ABCD 所成角为 ∠PAQ ，在 PAQ 中， tan∠PAQ = = = 3 ，解得
AQ 2
× 3
2
3 2 3 2 2 6PQ = 2 2.在直角三角形 ODQ中， ( r) + ( ) = r ，解得 r = 2，所以四棱锥
2 2 2
2
的外接球的表面积为 4πr = 8π .
17．【解析】
（1 q）设等比数列的公比为 ，根据已知条件， 2a 是 4a 和a 的等差中项，5 4 6
4 3 5
所以 4a5 = 4a + a ，则4 6 4a1q = 4a1q + a q ，1
因为 a ≠ 0,q ≠ 0，所以 4q = 4 + q2 q = 2，解得1
由 S = 6，即 a + a = 6，所以 a + 2a = 6，解得1 2 1 1 a1 = 22
a = 2n
所以 n ；..............................6分
1 1 1 1
2 bn = = = （ ）令
log2 an log2 an+1 n (n +1) n n +1
1 1 1 1 1 1
Tn = b1 + b2 + + bn =1 + + + =1 .
2 2 3 n n +1 n +1
∵ n∈N *，所以T <1 .............................12分n
18．【解析】
（1）将表格补充完整如下
电子迷 非电子迷 合计
近视 24 12 36
不近视 4 10 14
合计 28 22 50
3 7
高三数学（文）参考答案 第 页（共 页）
2 50× (24×
2
10 12×4)
由题意可知 k = ≈ 5.937 > 5.024，故有 97.5%的把握认为学生近视
36×14× 28× 22
情况与是否为“电子迷”有关系...............................6分
2 A,B,C,D，（ ）依题意，分层抽样从近视的学生中抽取 6人，“电子迷”应抽取 4人，记为 “非
” 2 a,b电子迷 应抽取 人，记为 ；从这 6人中随机抽取 2人，所有的情况为：
(A,B) ,(A,C ) ,(A,D) , (A,a) ,(A,b) , (B,C ) , (B,D) ,(B,a) ,(B,b) ,(C,D) ,(C,a) ,(C,b) ,
(D,a) ,(D,b) ,(a,b)共 15种，其中“至少有一人是非电子迷”的情况有 9种，记事件 A，
9 3
P A = =
所以“2人中至少有 1人是非电子迷的概率” ( ) .................12分
15 5
19．【解析】
1 AC O OE O（ ）证明：连接 BD交 于点 ，连接 ，易知 为BD中点，
在
△PBD O中， ，E分别为BD，PB中点，
OE
∴ 为 的一条中位线，
△PBD
OE / /PD
∴ ，
PD / ACE OE ACE∵ 平面 ， 平面 ，
PD / / ACE
∴ 平面 ...............................5分
（2）∵PA=PB，E为 PB中点，
∴AE⊥PB，
又∵BC⊥AB，BC⊥PA， AB∩ PA = A，
∴BC⊥平面 PAB，且 PBC为直角三角形，
∴BC⊥AE，即 AE⊥平面 PBC.
∵ AB = PA = 2，∴ PB = 2 2, AE = 2 .
1 1 1 1
则VA EFC = × S EFC × AE = × ×1× 2 × 2 = .
3 3 2 3
1
所以三棱锥 A EFC的体积为 ...............................12分
3
20．【解析】
a = 0 1
（1）当 时，函数 f ( x) = x 1 lnx， f '(x) =1 .
x
1
则 f (2) =1 ln2, f '(2) = .则曲线 f (x)在点 (2, f (2))处的切线方程为
2
1
y (1 ln 2) = (x 2)
2
化简得 x 2y 2ln 2 = 0 ...............................4分
4 7
高三数学（文）参考答案 第 页（共 页）
( ) a 1 ax2 f ′（ ） x =1+ alnx，
x
1
ax (1 a) a[x ( 1)]
f ′′(x) = = a ...........................5分2 2
x x
1 1
①当 a ≥ 时， 1< 1≤1， f ′′(x) ≤ 0 .故 f ′( x)在区间 (1,+∞)上递减，
2 a
所以 f ′(x) ≤ f ′(1) = 0，则 f (x)在区间 (1,+∞)上递减.
所以 f ( x) ≤ f (1) = 0对一切 x∈[1,+∞)恒成立.............................7分
1 1
< < > ′′
1
②当0 a 时， 1 1， f 1 = 0 .
2 a a
1
当 x∈ (1, 1)时， f ′′(x) > 0，
a
1
当 x∈ 1,+∞ 时， f ′′(x) < 0 .
a
x ≥1 ′( ) 1= ′ . ′( ) = 1 所以 时， f x f 1 而 f 1 0，故 f ′ 1 > 0 .
max a a
1
所以当 x∈ 1,
1 时， f ′(x) > 0， f (x)递增，
a
1
由 f (1) = 0 ，知 f 1 > 0，此时 f ( x) ≤ 0对一切 x∈[1,+∞)不恒成立.
a
a 1
综上，实数 的取值范围是 ,+∞ ..............................12分 2
21．【解析】
（1）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )
y2 = 2px 2
联立 ，得 x (2p +8)x +16 = 0，
y = x 4
则 x1 + x = 2 p+8， x1x2 =16，2
M x1 + x因为 AB 2中点 的横坐标为 6，所以 = p+4 = 6，
2
解得 p = 2 2，故C的方程为 y = 4x ...............................4分
（2）易得M (6,2)，
5 7
高三数学（文）参考答案 第 页（共 页）
AB
则线段 的中垂线方程为 y 2 = (x 6)，即 y = x+8 .
y2 = 4x 2
联立 ，得 y + 4y 32 = 0，解得 y = 8或 4，
y = x+8
从而 ABN 的外心 T的坐标为 (4,4)或 (16, 8) .
假设存在点 N (0,n) (n < 0)，设 T的坐标为 (4,4)，
2
∵ AB = 1+12 (x1 + x2 ) 4x1x = 2 × 144 64 = 4 10，2
2 2 2
∴ TA = TM + AM = 4 3，则 TN = (n 4) +16 = 4 3 .
∴n = 4± 4 2，因为 n < 0，所以∴n = 4 4 2 .
2 2
若 T的坐标为 (16, 8)，则 TA = TM + AM = 4 15，
2
TN = (n+8) +162 > 4 15 (16, 8)，则 T的坐标不可能为 .
故在 y轴的负半轴上存在点N (0,4 4 2)使得△ABN的外接圆圆心在抛物线C上.
...........................12分
22．【解析】
x =1+ 2cosα
1 2 2（ ）曲线C 的参数方程为 （α 为参数），化为标准方程为1 (x 1) + y = 4，
y = 2sinα
曲线C 的极坐标方程为 ρ( 3 cosθ sinθ ) = 2 3，
2
化为平面直角坐标方程为 y = 3 ( x 2)．化为一般式方程为 3x y 2 3 = 0 .........5分
（2）直线 l过点M (2,0)，
1
x = 2+ t 2
∴直线 l的参数方程为 ( t为参数)，
3y = t
2
2
将其代入曲线C 的直角坐标方程可得 t + t 3 = 0，
1
设点 A， B对应的参数分别为 t1, t ，2
6 7
高三数学（文）参考答案 第 页（共 页）
由一元二次方程的根与系数的关系知 t1+t2= 1 .，t1 t2= 3
∴ MA MB = t t = 3．..............................10分
1 2
23．【解析】
（1）当 a = 1时，原不等式为 x 1 x+ 2 ≥1，
x < 2 2 ≤ x ≤1 x >1
∴ 或 或 ，
x +1+ x + 2 ≥1 x +1 x 2 ≥1 x 1 x 2 ≥1
∴ x < 2或 2 ≤ x ≤ 1或空集，
∴原不等式的解集为 ( ∞, 1] ..............................5分
（2）由题意得 f ( x) ≤ a，
max
∵ f ( x) =| x 1| | x 2a |≤ x 1 (x 2a) = 2a 1 ≤ a，
2 1
平方得3a 4a +1≤ 0，解得 ≤ a ≤1
3
1
a
∴ 的取值范围[ ,1] ................................10分
3
7 7
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